参数方程与极坐标问题.pdf
参 数 方 程 与 极 坐 标 问 题韩 苏(杭州师院数学系,浙江 杭州 310036)中图分类号:O122.2 文献标识码:C 文章编号:0488-7395(2001)2,4-0084-03收稿日期:2000-11-151 参数方程参数方程是解析几何的重要内容.利用参数法求轨迹方程,或者利用轨迹的参数方程来解题,有时会显得十分灵活和便利.例1(1989年全国高中数学联赛试题)若M=z|z=t1+t+i1+tt,tR,t-1,t0,N=z|z=2cos(arcsint)+icos(arccost),tR,|t|1,则NN中元素的个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)4.解 M中的点在曲线M:x=t1+ty=1+tt(tR,t-1,t0)上,N中 的 点 在 曲 线N:x=2(1-t2)y=2t(tR,|t|1)上,曲线M和N的普通方程是M:xy=1(x0,1),N:x2+y2=2(0 x2).于是曲线M和N的交点的横坐标满足x2+1x2=2,即x=1,故MN=“,选(A).例2 考虑一端在直线y=x上,另一端在直线y=2x上,而其长为4的一切线段,求这些线段中点的轨迹方程.解 设连接A(a,a),B(b,2b)的线段之中点P(x,y),则x=a+b2,y=a+2b2(1)(a-b)2+(a-2b)2=16(2)由(1)解得a=2(2x-y),b=2(y-x).代入(2),得25x2-36xy+13y2=4.这就是所求的轨迹方程.合理选用参数,利用参数法求动点轨迹方程是一个十分有效的方法.例3(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设s=x2+y2,则1smax+1smin的值为.解 显然s=x2+y2 0,设x=scos,y=ssin.代入4x2-5xy+4y2=5,得sin2=8s-105s,于是8s-105s1,解之,得1013s103.smax=103,smin=1013.1smax+1smin=310+1310=85.图1 例4图例4有一定长线段l(l1),其两端在抛物线y=x2上移动,试求:1)此线段中点P的轨迹方程;2)距x轴最低点P之坐标.解 1)如图1,设|P1P2|=l,我们选P1P2与x轴的夹角为参数,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则y1=x21,y2=x22,且x2-x1=lcos,x22-x21=lsin.48数 学 通 讯 2001年第2,4期于是可得 x1=12(tg-lcos),x2=12(tg+lcos).从而有 x=x1+x22=12tg,y=y1+y22=14(tg2+l2cos2).此即P的轨迹(参数)方程.2)由于y=14(tg2+l2cos2)=14(l2cos4-cos2+1cos2)=14(lcos2-1)2cos2+2l-1,故当lcos2-1=0,即cos=1l时y有最小值,ymin=14(2l-1).此 时,x=12tg=12l-1.所 以 距x轴 最 低 点P的 坐 标 为(12l-1,14(2l-1).2 极坐标问题解析几何就是用代数方法研究几何问题,建立坐标系是把几何问题转化为代数问题的第一步,所以合理地选择坐标系十分重要.例如,在极坐标系中,圆维曲线便有统一的方程=ep1-ecos,它给解决圆锥曲线中某些问题所带来的方便是不言自明的.因此,适当地选取极坐标系,有时对解题是很有好处的.例5(1982年全国高中数学联赛试题)极坐标方程=11-cos+sin所确定的曲线是()(A)圆.(B)椭圆.(C)双曲线.(D)抛物线.解 原方程可化为=11-2cos(+4).由离心率e=2 1,知所确定的是双曲线.故选(C).例6(1996年全国高中数学联赛试题)曲线c的极坐标方程是=1+cos,点A的极坐标(2,0),曲线c在它所在的平面内绕A旋转一周,则它扫过的图形的面积是.解 设P(,)是曲线c上任意一点,则|OP|=1+cos.在 OA P中,由余弦定理得|A P|2=|OP|2+|OA|2-2|OP|OA|cos=(1+cos)2+4-22(1+cos)cos=5-2cos-3cos2=163-3(cos+13)2163.当=arccos(-13)时上式取等号,故|A P|的最大值是163.易知点A在曲线c上,当从0增大到arccos(-13)时,|A P|由0增大到163.曲线c扫过的图形是以A为圆心,163为半径的圆所围部分,它的面积是163.图2 例7图例7 已知双曲线x2a2-y2b2=1(ba 0)的弦PQ在 中 心O张 直 角,试 求SOPQ的最小值.解 如图2,以双曲线中心O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,那么双曲线方程为2cos2a2=1+2sin2b2.设P(1,),Q(2,+2),其中-2 0,21=a2b2b2cos2-a2sin2;|OQ|=2 0,22=a2b2b2sin2-a2cos2.由于SOPQ=12|OP|OQ|=1212,故SOPQ=142122=a2b241(b2cos2-a2sin2)(b2sin2-a2cos2)=a4b4sin22 a4+b4-a2b2(tg2+ctg2).a4+b4-a2b2(tg2+ctg2)0,分母最大时,S2OPQ最小.又0 sin221,tg2+ctg22,当sin22=1且tg2+ctg2=2时,分母有最大值(a2-b2)2.S2OPQ的最小值为a4b4(a2-b2)2,即SOPQ的最小值为a2b2b2-a2.582001年第2,4期 数 学 通 讯习题1(1984年全国高中数学联赛试题)对所有满足1nm5的m,n,极坐标方程=11-Cnmcos表示的不同双曲线条数是()(A)15.(B)10.(C)7.(D)6.2(1989年全国高中数学联赛试题)当s和t取遍所有实数时,(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是.3(1998年全国高中数学联赛试题)若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,则实数a的取值范围是.4(1997年全国高中数学联赛试题)过双曲线x2-y22=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若实数使得|AB|=的直线l恰有3条,则=.5(1991年全国高中数学联赛试题)设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求 OPQ的面积.6 设复数z所对应的点在线段l:y=x(0 x22)上运动,试求复数=12(z+1z)对应点之轨迹方程.7 设直角坐标系上,P(x,y)与P(x,y)相对应,且满足x=ax-by+p,y=bx+ay+q,其中a,b,p,q为常数,且b0.设有两组互相对应的点P1(x1,y1),P1(x1,y1)和P2(x2,y2),P2(x2,y2),试问:1)|P1P2|与|P1P2|之间有何关系?2)若点Q与自身对应,求Q之坐标;3)QP1P2与 QP1P2有何关系?并求其面积比.答案 提示1(D).2考 虑 直 线x=s+5y=s和 椭 圆 弧x=3|cost|y=2|sint|,则原式表示直线上任意一点与椭圆弧上任意一点之间的距离的平方,显然(3,0)点到直线的垂直距离最短,故所求的最小值为2.3 由x2+4(y-a)2=4,令x=2cos,y=a+sin,代入x2=2y得a=2cos2-sin=-2(sin+14)2+178.-1sin1,0(sin+14)22516,从而-1a178.4 首先,过双曲线x2-y22=1的右焦点且与右支交于两点的弦,当且仅当该弦与x轴垂直时,取得最小长度2b2a=4.(事实上,该双曲线的标坐标方程为=21-3cos,又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦,A(1,),B(2,+),则|AB|=1+2=21-3cos+21+3cos=41-3cos24,当=2时,等号成立)其次,满足条件的直线恰有3条时,只有两种可能:与双曲线左、右支都相交的只有一条,而仅与右支相交的有两条.不难验证此时不满足题设条件;与双曲线左、右支都相交的有两条,而仅与右支相交的只有一条,且这条弦必与x轴垂直,此时|AB|=4,且与双曲线左、右支都相交的弦长也可满足这个条件,故=4.5 以F为极点,OF为极轴建立极坐标系,则抛物线方程为=2a1-cos.设P(1,),则Q(2,+),故由|PQ|=P+Q=bsin=2ab,从而SOPQ=12a|PQ|sin=aab.6 由于z=x+xi(0 x22),故=12(x+12x+(x-12x)i).令=u+vi(u,vR),则u=12(x+12x),v=12(x-12x),消去x得u2-v2=12,当0 x 0,v 0.71)|P1P2|=a2+b2|p1p2|;2)Q(1-a)p-bq(1-a)2+b2,(1-a)q+bp(1-a)2+b2);3)QP1P2 QP1P2,SQP1P2SQP1P2=1a2+b2.68数 学 通 讯 2001年第2,4期
