概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)chapter03.pdf

第三章第三章 连续型随机变量连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：)(xF)(xF（1）；（2）；（3）；（4）)(aP=)(aP)(aP)(aP解：（1）；)()0()(aFaFaP+=（2）；)0()(+=aFaP（3）=1-；)(aP)(aF（4）。)0(1)(+=aFaP 3.2 函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果211)(xxF+=（1）x（2）0，在其它场合适当定义；x（3）-，在其它场合适当定义。0 x解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；)(xF,（2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；)(xF（3）在（-内单调上升、连续且，若定义)(xF)0,)0,(Fa=21)(1)(aFaFadxxp0)(（2）P（；1)(2)=证：（1）=aadxxpdxxpaF)(1)()(=+aadxxpdxxp)(1)(1=0)(1)(1dxxpaF；=aadxxpdxxp00)(21)(（2），由（1）知=aaadxxpdxxpaP0)(2)(1-=adxxpaF0)(21)(故上式右端=2；1)(aF（3）。)(1 2 1)(21)(1)(aFaFaPaP=3.5 设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明)(1xF)(2xF0,0ba1=+ba)()()(21xbFxaFxF+=也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因 为与都 是 分 布 函 数，当时，)(1xF)(2xF21xx=111000)(0100)(21xxxxxFxxxF这时+=11102100)(xxxxxF显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而)(xF)(xF不是连续函数，所以它也不是连续型的。)(xF3.6 设随机变数的分布函数为+=000)1(1)(xxexxFx求相应的密度函数，并求。)1(P解：，所以相应的密度函数为xxxeexdxd=+)1(1=000)(xxxexpx。eFP21)1()1(=3.7 设随机变数的分布函数为=111000)(2xxAxxxF求常数及密度函数。A解：因为，所以，密度函数为)1()01(FF=1=A=其它0102)(xxxp3.8 随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函BarctgxAxF+=)(AB数。解：因为0)2()(lim=+=BAxF课后答案网12)(lim=+=+BAxFx所以1,21=BA因而。)1(1)()(,121)(2xxFxparctgxxF+=+=3.9 已知随机变数的分布函数为=其它021210)(xxxxxp（1）求相应的分布函数；)(xF（2）求。)2.12.0(),3.1(),5.0(=+=21211212)2(102100)(101202xxxxdyyydyxxydyxxFxx66.0)2.0()2.1()2.12.0(245.0)3.1(1)3.1(1)3.1(81)5.0()5.0(=FFPFPPFP3.10 确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。A（1）；xAexp=)(（2）=其它022cos)(xxAxp（3）=其它03221)(2xAxxAxxp解：（1）；211220=AAdxeAdxAexx所以课后答案网（2），所以 A=;=222012cos2cosAxdxAxdxA21(3),所以。162921822=+AAxdxdxAx296=A3.12在半径为 R,球心为 O 的球内任取一点 P,求的分布函数。oP=解：当 0时Rx333)(3434)()(RxRxxPxF=RxRxRxxxF10)(00)(33.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为18.020272.0)1(12)8.0(dxxxP 0037.0)1(12)9.0(19.02=dxxxP 因此，若该城市每天的供电量为 80 万度，供电量不够需要的概率为 0.0272,若每天的供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。3.14设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程02442=+xx有实根的概率。解：当且仅当（1）0)2(16)4(2+成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。02442=+xx21因此，该方程有实根的概率课后答案网。5351)2()1()2(52=+=dxPPPp3.17 某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）),(2aN300=a35=(1)求电池寿命在 250 小时以上的概率；（2）求，使寿命在与之间的概率不小于 0.9。xxaxa+解：（1）)43.135300()250(=PP=；9236.0)43.1()43.135300(=P（2）353530035()(xxPxaxaP=+x)11(21)(11.2132222xxexxexx证：dyedyexxyxy=222221211)(1=dyeyxeyxx222221211.21=dyeyxxeyxx243222321)11(21+所以。)11(21)(11.2132222xxexxexx3.21 证明：二元函数+=0001),(yxyxyxF课后答案网对每个变元单调非降，左连续，且，但是0),(),(=xFyF0),(=+F并不是一个分布函数。),(yxF证：（1）设，0 x若，由于，所以，0+yx0+yxx1),(),(=+=yxxFyxF若，则。当时，；0+yx0),(=yxF0+yxx0),(=+yxxF当时，。所以。0+yxx1),(=+yxxF),(),(yxxFyxF+可见，对非降。同理，对非降。),(yxFx),(yxFy（2）时0+yx=，0),(lim),(lim00=yyxFyxxFyx),(yxF时，0+yx=，1),(lim),(lim00=yyxFyxxFyx),(yxF所以对、左连续。),(yxFxy（3），。0),(),(=xFyF0),(=+F（4），1)0,0()2,0()0,2()2,2()20,20(=+=FFFFP所以不是一个分布函数。),(yxF3.23 设二维随机变数的密度),(+=其它020,20)sin(21),(yxyxyxp求的分布函数。）（,解：当，时，20 x20y),(),(yxPyxF+=其它00,0),(43yxkeyxpyx（1）求常数；k（2）求相应的分布函数；（3）求。)20,10(yx)(1212),(048030483dsedtedtdseyxFyxtxyyt=，所以)1)(1(43yxee=其它00,0)1)(1(),(43yxeeyxFyx（3）)20,10(P=)0,0()0,1()2,0()2,1(FFFF+=。11831+eee325 设二维随机变数有密度函数),()25)(16(),(222yxAyxp+=课后答案网求常数及的密度函数。A),(解：12025164)25)(16(),(02022222=+=+=AydyxdxAdxdyyxAdxdyyxp所以，；20=A)25)(24(1)25)(16(20)25)(16(20),(),(2222222+=+=+=yarctgxarctgsdstdtstdtdsdtdsstpyxFyxxyxy3.26 设二维随机变数的密度函数为),(=其它010,104),(yxxyyxp求（1）。)()4();()3();()2();141,210(=PPPP解：21)()4(;21)(244)()3(;04)()2(;641544)141,210()1(102101210141210141=PdxxxxydydxxydxdyPxydxdyPydyxdxxydxdyPxyxyx3.28 设的密度函数为),(=其它020,1021),(yxyxp求与中至少有一个小于的概率。课后答案网解：85211),(1)21,21(1)21()21(2121121121=eeeeeFFFPPPPP3.31 设都是一维分布的密度函数，为使)(),(21xpxp),()()(),(21yxhypxpyxp+=成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？),(yxh解：若为二维分布的密度函数，则),(yxp=1),(,0),(dxdyyxpyxp所以条件得到满足。=0),()2();()(),()1(21dxdyyxhypxpyxh反之，若条件（1），（2）满足，则=1),(,0),(dxdyyxpyxp为二维分布的密度函数。),(yxp因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件（1）和（2）。),(yxp),(yxh3.32 设二维随机变数具有下列密度函数，求边际分布。),(课后答案网（1）=+其它01,12),(31yxxeyxpy（2）=+其它或00,00,01),()(2122yxyxeyxpyx（3）=+xxpxxdyxexpy)1(,0)()1(,2)(1131=+yxpyedxxexpyy（2）时，0 x2)(210222211)(xyxedyexp+=时，0 x2)(210222211)(xyxedyexp+=所以，。同理，。2221)(xexp=2221)(yeyp=（3）)0(,)(1)()()()(111211221=xexkdyexykkxxpxxkykk)0(,0)(=xxp)0(,0)()0(,)(1)()()()(121011212121=+=+yypyykkdxxyxkkeypkkykky3.34 证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。a证：的分布函数为=axaxxF10)(课后答案网设的分布函数、的联合分布函数分别为。),(),(),(yxFyF当时，。当时，ax)()(0),(),(yFxFyxPyxF=。所以，对任意实数，都有)()()(),(),(yFxFyPyxPyxF=yx,，故与相互独立。)()(),(yFxFyxF=3.35 证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。c1)(=cP 证：由 于，所 以，)()(),()(xPxPxxPxP=cxcxxF00)(故。1)(=cP 3.36 设二维随机变量的密度函数为),(+=其它011),(22yxyxp问与是否独立？是否不相关？解：。)1|(|,0)();1|(|,12)(21122=xxpxxdyxpxx同理，。)1|(|,0)();1|(|,12)(2=yypyyyp由于，所以与不相互独立。)()(),(ypxpyxp又因关于或关于都是偶函数，因而，)(),(),(ypxpyxpxy0)(=EEE故，与不相关。0),cov(=3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：=1000100100)(课后答案网一台电子管收音机在开初使用的 150 小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为，则32100)150(1502=dxxP 所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概278)32(3=率是。271)321(3=3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的密度函数。,ba解：设 球 的 直 径 为，则 其 体 积 为。的 反 函 数361=361xy=。由的密度函数，得dyydxyx323362,6=)(1)(abxp=bxa的密度函数为=其它。0,6636)(2)(3332byayabyp3.45 设随机变数服从分布，求的分布密度。)1,0(N解：在时，0 x。dtexxPxPxxt=2221)()(所以的分布密度。)0(,0)();0(,/2)(2/2=.00,0)(ln2121)(22yyayoxpyyp3.47 随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数ba,0为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。)(xF1,0)(1=F课后答案网解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于ba,0)(xF上的均匀分布，所以的分布函数1,0，对任意的都成立。所以)()()()()(1xFxFPxFPxPxF=x与的分布函数相同。3.48 设随机变量与独立，求的分布密度。若（1）与分布服从及+),(ba上的均匀分布，且；（2）与分别服从及上的均匀分),(a解（1）其它。,0)(;),/(1)(=xpbxaabxp，其它。0)(;),/(1)(=ypxxpdyypyxpxp)()()(=+=dyabaxbxman),min(),()(1=，其 0)(;,)(/),max(),min(=+xpbxaabbxax它。（2），其它，0)(;0,/1)(=xpxaaxp，其它。0)(;0,/1)(=xpaxaxpdyadyypyxpxpaxx+=),min()0,max(2/1)()()(=2/)0,max(),min(axaax+=，其它0)(;,2=aeaxpax求+的密度函数。课后答案网解：，axeaxpxp/21)()(=，dyypyxpxp)()()(=+当时，0 xaxxayxyxayyxayyxeaxadyedyedyeadyayyxaxp+=+=+=)1(4141|exp41)(0022当时，0=000)(xxexpx=000)(xxexpx（其中），求+的分布密度。0,0解：时，0 x=+,)()(20)(0)(xxxxyxxyyxxeeedyeedyeexp时，0 x0)(=+xp3.53 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。)1,0(|解：服从上的均匀分布，据 3.48(2)知，)0,1(+=+=101011)0,max()1,1min()(xxxxxxxp在时，的分布函数10 x|=+=0022)1()1()()|(|)(xxxxdttdttxxPxPxF所以的分布密度为|=xexpx0,)(x)()()(+=xxyxedyeexp所以+=0)(0)()(xexexpxx3.56设随机变量与独立，且分别具有密度函数为=000)(22xxxeypx证明服从分布。)1,0(N证：由得。故0,)(22=xxexpx0,)(22131=xexxpxdxxpyxpxypyp)()(|)()(1=令，则22122yux+=20212222121)(yuyedueueyp=所以服从分布。)1,0(N3.58 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。),0(a解：=0)(1|)()()(dzxzzpadzzzpxzpxp当时，课后答案网202211)(xzdzaxpxa=所以的密度函数为=121102100)(2xxxxxp3.59 设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解：在时，0 x+=022)1(1|)()()(xydyeedyyypxypxpyxy在时，。0 x0)(=xp3.60 设二维随机变量的联合分布密度为),(+=其它01|,1|41),(yxxyyxp证明：与不独立，但与独立。22证：由于，所以与不独立。由于)()(),(ypxpyxp=0010)41(11)(112xxxdtdytyxxPxx=0010)41(11)(112yyydtdxtxyyPyy=其它01,010,11,101,1),(22yxxyyxyyxxyxyxP课后答案网所以对一切的，都有，故与相互独立。yx,)()(),(2222yPxPyxP=223.61 设随机变量具有密度函数=其它022cos2)(2xxxp求。DE,解：0cos2222=xdxxE2112cos2222222=xdxxED3.62 设随机变量具有密度函数=其它021210)(xxxxxp求及。ED解，=+=102121)2(dxxxdxxE，6/7)2(2121032=+=dxxxdxxE。6/1)(22=EED3.63 设随机变量的分布函数为+=1111arcsin10)(xxxbaxxF试确定常数，并求与。),(baED解：由分布函数的左连续性，=+=+,00arcsin,11arcsinbaba故。/1,2/1=课后答案网)arcsin121(11xdxE+=，01112=dxxx。2/1sin21212/021022112=tdtxdxxdxxxED3.64随机变量具有密度函数EA,D解：dyeyAdxexAyx+=001/1=，)1(1+TA故。)1(11+=+TA)3(,)1()2(3/022/01+=+=+=+TAdxexAETAdxexAExx=2)2)(1(+222)1()(+=EED3.66 设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。)21,21(sin=解：=2121,0sinxdxE。=2121222/1sinxdxED3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为（秒），则服从上的均匀分布，则300,课后答案网，（秒）15030013000=dxxE，）秒2230002(300003001=dxxE。）秒22(750015030000=D3.71 设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对n,21任意的，有)1(nkk。nkEnk=+11证：同分布，又，所以都存在且相等=niij1/),1(nj=1/1=niij=niijE1/。由于，所以),1(nj=niiniiniiEnE1111/1。nkEkEniink=+=1111/3.72 设是非负连续型随机变量，证明：对，有0 x。xExP1)(证：=xxdttptpxP)(1)()(0dttptxdttpxtx)(11)(10。xE=13.73 若对连续型随机变量，有，证明有。)0()(证：dxxpxdxxpPxxrr)()()(=。rrrrExpx/)(1=3.75 已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其ba+=1dc+=1中均为常数，皆不为零。dcba,ca,课后答案网解：21112111111)()()()(1EEEEEEE=DcDaac),cov(=00acacacac3.81 设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证：。n,2,111n证：21)(0=niiiEEjnjiniiDDD+=1112)(!11jnjiiniiDDD+p)(2pppEEpE+证：（1）时，即所谓的明可夫斯基不等式，1pppppppEEE/1/1/1+证明略。在时，是的下凸函数，故1ppxx2|2pppyxyx+即ppppyxyx|(|2|1+课后答案网故ppppEEE+(21（2）在时，故0p)|(|2|2|2|)|(|pppppppyxyxyxyx+=+)(2pppEEpE+3.88 设二维随机变量的联合分布密度为),(+=其它00,0)1()2)(1(),(yxyxnnyxpn其中。求条件下的条件分布密度。2n1=解：。故0,)1(2)1()2)(1()(10+=+=xxndyyxnnxpnn+=其它00)2()1(2)1|(1|yynypnn3.89 设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，),(2mNx=),(2xN求的分布及关于的条件分布。解：=2222|2)(2)(exp21)|()(),(xymxxypxpyxpdxymxmydxyxpyp+=222222222222exp)(2)(exp21),()(，+=)(2)(exp)(2122222my故)|().,(|22yxpmN+，)2()(),(22+=ypyxp+2222222222)(expymx故在时，的条件分布为。y=),(222222+ymN3.90 设为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，,课后答案网且与独立，证明：1,nn)(11kPEEkkkk=证：=11)(kkkkEEE)(11sPEsskk=)(11sPEsskk=kskksPE)(1=1)(kkkPE3.91 求下列连续型分布的特征函数：（1）上的均匀分布，),(aa)0(a（2）柯西分布，其密度函数为)0(,)(1)(22+=aabxaxp（3）分布，其密度函数为T=000)()(1xxexTxpx)0,0(解：（1）atatdxaetaaitxsin21)(=（2）duautueaduaueeadxabxaetitbituitbaaitx+=+=+=0222222cos2)(1)(由拉普拉斯积分得),0,(,2cos022=+edxxxtaibtet=)(（3）课后答案网=)1()/()()(/)(/)(/)(10)(110ititdxxedxexetxititx=)1(it3.93若是 特 征 函 数，证 明 下 列 函 数 也 是 特 征 函 数：（1）)(t（为正整数）22)()3(;)()2();(tttn证：（1）若是随机变量的特征函数，则是随机变量的特征函数；)(t)(t=（2）若与独立同分布，其特征函数为。则是随机变量)(t)()()(2ttt=的特征函数；=（3）若独立分布，其特征函数为。则是随机变量的n,1)(tnt)(=nii1特征函数。3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。tcost2cosit+112sintt121ite证：（1），所以是两点分布tcosititee+=2121tcos的特征函数。（2），所以是三点分布ititeet222414121cos+=t2cos的特征函数。（3）密度函数为的指数分布的特征函数为，所以0,0)(;0,)(=xxpxexpx（4）上均匀分布的特征函数为，所以互相独立且同为上均匀分布的两个 1,1ttsin 1,1-11P2121202P课后答案网随机变量和的特征函数为，即是密度函数为2)sin(tt2)sin(tt=aatatatt是特征函数，并求出它的分布函数。解：由于hththtpthsin)()(=也是特征函数。证：设与相互独立，的特征函数为，服从上的均匀分布，的特征函)(thh,数为，则是的特征函数。ththsinththsin+3.98 设为个独立同柯西分布的随机变量，证明与有相同的分布。n,21n=niin111证：柯西分布的特征函数故的特征函数为22)(1)(abxaxp+=.)(taibtet=niin11所以与同分布。.taibtnent=niin113.99 设为独立同分布的随机变量，求的分布。n,21T=nii1解：分 布，；，的 特 征 函 数TxexTxp=1)()(0 x0)(=xp0 x。故的特征函数为=itt1)(=nii1，nnitt=1)(所以也是分布，其密度函数为，；，=nii1TxnnexnTxp=1)()(0 x0)(=xp。0 x3.100 设二维随机变量具有联合密度函数为(),+=其它01,1)(141),(22yxyxxyyxp证明：的特征函数等于的特征函数的乘积，但是并不相互独立。+，与课后答案网证：+=dxxzxpzp),()(+=其它。0204)2(024)2(xxxx的特征函数为。+2sintt。1,0)(;11,21)(.1,0)(;11,21)(=aa+的特征函数等于、的特征函数的乘积，但与不独立。证：由的特征函数推得，与的特征函数分别为tet=)(a=+taet=)(与，故。taet)1()(+=)()()(ttt=+倘 若与相 互独立，令的 分布函数为，则)(xF，2)()()()()(),()(xFxPxPaxPxPaxxPxF=故或，此与服从柯西分布相矛盾，故与互不独立。0)(=xF13.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。tsin211tt+)ln(te+t i11()2211t+解：（1）不是，因为。10sin（2）不是，因为当时，。01+tt（3）不是，因为不成立1)ln(+te（4）不是，因为。)(11)(tt it=（5）是的，拉普拉斯分布的特征函数为，所以也是特征xexp=21)(211t+()2211t+课后答案网函数。课后答案网