七参数转换中参数之间的相关性.pdf
第27卷第2期2 0 0 7年4月大 地 测 量 与 地 球 动 力 学JOURNAL OF GEODESY AND GEODYNAM ICSVol.27No.2Apr.,2007 文章编号:167125942(2007)0220043204七参数转换中参数之间的相关性3王解先1,2)1)同济大学测量与国土信息系,上海 2000922)现代工程测量国家测绘局重点实验室,上海 200092摘 要 通过七参数空间坐标转换可将WGS84坐标转换至地方坐标。介绍了广义相关系数的求解方法,并对七参数转换模型中平移、旋转及尺度参数之间的广义相关系数进行了求解。从理论上证明了在小范围测区内七参数之间的强相关性,同时也验证了七参数模型的可行性和与三参数转换的等效性。关键词 WGS84 空间坐标 地方坐标 七参数转换模型 广义相关中图分类号:P226+.3 文献标识码:ACORRELATI ONS AMONG PARAM ETERS IN SEVEN2PARAM ETERTRANSFORMATI ONMODELWang Jiexian1,2)1)Dept.of Surveying and Geom atics,Tongji University,Shanghai2000922)Key Laboratory of Advanced Engineering Survey of SBSM,Shanghai200092AbstractThe seven2parameter space transfor mation model can be used to obtain local coordinates from ob2served WGS84 coordinates.What is the generalized corrective coefficient is described.And the generalized correc2tive coefficients among parameters of shift,rotation angles,and scale in seven2parameter transfor mation model arecalculated.The high correlations among the seven2parameters are testified when the transformation model is appliedto a small region,the feasibility of the seven2parametermodel and its equivalence to the there2parameter transfor ma2tion in a s mall region are demonstrated.Key words:WGS84,space coordinate,local coordinate,seven2parameter transformation model,generalized correc2tion1 前言GPS测量得到的是WGS84中的空间坐标,而工程施工中通常使用平面地方独立坐标系,要求得到地方平面坐标(如北京54)。可以通过平面转换模型或空间转换模型转换得到13。平面转换是将GPS测得的坐标经高斯投影化为平面坐标,再根据重合点的已知平面坐标,由平面转换模型,求出平面转换参数,从而将GPS测得的坐标化为当地坐标,但平面转换模型是一个线形模型,不能顾及高斯投影变形误差。空间转换模型为4:3收稿日期:2006209222基金项目:新世纪优秀人才支持计划作者简介:王解先,男,1963年生,教授,主要从事卫星大地测量学研究.E2mail:大地测量与地球动力学27卷X54Y54Z54=x0y0z0+(1+k)R()R()R()X84Y84Z84(1)式中X54Y54Z54T为地方坐标的空间直角坐标形式,由地方坐标的高斯坐标形式反算为经纬度,再化成直角坐标得到;X84Y84Z84T为WGS84坐标的空间直角坐标形式,(x0y0z0)T为3个平移参数,()T为3个旋转参数,(k)为1个尺度参数。不考虑尺度参数(即k=0),称为六参数转换模型,仅考虑3个坐标平移参数(k=0、=0、=0、=0)称为三参数转换模型。在实际工程应用中,测区范围相对于地球而言一般很小,地球半径约有6 400 km,对于地面上100100 km2范围的测区(相当于上海这样的大城市),式(1)两端公共点的空间坐标在数值上首位不变,即几乎相等,对于更小的测区,空间坐标的前几位数字都一样。这时,式(1)右端的(1+k)R()R()R()X84Y84Z84对每个点都基本不变,即尺度和旋转参数对每个点的影响基本上是一样的,而平移参数对每个点的影响是相等的,因此从数值上可以看出,对于不太大的测区,尺度参数、旋转角参数与平移参数之间存在强相关。本文将从数值上验证空间转换模型参数间的相关性,同时说明,尽管参数相关,但转换结果仍然可用。2 广义相关系数在求解7参数时,若公共点多于3个,便可用最小二乘求解7个转换参数,各个参数间的相关性可以由协方差元素求得,即为QijQiiQjj,Q为求解7个转换参数得到的协方差矩阵。按文献5,参数组与参数组之间的相关性称为广义相关性。将7个参数分成两组,3个平移参数看成一组x31,将3个旋转参数和1个尺度参数看成另一组y41,将求解7个参数得到的协方差阵写为:V=Vxy=VxxVxyVyxVyy(2)其中:Vxx=V(x),Vyy=V(y),Vxy=cov(x,y)=VTyx。x,y的线性关联阵Myx为:Myx=V+yyVyxV+xxVxy(3)若x,y的相关秩为r,r=rk(Myx)=rk(x,y),求出Myx的特征根,非零特征根有r个,表示为 1,2,r,则x,y的广义相关系数可以用以下几种方式表示:1)r12 r,用(1)xy表示;2)1rri=1i,用(2)xy表示;3)max1iri,用(3)xy表示;4)min1iri,用(4)xy表示;5)1rri=1-1i-1,用(5)xy表示;要证明七参数转换模型中平移、旋转及尺度参数之间强相关性,只需证明其广义相关系数接近1即可。3 数值上的分析3.1 数据设在一区域性GPS网中,有4个公共点,这4个点既有在WGS84上的坐标,又有在北京54上的坐标,其概略值列于表1,该网范围:南北约130km;东西约70 km。对工程而言,这是一个较大的GPS网,相当于我国最大城市覆盖的范围,但相对于地球仍是很小的一个区域。表1 公共点的概略坐标(单位:m)Tab.1Compendious coordinates of common points(un it:m)XYh13 450 110-116 6616623 487 161-114 2276433 410 268-79 15014143 321 857-192 9951采用最小二乘方法,由式(1)求解7参数,为使法方程性能良好,平移参数单位取m,旋转参数单位取1/30 s,尺度参数取k10-6中的k。所得协方差阵列于表2。各个参数之间的相关性为:QijQiiQjj,见表3。表3表明7个参数之间的相关性并非十分强,最大的相关性出现在y0与之间,也仅为0.942。3.2 平移参数与旋转和尺度参数之间的相关性按表2的协方差数据,将两组参数定义为:44 第2期王解先:七参数转换中参数之间的相关性表2 七参数转换的协方差阵Tab.2Covariance array of 72parameter space transformationx0y0z0kx086 950.210y080 426.48595 669.091对z0-46 439.643-49 456.09239 596.937称-96 660.562-98 751.08654 475.479114 202.96523 280.66718 703.349-5 939.791-20 901.92814 367.259-73 178.829-82 938.27752 797.81785 715.924-16 875.33180 969.109k752.542-1 208.212-854.901000260.563表37参数之间的相关性Tab.3Correlativities among 7 parametersx0y0z0kx010.882-0.791-0.9700.659-0.8720.158y1-0.804-0.9450.504-0.942-0.242z010.810-0.2490.932-0.2661-0.5160.89201-0.495010k1x=x0y0z0,y=k对x,y算得线性关联阵Myx为:Myx=0.733 8-0.376 30.234 40 000 0-0.374 30.471 00.329 50.000 00.232 60.328 70.795 20.000 0-0.000 0-0.000 00.000 01.000 0解得 的 特 征 根(精 确 至4位 小 数)为:-0.000 0,1.000 0,1.000 0,1.000 0。由此可见Myx是秩亏阵,其秩为3,由广义相关系数的定义,由非零特征根可求出相关系数,(i)xy=1(i=1,2,5),故平移参数与另外4个参数强相关。3.3 平移参数与旋转参数之间的相关性将两组参数定义为:x=xyz,y=由表2的协方差数据,由(3)式算得线性关联阵Myx为:Myx=0.733 8-0.376 30.234 4-0.374 30.471 00.329 50.232 60.328 70.795 2解得特征根为0.000 0,1.000 0,1.000 0。由此可得到广义相关系数为(i)xy=1(i=1,2,5),即平移参数与旋转参数之间是强相关的。3.4 平移参数与缩放尺度参数之间的相关性定义:x=xyz,y=(k)算得:Myx=(1.000 0)特征根为1.000 0,故平移参数与尺度参数之间的相关系数为(i)xy=1(i=1,2,5),这也证明了坐标平移参数与尺度参数之间是强相关的。3.5 旋转参数与尺度参数之间的相关性定义:x=,y=(k)算得:Myx=(0)特征根为0.000 0,故旋转参数与尺度参数之间是完全不相关的。4 结论本文介绍了广义相关系数的求解方法,采用实测数据,对七参数转换模型中平移、旋转及尺度参数之间的相关系数进行了计算,并由此得出如下一些结论:1)在小区域(地面100100 km2范围)应用时,七参数转换模型中,3个平移参数与3个旋转参数及尺度参数之间是强相关的。2)3个旋转参数与尺度参数之间并不相关。在大部分的实际工程应用中,测区一般都很小。如果在同一测区测定两次或者已知点坐标有微小变化,由于七参数的相关性,求出的参数在数值上将会54大地测量与地球动力学27卷差别很大,如平移参数的变化可能达到几十千米。然而只要没有粗差,转换残差仍然会很小,转换结果也不会有大的差异4,七参数转换模型仍然是有效和可用的。另外如前所述,在小区域应用时,旋转参数和尺度参数对各点的影响基本一样,所起的作用将可以包含在平移参数中,因此七参数与三参数将是基本等价的。References1 王解先.GPS精密定轨与定位M.上海:同济大学出版社,1997.1Wabg Jiexian.GPS precise orbit determination and positio2ningM.Shanghai:Tongji Publishing 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D给出的多值区的两个最大半径是相同的,但二者的空间区域不完全相同,我们确定的旋转椭球体包括了Zhang C D确定的多值区的范围。如果算法不完善,则或者无法给出这个椭球内部点的解,或者给出的解是错误的、发散的,或者是多值的。我们的算法给出了这个椭球体内任一点大地纬度的惟一解,不存在多值问题。这个椭球体很小,位于地球的内核中,只有在研究地球内核问题的时候才需要确定这个椭球体内某一点的位置。如果研究的目标都在地球的内核以外,均大于零,可以不考虑0的情况。References1BowringB R.Transfor mation from spatial to geographical co2ordinatesJ.Surv Rev.XXIII,1976,181:323-327.2 翟国君.莫洛金斯基公式用于X,Y,Z到B,L,H的转换J.测绘通报,1989,3:810.2Zhai Guojun.The transformation fromX,Y,ZtoB,L,HbyMolojinski equationJ.Bulletin of Surveying andMapping,1989,3:8-10.(in Chinese)3 牛卓立.空间直角坐标计算大地纬度的椭球参数变换法J.测绘通报,2000,3:1213.3Niu Zholi.Ellipsoidal parameter transformation method forcalculation of geodetic latitude with space rectangular coor2dinatesJ.Bulletin of Surveying and Mapping,2000,3:12-13.(in Chinese)4Laskowski P.Is Newtons iteration faster than si mple itera2tion for transformation between geocentric and geodetic coor2dinates?J.Bull Geod.1991,65:14-17.5Lin K C andWang J.Transformation from geocentric to geo2detic coordinates using Newtons iteration 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