概率论与数理统计第二版5 西南财经大学出版社.pdf

1概率论第五章习题解答概率论第五章习题解答 习题习题 5.1 1 设X1,Xn为来自总体X的简单样本，且X服从参数为p（0 p 1）的两点分布，样本值为x1,xn 求X1,Xn的联合分布律 解：总体 X 的分布律为 PX=x=p x(1 p)1 x，x=0,1，故=niiniiiixnxnixxnnppppxXxXP11)1()1(,1111L，其中 x1,xn=0,1 2 设 X1,Xn为来自参数为 的泊松分布总体 X 的样本，样本值为 x1,xn 试求 为何值时，,11nnxXxXP=L最大？解：总体 X 的分布律为=e!xxXPx，x=0,1,2,，则!ee!,211111nnxniixnnxxxxxXxXPniiiLL=，其中 x1,xn=0,1,2,，令0)(!e!)(ee,dd1212111111111=+=nxxxxxxxnxxXxXPniinnxnnxnxniinnniiniiniiLLL，得01=nxnii，即xxnnii=11，且当x时，此导数为负，故当x=时，PX1=x1,Xn=xn最大 3 设 X1,Xn为来自参数为 的指数分布总体 X 的样本，试求 X1,Xn的联合密度函数 解：总体 X 的密度函数=,0,0,0,e)(xxxfx 故=.,0,0,e,0,0,e),(11111其他其他nxnnnixnxxxxxxfniiiLLL 4 设总体 X 的样本值为 1,3,1,1,2,3,3,2,1,2，求 X 的经验分布函数 Fn(x)，并画出其图形 解：将样本观测值按由小到大顺序排列：1,1,1,1,2,2,2,3,3,3，即 x(1)=x(2)=x(3)=x(4)=1，x(5)=x(6)=x(7)=2，x(8)=x(9)=x(10)=3，故=.3,1,32,7.0,21,4.0,1,0)(xxxxxFn 习题习题 5.2 1 设 X N(,25)，未知，X1,Xn为总体 X 的样本下列样本函数中，哪些是统计量？为什么？1 2 3 00.40.71xy课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 2（1）=niiXn12)(1；（2）=niiXXn122)(1，为总体标准差 解：（1）不是统计量，其中含有未知参数；（2）是统计量，参数=5 为已知 2 证明定理 5.2 证：（1）bXabXnanbXanbaXnYnYniiniiniinii+=+=+=+=11111)(1)(11；（2）)()(1)(1)(1)1()(111XEXnEnXEnXEnXnEXEniniinii=，)(1)(1)(1)(1)1()(212121XDnXnDnXDnXDnXnDXDniniinii=3 证明定理 5.3 中性质（1）证：21221221121221222)2()(XnXXnXnXXXnXXXXXXXXXniiniiniiniiniiinii=+=+=+=4 下列数据为某报童近 20 天的报纸销售量：658,571,611,527,546,598,470,577,549,598,676,569,608,632,572,706,609,569,577,641（1）计算样本均值x和样本方差 s 2；（2）假设报童每天的报纸销售量 X 服从正态分布，并且xX=)(E，D(X)=s 2，报纸的批发价为 0.35 元，零售价为 0.5 元，卖不完退回报社的退回价为 0.1 元，求报童每天批发多少报纸，可使平均收益最大？解：（1）2.593)641571658(201=+=Lx，22.2883)2.593641()2.593571()2.593658(1912222=+=Ls；（2）由假设得 X N(593.2,2883.22)，设每天批发 a 份报纸，收益为 Y，当 X a 时，实际售出 a 份报纸，收益 Y=0.15a 元，当 X a 时，实际售出 X 份报纸，退回 a X 份，收益 Y=0.15X 0.25(a X)=0.4 X 0.25 a，即=,25.04.0,15.0)(aXaXaXaXgY 则)(1 15.0)(25.0)(4.0d)(15.0d)()25.0(0.4)(E aFaaaFdxxxfxxfaxxfaxYaaa+=+=+aaaFdxxxfa15.0)(4.0)(4.0+=，令015.0)22.28832.593(4.015.0)(4.015.0)(4.0)(4.0)(4.0d)(dE=+=+=+=aaFaafaFaafaY，得375.0)22.28832.593(=a，即32.022.28832.593=a，且0)(4.0d)(Ed22=,0,0,0,e5)(5xxxfx 有xxxxxxxXP555e)e(de5+=，故ln51=x，当=0.15 时，3794.015.0ln5115.0=x；当=0.95 时，0103.095.0ln5195.0=x 习题习题 5.3 1 求 N(5,16)分布的上侧 分位数：（1）=0.95；（2）=0.05；（3）=0.01 解：因)1,0(45NX，且4545=xXPxXP，有ux=45，则 x=5+4 u=5+4 1(1 )，（1）x0.95=5+4 u 0.95=5+4 (1.64)=1.56；（2）x0.05=5+4 u 0.05=5+4 1.64=11.56；（3）x0.01=5+4 u 0.01=5+4 2.33=14.32 2 查表求自由度为 7 的 t 分布的上侧 分位数：（1）=0.95；（2）=0.99；（3）=0.05；（4）=0.01 解：因 t1 (n)=t(n)，（1）t 0.95(7)=t 0.05(7)=1.8946；（2）t 0.99(7)=t 0.01(7)=2.9980；（3）t 0.05(7)=1.8946；（4）t 0.01(7)=2.9980 3 查表计算2(18)：（1）=0.05；（2）=0.99 解：（1）869.28)18(205.0=；（2）015.7)18(299.0=4 设 2 2(n)，证明：E(2)=n，D(2)=2n 证：因 2 2(n)，存在 X1,X2,X n相互独立且都服从 N(0,1)，使得222212nXXX+=L，则)(E)(E)(E)(E)(E21222212XnXXXn=+=L，)(D)(D)(D)(D)(D21222212XnXXXn=+=L，因 X1 N(0,1)，有 E(X1)=0，D(X1)=1，故1)(E)(D)(E21121=+=XXX，即 E(2)=n；而2214121)(E)(E)(DXXX=，且+=xxxxxxXxxxxd3e21e2)e(d21de21)(E22232324412222 3)(E3de213021222=+=+Xxxx，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 4故213)(E)(E)(D2214121=XXX，即 D(2)=2n 5 求第一自由度为 4，第二自由度为 7 的 F 分布的上侧 分位数：（1）=0.95；（2）=0.99；（3）=0.05；（4）=0.01 解：因),(1),(1nmFmnF=，（1）1642.009.61)4,7(1)7,4(05.095.0=FF；（2）0668.098.141)4,7(1)7,4(01.099.0=FF；（3）F0.05(4,7)=4.12；（4）F0.01(4,7)=7.85 6 证明),(1),(1nmFmnF=证：设 X 2(n)，Y 2(m)，且 X 与 Y 相互独立，有),(mnFmYnXF=，且),(1nmFnXmYF=，则=1),(11),(11nmFFPnmFFP，即=),(111nmFFP，故),(1),(1nmFmnF=习题习题 5.4 1 在总体 N(12,4)中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值X落在 8.8 至 13.2 之间的概率 解：因总体 X N(12,4)，且样本容量 n=36，有)1,0(3/11236212NXX=，故9998.0)6.9()6.3(6.33/1126.92.138.8=YXPYXP 3 分别从方差为20和35的两个正态总体中抽取容量为8和10的两个独立样本X1,X 2,X 8与Y1,Y 2,Y 10，试估计222yxSSP 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 5解：双总体 X N(x,20)，Y N(y,35)，样本容量分别为 n=8，m=10，且相互独立，则)9,7(75.135/20/2222FSSSSyxyx=，故0423.05.375.122222=yxyxSSPSSP 注：最后一步利用 MATLAB 软件计算积分，程序如下：建立 fdis.m 文件：function y=fdis(x)n=7;m=9;y=gamma(n+m)/2)/gamma(n/2)/gamma(m/2)*(n/m)(n/2)*x.(n/2-1).*(1+n/m*x).(-(n+m)/2);%F 分布密度 命令窗口输入：p=1-quadl(fdis,0,3.5)4 设总体 X N(,2)，X1,Xn为 X 的样本如果利用样本讨论与总体期望 有关的概率问题，应选取哪个统计量？选用哪个抽样分布？解：讨论总体期望，应选取样本均值X，当 2已知时，选用)1,0(NnXU=，当 2未知时，选用)1,0(NnSXT=5 设 X1,Xn与 Y1,Ym分别为来自正态总体),(211NX与),(222NY的样本，且两样本相互独立如果利用样本讨论与两总体样本均值差1 2有关的概率问题，应选取哪个统计量？选用哪个抽样分布？如果利用样本讨论与两总体样本方差比2221有关的概率问题，应选取哪个统计量？选用哪个抽样分布？解：讨论两总体均值差1 2，应选取样本均值差YX，当21和22已知时，选用)1,0()()(222121NmnYX+，当21和22未知但2221=时，选用)2(112)1()1()()(222121+mntmnmnSmSnYX 复习题五复习题五 1 设 X1,Xn为来自总体 X 的样本，下列样本函数何时是统计量，何时不是统计量（1）XXnnii211=；（2）=+niibaXn12)(1；（3）=niiiXXn12)(E1；（4）minmax11iniiniXX；（5）)(Dminmax11XXXiniini 解：（1）不含未知参数，是统计量；（2）含参数 a,b，当参数 a,b 已知时，是统计量，当 a,b 未知时，不是统计量；课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 6（3）含 E(Xi)=E(X)，当总体期望 E(X)已知时，是统计量，当 E(X)未知时，不是统计量；（4）不含未知参数，是统计量；（5）含)(D1)(DXnX=，当总体方差 D(X)已知时，是统计量，当 D(X)未知时，不是统计量 2 设 X1,Xn为总体 X 的样本，=niiXnX1221，在下列情形下求)(E2X（1）X 服从参数为 p=0.6 的两点分布，；（2）X 服从参数=7 的泊松分布；（3）X N(3,16)解：因222)(E)(D)(E)(D)(EXXXXXiii+=+=，有2122)(E)(D)(E1)(EXXXnXnii+=，（1）因 X (0-1)，有 E(X)=p=0.6，D(X)=pq=0.24，故6.06.024.0)(E22=+=X；（2）因 X P(7)，有 E(X)=7，D(X)=7，故5677)(E22=+=X；（3）因 X N(3,16)，有 E(X)=3，D(X)=2=16，故25316)(E22=+=X 3 设 X N(,4)，X为样本均值，试求样本容量 n 为多少时，才能使9.01.0|XP？解：因 X N(,4)，有)1,0(/2NnX，则9.01)21.0(2)/21.0()/21.0(/21.0/2/21.01.0|=nnnnnXnPXP，得95.0)21.0(n，64.121.005.0=un，8.32n，故 n 1075.84，取 n 1076 4 设 X N(15,9)，X,S 2分别为样本均值和样本方差，样本容量 n=6，求 a，使概率9.0=aXP 解：因 X N(15,32)，且 n=6，有)1,0(6/315NX，则9.0)6/315(6/3156/315=aaXPaXP，得28.16/3151.0=ua，故 a=16.57 5 设 X N(,9)，X,S 2分别为样本均值和样本方差，n=10求 a：（1）使概率9.0=aXP，应该用什么分布？能否求出？（2）使概率 PS 2 a=0.9 解：因 X N(,32)，有)1,0(10/3NX，)9(9)110(222SS=，（1）应该用正态分布，9.0)10/3(10/310/3=bSSPbSSPyxyx，即97.3)7,5(93805.0=Fb，故 b=0.9403 7 设 X1,X5为来自总体 N(20,9)的样本，求：（1）Pmax(X1,X5)21.5；（2）Pmin(X1,X5)21.5 解：（1）Pmax(X1,X5)21.5=1 Pmax(X1,X5)21.5=1 PX1 21.5,X5 21.5=1 PX1 21.5PX5 21.5=1 F(21.5)5=1 (0.5)5=1 0.69155=0.8419；（2）Pmin(X1,X5)21.5=PX1 21.5,X5 21.5=PX1 21.5PX5 21.5=1 F(21.5)5=1 (0.5)5=(1 0.6915)5=0.0028 8 设 X1,X n,X n+1是来自正态总体 N(,2)的样本，11niiXXn=，2211()1niiSXXn=，试证明统计量1(1)1nXXnTt nSn+=+解：因211(,)niiXXNnn=，X n+1 N(,2)，且X与 X n+1相互独立，即1nXX+服从正态分布，且11E()E()E()0nnXXXX+=，222111D()D()D()nnnXXXXnn+=+=+=，则211(0,)nnXXNn+，即1(0,1)1nXXNnn+，因222122()(1)(1)niiXXnSn=，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 8故根据 t 分布的定义得11221(1)1(1)(1)nnXXnXXnt nnnSSnn+=+9 设 X1,X2为来自正态总体 N(0,2)的样本，求221221)()(XXXXY+=的分布 解：因 X1 N(0,2)，X2 N(0,2)，且相互独立，有 E(X1)=E(X2)=0，D(X1)=D(X2)=2，Cov(X1,X2)=0，则 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0，D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2 2，E(X1 X2)=E(X1)E(X2)=0，D(X1 X2)=D(X1)+D(X2)=2 2，Cov(X1+X2,X1 X2)=Cov(X1,X1)Cov(X1,X2)+Cov(X2,X1)Cov(X2,X2)=D(X1)D(X2)=0，因(X1,X2)服从二维正态分布，X1+X2与 X1 X2都是 X1与 X2的线性组合，有(X1+X2,X1 X2)也服从二维正态分布，即 X1+X2 N(0,2 2)，X2 X2 N(0,2 2)，且相互独立，则)1,0(221NXX+，)1,0(221NXX，即)1(2)(22221XX+，)1(2)(22221XX，且相互独立，故)1,1(12)(12)()()(22212221221221FXXXXXXXXY+=+=10设 X1,X6是来自正态总体 N(0,3)的样本，试确定常数 a 和 b，使得随机变量 Y=a(X1+X2)2+b(X3 X4+X5+X6)2服从自由度为 2 的 2分布 解：因 Xi N(0,3)，i=1,6，且相互独立，有 E(Xi)=0，D(Xi)=3，则 X1+X2和 X3 X4+X5+X6都服从正态分布，且 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0，D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=6，E(X3 X4+X5+X6)=E(X3)E(X4)+E(X5)+E(X6)=0，D(X3 X4+X5+X6)=D(X3)+D(X4)+D(X5)+D(X6)=12，即 X1+X2 N(0,6)，X3 X4+X5+X6 N(0,12)，且相互独立，得)1,0(621NXX+，)1,0(126543NXXXX+，)2(12)(6)(226543221XXXXXX+，故61=a，121=b 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m