通道中的概率与统计学问.pdf

“通道 中的概率与统计学问湖北省襄樊市第一中学4 4 1 0 0 0王勇(特级教师)研究近年全国各省市高考模拟题发现：以“通道”为载体的概率与统计题频频出现，此类问题情境新颖别致、自然流畅，极富思考性、挑战性、探究性、趣味性和实用性，令人赏心悦目、拍案叫绝下面采撷六例并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法1铸题成模体现基础性例l如图l 为类似课本研究性学习课题杨辉三角中的竖直平面内一些通道，图中线条均表通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落下入B 处的概率是入口ABCDl 至Il图Z解析：如图2 所示，球从E 点落下，有寺的概率落到E F，经，H 后有号的概率落到圳，经，M 后有的概率落到肘，v，最后落到B 点，即P。=虿1 虿1 虿l=i 1；伺虿1 的概率落到E F，经朋后有的概率落至：J H K，经加后有 的概率落到D，最后落到B 点，即P 2=虿1 丁1=i l；伺虿1 的概率落到E G，经G，后有的概率落到，经K D 后有丢的概率落到O N，最后落到B 点，即P，=丁I 虿I 虿1=吉所以P=P，+?z+P 3=詈点评本题先将所求事件“分解”为三个彼此互斥事件沿E 叶F 一日一，一肘_ J I、r _ 8 落下；沿E _ F 日_ K 一+D _ 一B 落下；沿E _+G _，-+K D 一一8 落下的和，再分别求出三个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式计算出结果，可谓“分而治之、各个击破”例2在某个游戏中，一个珠子按如图3 所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3 出来，那么你取胜的概率为()图3A 未B 3 三2C 吉D 以上都不对解析由珠子从出口1 出来有镤种方法，从出口2 出来有c：种方法，从出口3 出来有g 种方法，从出口4 出来有c；种方法，从出口5 出来有种方法，从出口6 出来有c i 种方法，故取胜的概率为P=，1 2一碡了i 1 虿而=话5 故选A点评本题的关键是正确求出从出口i(i=l，2，3，4，5，6)出来的方法数可理解为：从A 到出口i共需5 步，其中包含斜向左下方6 一i 步，斜向右下方i l 步，故共有c 1 种不同的方法，再利用等可能事件的概率公式求值相关链接：1 某庄园的灌溉系统如图4 所示，水从A 点流入，进入水流的通道网络，自上而下，从最下面的五个出水口流出，某漂浮物从A 点出发，向下漂流，在通道交叉口向左下方和右下方漂流是等可能的，则该漂浮物从出口3 流出的概率是()A 詈B 未c D 解析漂浮物从出口3 流出共需漂流4 段，其中斜向左下方2 段，斜向右下方2 段，故共有c：种不万方数据同的漂流路径，而漂浮物从各个出口流出的总路径数为2 4，所以该漂浮物从出口3 流出的概率是寻故选4 2345 679 5 9 6 q 7 q 8 9 9 1 0 0图4图52 如图5，一个球沿图中网线通道从最高点A 处滑下，从出口9 8 处出来的概率为()A 等喾B 2 警c 譬乎D 芝磐解析当出E 1 只有5 处(即A 位于图5 中A，处)时，球从3 处出来的不同路径有6 条(即赁条)，从各出口处出来的所有不同路径共有2 4 条；当出口只有6 处(即A 位于图5 中A：处)时，球从3 处出来的不同路径有l o 条(即条)，从各出I；3 处出来的所有不同路径共有2 5 条；当出口只有7 处(即A 位于图5中A，处)时，球从3 处出来的不同路径有1 5 条(即c：条)，从各出口处出来的所有不同路径共有2 6 条；依此类推，当出口只有1 0 0 处时，球从最高处A滑下从9 8 处出来(由对称性可知，等同于从3 处出来)的不同路径有c 刍条，从各出口处出来的所有不同路径共有文+c 品+c+c 器=2 9 9 条j 所以所求概率P：窘：望喜乎故选A 2 创设情境展示新颖性例3将一个半径适当的小球放入如图6 所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1虿图6(1)求小球落入A 袋中的概率P(A)；(2)在容器入口处依次放A 4 个小球，记孝为落入A 袋中的小球个数，试求孝=3 的概率与亭的数学期望眯解析(1)记“小球落入A 袋中”为事件A，“小球落入B 袋中”为事件曰，则事件A 的对立事件为B，而小球落人B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P(B)=()3+()3=了1，从而P(A)=l P(B)=l 一=(2)显然，随机变量手一B(4，)，故P(手=3)=a(寻)3=2 面7，聪=4 了3=3 点评本题第(1)问注意到两事件“小球落入A 袋中”和“小球落入B 袋中”是对立事件，而事件“小球落入B 袋中”的概率P(B)易求，进而求出P(A)=1 一P(B)，体现了“正难则反”的思维策略；第(2)问发现随机变量孝服从二项分布是快速破解的关键3自主探究凸显前瞻性例4 如图7 是在竖直平面内的一个“通道游戏”图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，依入口图7次类推，现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动求：(1)该小弹子落人第4 层第2 个竖直通道的概率(从左向右数)；(2)猜想落入第(n+1)层的第m 个竖直通道里的概率；(3)该小弹子落入第1 1 层第(m 1)个竖直通道的概率与该小弹子落人第 g 层第m 个竖直通道的概率之和等于什么?分析不难发现，该装置的原型为“杨辉三角”，利用其基本性质及蕴涵的数量关系，问题便迎刃而解解析(1)因为在交点处小弹子向左或向右是等可能的，所以小弹子落入第4 层第1 个竖直通道的4 9万方数据路径只有l 条，落入第4 层第2 个竖直通道的路径有3 条，落入第4 层第3 个竖直通道的路径有3 条，落入第4 层第4 个竖直通道的路径只有1 条故所求概率P=_ _，-_ 彳=o。该问也可按例l 的方法求一1+3+3+1 一o。么叫出H J1 又q1 日，J。五刁、解(2)设小弹子落人第(n+1)层的第m 个竖直通道里的概率为P(。+1。)，根据杨辉三角的特点可猜r”一I想，所求的概率P c 训神亍砭-i#_ _ _ _ 砭2C：l-12”(3)因为c 等+c 川m-1=c 7，所以等+籍：等，即P。_ 1)+P。n j m)=2 P。川。，所以小弹子落入第 t 层第(m 1)个竖直通道的概率与该小弹子落入第几层第m 个竖直通道的概率之和等于小弹子落入第(n+1)层第m 个竖直通道的概率的两倍点评研究性学习体现了课程改革的新理念，也是高考命题改革的求新点本题与时俱进，以“杨辉三角”为素材，巧妙地将概率知识移植于其中，集趣味性、创新性、探究性于一体，成为有效甄别学生思维品质的“分水岭”或“试金石”4学以致用关注应用性例5 某娱乐场在奥运期间开展酬宾活动，消费满1 0 0元的顾客，可享受9 折优惠，并参加一次“好运向你招手”游戏：将一幸运球投入游戏槽，如图8，球落入槽后碰到黑色障碍物，等可能地从球左右空图8隙落入下一层，继续下落，若球最后落人2 号区，获二等奖，可得价值1 0 0 元的奥运吉祥物；若球最后落入1 号区，获一等奖，奖金为a 元，球落入其他区域，则无奖励若娱乐场打算此项活动不赔本，试估算a 的最大值解析因为球落入游戏槽，每次碰到障碍物，都等可能地产生两个结果(沿左、右继续下落)，且各次碰撞相互独立，所以顾客每次投球，相当于作了6 次球碰障碍物的独立重复试验设6 次独立重复试验中落入左侧空隙的次数为5 0，7，则叼一B(6，虿1)记获一、二等奖的概率分别为P。、P 2，贝0P l=P(，7=6 或叼=0)=P(叼=6)+P(叼=o)=2 醒(丢)6=夏1，P 2=P(7=5 或叩=1)=尸(叼=5)+P(7=1)=2 a(号)6=亚6，不获奖的概率为P 3=1 一P，一P 2=蔓设娱乐场盈利为f 元。则f 的可能取值为9 0 一a，一1 0，9 0，f 的分布列为：孝9 0 一n一1 09 0l62 5P3 23 23 2手的期望蟛：2 2 8。0，-a，依题意，蟛I 0，解得口2 2 8 0 即口的最大值为2 2 8 0 点评由题意挖掘出顾客每次投球，相当于作了6 次球碰障碍物的独立重复试验是解决问题的前提和关键，在此基础上分别计算出获一等奖、获二等奖，不获奖的概率，为计算娱乐场盈利f 的数学期望喏埋下伏笔，最后应把握“不赔本”意味着喏0，至此本题可圆满解决例6在街头经常见到这样的一个游戏：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1 行2 个铁图9钉之间有1 个空隙，第2 行3 个铁钉之间有2 个空隙，第8 行9 个铁钉之间有8 个空隙(如图9 所示)庄家的游戏规则是：游客在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家1 元若小球到达、号球槽，分别奖1 0 元、奖5元、罚4 元、罚3 元(一个玻璃球的滚动方式：通过第l 行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2 行的左空隙或右空隙以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8 行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)某天下午，有1 0 0 人次玩此游戏，试求该庄家大约会万方数据得多少钱解析小球从入口到8个出口的路径如图1 0 所示，从入口到任一出口有7 步“”或“”，其中到达1 个号、号、号、号出口分别有c；、西c：、c 7 c；、G C；条途径设庄家对于1 次游戏的盈利为亭元j234 432i图1 0则P(孝：一1 0)=2 雾：歹1，眦：_ 5)_ 2 等：吾，眦=4)=2 等52=2 歹1，眦=3)_ 2 学：3 5 于是，游客每玩一次，庄家盈利为1+喏=1 1 0 歹1 5 歹7+4 2 歹1+3 3 歹5 注意到当天下午有1 0 0 人次玩此游戏，故该庄家在那天下午大约可得(1 一1 0 者一5 7+4 碧+3 3 5)1 0 0=(1-4 面5+百1 8 9，1 0 0=3 2 5 点评将本题转化化归为例2 的模型，可起到化难为易、化生为熟的神奇作用，再利用例5 的求解思路求出庄家盈利亭的数学期望聪，本题便大功告成通过计算惊奇发现庄家是大赢家，我们应当以学过的数学知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑浅谈高中统计试题类型曲阜师范大学附属中学2 7 3 1 6 5李菲菲统计学是一门注重数据的收集、整理、分析的学科，从义务教育阶段来看，对统计知识的学习分为三个阶段，每个阶段也都是收集整理，描述分析数据等数据处理方法的学习，而高中对统计的学习是在原有基础上又有一定的加深及拓展，主要有随机抽样(数据的收集整理)和样本估计整体(数据分析，其中包括求线性回归方程等)纵观几年的高考试题，对统计的考查主要分为两个大方面：1对随机抽样的考查1 1针对具体的实际问题情境，判断合适的抽样方法例如：为了解高一学生的身体发育情况，学校计划在高一年级十个班的某两个班中按男女生比例抽取样本，设计所用的抽样方法1 2对系统抽样确定分段间隔例如：已知用系统抽样在依次编号的4 5 名同学中抽取5 人，若第一人编号为3，则第三个人的编号为?1 3对分层抽样确定样本例如：一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为3 6 和0。2 5，求见例1某专业机构认为H 1N l 流感在一段时间没有发生爆发的标志为“连续1 0 天，每天新增疑似病例不超过7 人”根据过去1 0 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(A)甲地：平均值为3，中位数为4(鳓乙地：平均值为1，方差大于0(C)丙地：中位数为2，众数为3(D)丁地：平均值为2，方差为3本题目是统计在实际生活中的应用，主要考查样本特征数据的概念与计算公式根据题目中的信息可知，连续1 0 天内，每天的新增疑似病例不能有超过7 的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项8 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7 的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7 的数存在，那么方差不会为3，故答案选D 2对样本估计整体的考查2 1分析频率直方图此类型题目主要是考查如5 1万方数据