电力系统潮流问题几种计算方法收敛性的比较.pdf
第?卷增刊?年?月中国电机工程学报!#%&五咨#()+,.#/一。,011/23)45.6?电力系统潮流问题几种计算方法收敛性的比较吴中习7能源 部 电力科学研究院提要电力系统潮流计算是求解一非线性方程组的问题。因此,各种计算方法均存在着收敛性的问题。从数学模型 和计算方法的角度,这些算法基本上可归纳为四种8导纳矩阵迭代法,阻抗矩阵迭代法,牛顿法71一9 分解法是在此基础上的简化:,非线性快速法。关于这几种方法的收敛特性,实际计算表明8阻抗矩阵迭代法通常比导纳矩阵迭代 法好得多;牛顿法又 比阻抗矩阵迭代法好;非线性快速法虽计算时间较牛顿法少,但迭代 次数明显地增多。本文将从计算方法理论的角度,对上述几种方法的收敛性加以 比较和说明。主题词8迭代,收敛,导纳矩阵,阻抗矩阵。一、潮流间题的数学模型和计算方法概述电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一 种计算,是 研究 电力系统的很重 要、很基本的计算6它根据给定的运行条件及系统接线情 况确定整个电力系统各部分的运行状态8线电压,各元件中流过的功率,系统的功率损耗等。电力系统网络方程通常有两种表达形式,导纳矩阵方程8其中,?泞”粉”一吟三气,8岁68”乡。;亡。阻抗矩阵方程8.=?各母吸?:7:6了?了二 才?一一盆 了亡!一一!品口?月自?公公甘专长其中,才#才%&%霎 ()二一才。+才。一才。由于系统的接线方式是已知的,因此导纳矩阵,是已知的稀疏对称阵,其逆矩阵为阻抗矩阵%是、已知的对称满阵。根据节点功率与电流 之间的关系./!0,?中国电机工程学报第?卷则有=71,一9:.,亡=8?#&3,包水1关其中2,3为节点玄向网络注人的有功功率和无功功率,亡为节点4电压向量的共扼 值。在已知运行条件5只,6或2,7或7,夕,8的情 况下,电力 系统潮流 问题则是 一性阶复数非线性方程组,可化为%9阶实数非线性方程组?因此,无论用什么方法求解,都离不开迭 代,这就 存 在着解法的收敛性问题。围绕着计算机和计算技术的发展,电力系统潮流计算大致有以下方法。:;年代,主要 采用以导纳矩阵为基础的迭代法5 简称 导纳法8,其迭代格式为!“”/5=一05!“,85?8其 中,8二)05 7 8 858由于 阻抗法 明显地 改善了收敛性,使解题规模受到限制。因此,当时得 到 了广泛地应 用。但由于该方铸占用内存鼻大#;年代中,发展了牛顿一拉夫逊 法5简称 牛顿法8。设潮流间题的非线性方程组为5!8/;则牛顿法的迭代格式可 写为5!广8口!走/一 5!?8!一”一!5 8十刁!5 屯5:8由于采用了稀疏矩阵的技巧,使牛顿法在收敛性,内存要求,计算速度等方面都比阻 抗法优越,成为;年代末期广泛采用的优秀方法。;年代初,发展了2一6 分解法,该方法 虽然在内存占用量和计算速 度方面又进,步作了改善,但仍是以牛顿法为基础的。;年代末期以来,发展了保持非线性快速潮流计算法,设以节点电压实、虚部变量的二次表达式表示的潮流计算公式为,。/,58/,5!。8,5!。8刁!,5刁!858其中7为丰知量,表示节点电压 的实部和 虚部,7;为初始值,?口7一7一!,?为截直的 给定值,5!8为对应 于,。的计算公式。则非线性快速计算法的迭代公式 为刁!5十”一,宁5 7。8一,。一,5。8,5卢!5 8一58增刊电力系统潮流问题几种计算方法收敛性的比较由于1?】为矩阵!的范数,通常有如下三种定义8中国电衫工程学伙、报第?卷7?:7:7:?/!/一倪月?!,?!?一甲烈/!,!,一青了,泉8尸6,87?:7?:7?:需要 说 明,/为式 73:简单迭代收敛的充分条 件,并 非必要条件。此外,从证 明过程可以看到,愈小收敛愈快。从式7?:一式7?:三种矩阵范数的定义看来,要使?到 较小,就要求1的元素只,的绝对值都很小6对一线性方程组=7?:胶!即可构造 迭代格式7:二一一57?:序6辛”三6一7抢:7?:将式7环:代人上式,则得合令”=合一九=7 一:几7?:因此,1一,则要求1的元素1,的绝对值都很小,等价于要求阵接近 于单位 阵,即阵对角线元索接近于?,非对角线元素的绝对值都很小。当阵的主对角线元素占优势时,对式7?:的每个方程,用其对角线元素去除一下,这样把系数矩阵变成接近 于单位阵后,同样也可以构造出收敛的迭代格式。6非常线性方程组迭代的收敛性设一非线性方程 组87:=?7?:若的雅可比矩阵接近于单位阵,即的主对角线元素为/和接近于?,其他元素的绝对值为仓或远 小于/,则式7?:的简单 迭代格式也收敛。事实上,将7:在“点进行台劳展开有87:=。7一”:_二7“:7。:7一。:?77一“:6:=7。:7”:一 7”:。?7户:=7 7。:一 97?:其中=7,:。一 7”:,9为高阶无穷小量将式7?:代人式7?:,则得6”=“一76:=“,一 7。:“一9=7一。:介 一9=1”一97 一:由于阵具有接近于单位阵的性质,因此范数?到?便小于/,当初值选取较好,忽略高阶小 量时,根据线性方程组迭代的收 敛条件,贝吐非线性方程组的迭代格式7?:收敛。今增刊电力系统潮流间题几种计算方法收敛性的比较竺如何将一任意的非线性方程组,化为其雅可 比矩阵具有接近于单位阵的性质,不难看出,式7?:乘以其雅可比阵的逆 矩阵7若存在:一即一7:=?7:便可满足上述要求。因此,迭代格式8 768,=7,一一,7 7,:7:远比迭代格式7?:收敛得快6事实上,由式7:和式7?:并设。=6,则有弓少。七7。,二,一又,#,一9/、66、7,一“,;一 石9二万 一 万97:画为上式右端与欠有关的主要部分1阵为零矩阵,仅剩 下小量9,当初值选取较好时,故迭 代 收敛,且收敛很快。显然,对于线性方程 组一,迭代格式7:即为线性方程 组的直接 解 法,当一存在时,就能直接求得其解。将式7?:代人式7:得8生:一胜一一 77“一:=一综上,根据非线性方程 组迭代格式的收敛条件,对于任意非线性方程组7:=5式7:的迭代格式,7:现构造6”=奋一 下776:由于 非线性方程 组迭 代格式的收敛特性取决于右 端 项函数雅 可比矩阵的范数?1?,即?1?愈小,、收敛 性愈好。因此,对上述迭代格式6当迭代初 始值 相同时,万76:的雅 可比阵愈接近单位阵,则收 敛性 愈好。基于 这一事实,下面比较几 种潮 流计算方法的收敛特性6三、几种潮流计算方法收敛性的比较破?6导纳矩阵迭代法根 据式7?:的 电网 导纳矩阵方程 有7.:7.:=?则式7:导纳法的迭 代格式相 当于8丫十”=.”一一尸7”:其中二、7:7:6公?公曰一一=不难 看 出,导纳法的迭代格式是按式5&?8 构造 的,&?阻抗矩阵迭代法乡。只是其中的。用=代替。将式5&8中电网方程的电流项0 5!8看作是与电压无关的常数?则中国电机工一程学6报66第一?卷二67.:=一=7.:,所以7.“:一和/7.76:相 比,前者的雅可比阵,更接近于单位阵。因此,牛顿法的收敛特性比阻抗 法 又有所改善。6、8、6非线性快速法前述式7:可写成7.:=7.。:7.。:刁.7刁.:一6=?7:设初始值.6的雅 可比阵。“7.。:,则 式7:的迭 代公 式为8.几”二.全一石7.6:二.一亨7.。:一7.。:7.。:7,”一.,:7.七,一.。:一,二犷,一7.“一.。:一7.。:一 7.。:7.奋一.6:一6二.。一7.6:一 7.。:7.“一.。:一67:经整理,上式为.”一.一7.。:一67.6:一 7.告一.。:_亦 即刁.“”=7.。:一 一7.。:一7刁.“:一7:即是非线性快速潮流计算法的迭 代公式6一不难 看 出,该迭代公式右端的1阵为零矩阵6由于该方法每次迭代 的初值。不变,而 牛顿法每次 迭代 的初值,是 变化的6因此,该方法 的刁”要比牛 顿法大,所以当初始值.。不 是很接近真解时,非线性快速法 的收敛性 不 如牛顿 法 好,即前者的 迭代次数比 后者多。但又由于,&过)#(3 )、七 3#(#%/#1#/2?)#/助/&3 0)七6&)#3 3+1#/2(#公&砒加仑)#%3)&#(2)2 )&/2#%/3%?伽) 3)#%,)(#02&32)#%8)卜)翻)#%64)#3 1#3侧贻)#%7&”6#/0%&雌1一9#0 1/%)#%:3%4#址&现)#%6)#)#3 期,1)&/&0/)#),时&)$)#%?30 灯)3)/)(#3)#%,4)#:叩#3)#%?),)3)&/)(#3)加%耐4#/&3 )#%6&11#21 整七加#3 现#(#2 址%2)#%3%1/&3&)加#)&/长
