概率论与数理统计JA(48,15-16)11.pdf

1）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会 求离散型随机变量的分布律；会确定分布律中的未求离散型随机变量的分布律；会确定分布律中的未知参数知参数;0 npn，有，有对任意的自然数对任意的自然数.1 nnp上节课内容复习上节课内容复习 nkppCkXPknkkn，101 3）若）若 X 表示表示n重贝努里试验中成功出现的次数，重贝努里试验中成功出现的次数，则则 X B(n,p),2）若）若 X 表示表示一次一次贝努里试验中成功出现的次数，贝努里试验中成功出现的次数，则则 X B(1,p),，210!kekkXPk 4）掌握泊松分布；）掌握泊松分布；Poisson 定理的应用定理的应用 ，若随机变量若随机变量pnBX np 令：令：knkknppCkXP 1则有则有 ekk!5）掌握几何分布：若）掌握几何分布：若 X 表示贝努里试验中表示贝努里试验中A首次首次发生时试验的次数发生时试验的次数 ,2,111kppkXPk6）掌握随机变量分布函数的定义及性质）掌握随机变量分布函数的定义及性质;会计算与会计算与随机变量相联系的事件的概率随机变量相联系的事件的概率)(xXPxF F(x)是一个是一个单调单调不减右连续的函数；不减右连续的函数；;1)(0 xF;1)(,0)(FF-1 0 1 2 3 x 1 214141X pk 21-1 2 3 4141 b X a P a F b F a X P )0()(a F a F 概率密度及其性质概率密度及其性质 指数分布指数分布 均匀分布均匀分布 正态分布与标准正态分布正态分布与标准正态分布 4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 一、连续型随机变量的概念与性质一、连续型随机变量的概念与性质 1)定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)，存，存 在非负函数在非负函数 f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数 x，有，有 则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f(x)称为称为 X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.xdttfxF,)()(4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F F(x x)是连续函数是连续函数 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x)具有以下性质：具有以下性质：.0)(10 xf.1)(20 dxxff(x)0 x 1)()(312210 xFxFxXxP f(x)x 0 1x2x 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布)(.)(2121xxdxxfxx 前两个条件是概率密度前两个条件是概率密度的充分必要条件的充分必要条件 处连续，则有处连续，则有在点在点若若xxf)(40 xxFxxFxfx )()(lim)(0即即 xxxXxPx )lim0若不计高阶无穷小，有若不计高阶无穷小，有.)(xxfxxXxP xdttfxF,)()(4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布).()(xfxF f(x)0 xxx 注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不密度函数不是概率！是概率！我们不能认为：我们不能认为：！afaXP ，对任意的实数对任意的实数是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则设设aX 0 aXP有有连续型随机变量的一个重要特点：连续型随机变量的一个重要特点：4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的密度函数为的密度函数为若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，取值的概率为，也可以是无穷区间）上也可以是无穷区间）上可以是有限区间，可以是有限区间，间间闭区间，或半开半闭区闭区间，或半开半闭区也可以是也可以是可以是开区间可以是开区间（在任意区间在任意区间则则,GGX GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 此公式非常重要！此公式非常重要！例例 1 1 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其它其它020242xxxcxf解：解：由密度函数的性质由密度函数的性质；常数常数求：求：c 1 XP 1 dxxf 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 dxxf1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所以，所以，1 XP GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 2122483dxxx213232283 xx21 1dxxf例例 2 某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元 件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解：设设 A=某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 例例 2（续）（续）150 XPAP则则检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验试验 设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元 件数，件数，150dxxf 1501002100dxx31 32253231 C24380 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布).3/1,5(BY则则故所求概率为故所求概率为 2 YP例例 3 的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量X 其它其它021210 xxxxxf的分布函数的分布函数试求试求 X解：解：0 xdttfxFx时，时，当当10 xdttfdttf00 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 x dt t f x F x 时，时，当当 0 例例 3（续）（续）xtdt022x xdttfxFx时，时，当当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 例例 3（续）（续）xdttfxFx时，时，当当2 xdttfdttfdttfdttf221100 21102dtttdt 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 1 例例 3（续）（续）的分布函数的分布函数量量综上所述，可得随机变综上所述，可得随机变X xxxxxxxxF21211221020022 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 二、一些常用的连续型随机变量二、一些常用的连续型随机变量 1)均均 匀匀 分分 布布 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 其它其它01bxaabxf 上的均匀分布上的均匀分布，服从区间服从区间则称随机变量则称随机变量baX记作记作 X U a,b 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 密度函数的验证密度函数的验证 是其密度函数，则有：是其密度函数，则有：，设设xfbaUX ；，有，有对任意的对任意的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 确是密度函数确是密度函数其它其它 01bxaabxf由此可知，由此可知，4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 说说 明明 类似地，我们可以定义类似地，我们可以定义 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间 b a 上的均匀分布；上的均匀分布；，区间区间 b a 上的均匀分布上的均匀分布，区间区间 b a 均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景 变量变量上的均匀分布，则随机上的均匀分布，则随机，服从区间服从区间如果随机变量如果随机变量baX 上取值是等可能的上取值是等可能的，在区间在区间量量这时，可以认为随机变这时，可以认为随机变baXX X a b x l l 0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 取值的概率与该子区取值的概率与该子区上的任意一个子区间上上的任意一个子区间上，在区间在区间baX该子区间的位置无关该子区间的位置无关 间的长度成正比，而与间的长度成正比，而与 均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数 0,有有|sXtsXP ,sXPsXtsXP sXPtsXP )(1)(1sFtsF seets )(te tXP 这说明，如果已知寿命长于这说明，如果已知寿命长于s s年，则再活年，则再活t t年的概率与年龄年的概率与年龄s s无关，所以有时又风趣地称指数分布是无关，所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻永远年轻”的。的。指数分布常用各种指数分布常用各种“寿命寿命”分布的近似，如无线电元分布的近似，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间。机服务系统中的服务时间。0100 xexxFx 例例 7 的概率的概率分钟分钟分钟，还需再等分钟，还需再等若已经等了若已经等了钟之间的概率钟之间的概率分分分钟到分钟到你需等待你需等待，求，求你前面走进公用电话间你前面走进公用电话间如果某人刚好在如果某人刚好在为参数的指数随机变量为参数的指数随机变量以以（单位：分钟）是（单位：分钟）是间间设打一次电话所用的时设打一次电话所用的时1010)2(;2010)1(10/1 X解：解：的密度函数为的密度函数为X 00010110 xxexfx 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 2010 XPBP则则（1）令：）令：B=等待时间为等待时间为1020分钟分钟 201010101dxex201010 xe 21 ee2325.0 例例 7（续）（续）00010110 xxexfx 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 10|20)2(XXP所求概率为所求概率为 10 XP 1010101dxex 1010 xe368.01 e3)3)正正 态态 分分 布布 x f(x)0 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 的密度函数为的密度函数为 如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X x e x f x 2 2 2 2 1 s s s s p p ，为参数为参数，其中其中 0 s s 布记作布记作 的正态分的正态分，服从参数为服从参数为 则称随机变量则称随机变量 2 s s X .2s s，NX标准正态分布标准正态分布 为标准正态分布为标准正态分布，我们称，我们称，若若1010N s s 数为数为标准正态分布的密度函标准正态分布的密度函 xexx2221p p 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 密度函数的验证密度函数的验证 是其密度函数，则有：是其密度函数，则有：，设设xfNX2s s xexfx021222s s s sp p下面验证：下面验证：121222 dxedxxfxs s s sp p 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 密度函数的验证密度函数的验证(续续)首先验证：首先验证：12122 dxedxxxp p p p222 dxex或验证：或验证：4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 p p2222 dxex dyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222为此，我们只需证明：为此，我们只需证明：密度函数的验证密度函数的验证(续续)02202222rdreddxerxp p 0222rep pp p2 p p222 dxex因此，因此，4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 则有则有，作极坐标变换：作极坐标变换：sin cos r y r x 密度函数的验证密度函数的验证(续续)下面验证：下面验证：121222 dxexs s s sp p s sp ps sp ps s s s dxedxexx2222122121则有则有1 dueu2221p p 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 s s s s dx du x u 则则，作变换：作变换：密度函数的验证密度函数的验证(续续)综上所述，综上所述，xexfx22221s s s sp p 是一个密度函数是一个密度函数确确本条件，因此本条件，因此满足密度函数的两项基满足密度函数的两项基xf 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 正态分布密度函数的图形性质正态分布密度函数的图形性质 我们有：我们有：由高等数学中的知识，由高等数学中的知识，数数对于正态分布的密度函对于正态分布的密度函 xexfx22221s s s sp p hXPXhPhx ，有，有这表明：对于任意的这表明：对于任意的对称，对称，曲线关于直线曲线关于直线0 x f(x)0 hh 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）越小越小落在该区间中的概率就落在该区间中的概率就变量变量越远时，随机越远时，随机间离间离同样长度的区间，当区同样长度的区间，当区对于对于的值就越小这表明，的值就越小这表明，越远，越远，离离取到最大值取到最大值时，时，当当Xxfxfxfx s sp p 21 3连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 x f(x)0 hh正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）轴为渐近线轴为渐近线以以曲线曲线处有拐点；处有拐点；在在曲线曲线Oxxfyxxfy s s 确定确定所所图形的位置完全由参数图形的位置完全由参数因此因此其形状其形状轴平行移动，但不改变轴平行移动，但不改变图形沿图形沿的的的值，则的值，则固定，而改变固定，而改变若若 s sxfyxxf 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 x f(x)0 hh正态分布密度函数的图形性质（续）正态分布密度函数的图形性质（续）的取值越分散的取值越分散形越平坦，这表明形越平坦，这表明的图的图越大时，越大时，当，当附近的概率越大；反之附近的概率越大；反之落在落在图形越陡，因而图形越陡，因而越小时，越小时，可知，当可知，当的最大值为的最大值为的值，由于的值，由于固定，而改变固定，而改变若若XxfyXxfyfxf s s s ss sp p s s 21x f(x)0 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 正态分布的重要性正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明：情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 标准正态分布的计算：标准正态分布的计算：，则其密度函数为，则其密度函数为，如果随机变量如果随机变量10 NX ,2122xexp p xdtedttxxtx2221p p 其分布函数为其分布函数为 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 标准正态分布的计算（续）标准正态分布的计算（续）x 0)(xx-x 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 x X P x x 我们可直接查表求出我们可直接查表求出 对于对于 0，我们可由公式，我们可由公式 如果如果 0 x x t x dt e dt t x 2 2 2 1 p p ，得，得，作变换作变换 du dt u t x u du e x 2 2 2 1 p p x u du e 2 2 2 1 p p x u du e 2 2 2 1 1 p p x 1 一般正态分布的计算一般正态分布的计算 )1,0(2NXYNXs s s s ，则，则，设设 yXPyYPyFY s s ytdtes s s s s sp p22221，代入上式，得，代入上式，得，则，则作变换作变换s ss s dtdutu yuYdueyF2221p p y yXPs s )(xXPxFX)(s s x s s s s xXP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 一般正态分布的计算（续）一般正态分布的计算（续）函数函数是标准正态分布的分布是标准正态分布的分布其中，其中，x).()-(,s s s s abbXaPba有有故对任意的故对任意的)(xFX)(s s x 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 该公式给出了一般正态分该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法布分布函数值的求法 例例 8 8 ；，试求：，试求：，设随机变量设随机变量212110 XPXPNX解：解：21 XP841340977250.135910.21 XP 112 8413401977250.818590.4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 12 12 ；，试求：，试求：，设随机变量设随机变量0625192 XPXPXPNX解：解：51 XP)()(321325 311 1311 1629300841340 .470640.例例9 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布)1()5(FF 62 XP 6261 XP 841 XP)324()328(1 221 212 0455097725012.4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 621 XP 0 XP)(3201 3217486032.4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 01 XP)69.7170175(1 175 XP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 假设某地区成年男子的身高假设某地区成年男子的身高(单位：单位：cm)例例10),69.7,170(2NX（1）该地区）该地区成年男子的身高超过成年男子的身高超过175cm的概率；的概率；求求（2）公共汽车门的高度是按成年男子与车门碰头机公共汽车门的高度是按成年男子与车门碰头机会在会在0.01以下来设计的以下来设计的，问车门的高度如何确定问车门的高度如何确定？解解（1）1751 XP2578.0)65.0(1 （2）设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求有按设计要求有 01.0 hXP 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布,99.09901.0)33.2(查表得查表得,01.0 hXP99.0 hXP即即hXP 而而18892.17170 h即车门的高度为即车门的高度为188cm时，就能使男子碰头机时，就能使男子碰头机会不超过会不超过0.01.例例10（续）（续）99.069.7170 h,33.269.7170 h所以所以满足条件满足条件若若设设 zNX),1,0(0 x)(x0.05z 查表可知查表可知z1z 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布,10,zXP分位点。分位点。为标准正态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点 z ,z -1 z 注：注：=1.645 0.005z =2.575 0.95z =-1.645 0.995z =-2.575 的密度函数为的密度函数为如果连续型随机变量如果连续型随机变量X 0001xxexrxfxrr 为参数为参数，其中其中00 r ，记作：记作：分布分布的的，服从参数为服从参数为则称随机变量则称随机变量rXrX 4)4)-分布分布.4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布-函函 数数 函数的定义：函数的定义：01dxexrxr ，函数的定义域：函数的定义域：0 函数的性质：函数的性质：rrr 1 ，p p 2111 ！为自然数，则为自然数，则如果如果1 nnn 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 ，得，得，则由，则由如果如果111 r 000 xxexfx 的指数分布的指数分布这正是参数为这正是参数为 分布的一个特例分布的一个特例这说明指数分布是这说明指数分布是 说明：说明：！得！得，由，由如果如果1 nnnr 00011xxex!nxfxnn 重要的分布之一重要的分布之一分布，它是排队论中分布，它是排队论中我们称此分布为我们称此分布为Erlang 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 为自然数，则有为自然数，则有，其中，其中，如果如果nnr212 0002212122xxexnxfxnn 的分布之一的分布之一它是数理统计学中重要它是数理统计学中重要分布，记作分布，记作的的为为我们称此分布为自由度我们称此分布为自由度nn22 说明：说明：4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 4 正态分布的密度函数及几何性质。正态分布的密度函数及几何性质。5 一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系。6 会利用正态分布密度函数的性质求积分。会利用正态分布密度函数的性质求积分。小结：小结：1 连续型随机变量的密度函数的连续型随机变量的密度函数的定义和性质。定义和性质。特别是特别是 GdxxfGXP2 均匀分布的定义及性质。均匀分布的定义及性质。3 指数分布的定义。指数分布的定义。