对美国高中几何课程标准的评价与反思.pdf

第1 6 卷第4 期2 0 0 2 年1 2 月北京教育学院学报J O U R N A L0 FB E I J I N GI N S I T l l)I E0 FE D U C A r O NV 0 1 1 6N o 4D e c 2 0 0 2对美国高中几何课程标准的评价与反思王建明(北京教育学院数学系，北京1 0 0 0 4 4)摘要：我国几何课程改革既要关注发展学生对推理、证明和公理化思想的理解，又要培育学生多元多维的几何认识。几何课程应该有一条明确的发展主线贯穿其中。数学教育技术是我国几何课程标准研制中不可或缺的、应该考虑的重要因素。关键词：课程标准；几何教学；N c 7 I M；信息技术中图分类号：G 6 3 2 3文献标识码：C文章编号：1 0 0 8 2 2 8 x(2 0 0 2)0 4 0 0 6 5 0 4全美数学教师理事会(卟eN a t i 伽a lC o u n c i lo fT e a c h e r so fM 础e m a t i c s，简称N C r I M)于2 0 0 0 年4 月1 2 日在芝加哥召开的第7 8 次年会上，发布了备受关注的学校数学的原则和标准(T h e蹦n c i p l e sa n dS t a J l d a I d sf o rS c h 0 0 1M 讪e 眦t i c s，简称N c 聊标准2 0 0 0)的最后版本。我国高中数学课程标准框架设想(简称高中课标)也于2 0 0 2 年3 月1 8 日发表了征求意见稿。鉴于颇受各方争议的“几何”课程标准的改革历来是一个难点，为此介绍N c I M 标准2 0 0 0 中关于几何标准的整体要求和9 1 2 年级(相当于我国高中)的具体要求，以期从中获得某些启示，同时也对相关问题提出了作者的看法。一、9 1 2 年级组的几何标准要求N c r I M 标准2 0 0 0 的各个标准都按照整体要求和年级要求统一起来，反映了该标准对数学课程的发展性认识。1 分析2 维和3 维图形的特征和性质，发展学生关于几何关系的数学论证*分析2 和3 维物体的性质、确定它们的属性*探索2 和3 维几何对象的关系(包括相似和全等)，提出有关它们的猜想、并检测猜想，解决包含它们的问题*通过演绎推理建立几何猜想的有效性，证明定理，评价别人的论证*用三角方法确定长度和角度的测量2 用坐标几何和其它表示方法确定位置和描述空间关系*通过笛卡儿坐标，航海坐标，极坐标或球面坐标等其它坐标系分析几何情况*研究猜想和解决问题，包括用笛卡儿坐标表示的2 和3 维物体中的猜想和问题3 应用变换和对称分析数学问题情景*通过草图、坐标、向量、函数记号和矩阵的使用，理解并表示平面中物体的反射、旋转和伸缩*使用多种表示法促进学生理解简单变换和它们的复合作用4 使用可视化、空间推理和几何模型解决问题*使用多种工具画出和构造2 和3 维几何体*从不同的角度观察3 维物体和空间，分析它们的截面*通过点边图建模、解决问题*通过几何模型了解数学的其它领域，并解答其中的问题*用几何思想，解决其它学科和艺术、建筑等领域中有趣问题，由此获得对这些问题的理解收稿日期：2 0 0 2 1 0 2 4作者简介：王建明(1 9 6 3 一)，男，南昌人，副教授，整体微分几何硕士。6 5 万方数据北京教育学院学报二、9 1 2 年级组几何标准的进一步说明N C 7 I M 对高中几何课程的要求进行了详细的解释，包括使用e e X 锄p l e s，归纳起来有以下几个方面。关于几何关系：高中生应该进行更为独立的探索，这样的话，可以开发他们对变换和对称等重要几何思想的深入理解。这种理解使得学生可以提出欧氏几何学习中的中心问题：两个几何图形是否全等?如果是，为什么?它们是否相似，如果是，为什么?根据几何体已有性质，能推出什么性质?关于几何地位：几何提供了对世界的描述、分析和理解的方法，也提供了对世界结构的美的观察。几何思想既可以用于数学的其它领域，也可以用于应用场所。关于几何表示法：高中生应该获得表示几何思想的多种形式坐标、网格、变换、向量和矩阵它们提供了几何问题解决的多样方法，也建立了几何解释与其它知识的联系。学生应该了解不同表示法之间的关系，这样他们在使用这些表示法时就更灵活。利用不同表示法的特点可以发展学生对几何的深人认识。关于模式与推理：几何长期以来为学生提供了发现模式和陈述猜想的广阔天地。动态几何软件使学生可以检验不同模型，从而扩展了他们表述猜想、探索猜想的能力。学生应该看到演绎证明在由已知条件建立一般结论中的功能。重要的是应该关注如何产生逻辑论证，然后通过认真的推理解释，有效地呈现观点，而不是在证明形式上。对高中教师来说，具有挑战的是在他们的教学中如何整合技术作用，使得技术成为激励学生探索思想、形成猜想，进而帮助学生认识到对猜想而言要么给出证明，要么举出反例。三、评价与反思N c r I M 标准2 0 0 0 为学校数学提供了6 个原则和1 0 个标准。包括平等原则、课程原则、教的原则、学习原则、评价原则和技术原则；1 0 个标准，包括5 个内容标准：数与运算、代数、几何、测量和数据分析与概率；5 个过程标准：问题解决、推理与证明、交流、联系和表示。通过6 个原则6 6和1 0 个标准，N C 肼为未来的学校数学勾画了一幅美好的远景：在学校里或者学区的课堂上，所有学生都能够获得高质量的、引人人胜的数学教学。所有学生都被给予很高的期望，关注每个人的需要。教师知识渊博，并且有丰富的教学资源支持他们的教学，教师还能够在专业上不断成长。数学课程内容丰富，使学生有机会理解性地学习重要的数学概念和技能。现代技术是如上教学环境的重要组成部分。学生充满信心地投身于教师精心选择的各种各样的数学活动中。学生从广泛的数学课程上获得知识教师帮助学生根据事实提出猜想，修改和探究猜想，并且帮助学生使用不同推理和证明技巧去证实或证伪这些猜想。学生是灵活的、足智多谋的解决问题的高手。利用现代技术，在训练有素教师的指导下，学生或独立或合作地开展富有成果的、反思性的学习活动。或口头或书面地，学生有效地交流他们的思想和结论。学生们高度重视数学，并积极地参与到学习数学的活动中。这是一副美好的、理想数学教学的情景，所以N C 7 也认为现实与理想是有距离的。这样的美景是所有数学教学的理想国。我们的数学课程标准研制也应该有美好的理想，但同时也要紧密联系中国的国情。因此我们认为，在借鉴N c 咖标准2 0 0 0 的几何标准经验时，有如下的几点值得思考。1 几何课程应该关注几何的教育价值从标准2 0 0 0 中看到“推理与证明”是5 个过程标准中的一个，并且在几何的整体要求中，首先谈到了几何在推理与证明的作用。尤其在高中阶段，还特别谈到了几何的“演绎推理”的功能。事实上，在这一点上，以前我们的认识是片面的，现在制定新的高中标准时，应该在几何的推理与证明的教育功能方面，有个合适的度。关键在于课程设计时，强调的应该是“过程”，而不是以往的过于复杂的“技能”；重要的是使学生通过几何的学习，领会和理解“推理与证明”在数学中的地位和价值，而不是通过“推理与证明”显示学生的几何理解能力。因此，一句话，应该对以往的“推理与证明”有观念上的更新。完全的否定和完全的继承都是不合中国国情的。高中课标注意到义务课标在几何证明方面的不足，专门制订了在“必修2”中，通过“直线与圆”进一步完善对学生“推理与证明”的培养，以利于发展 万方数据王建明：美国高中几何课程标准给我们的启示学生的科学理性思维和精神。2 几何课程应该培育学生多元多维几何观如上所述标准2 0 0 0 中几何的整体要求有4 点，但在不同阶段的具体要求是发展的。除了“数学论证”，另外3 点的要求总结为一个观点就是：几何课程标准应该使学生有机会获得对几何多元多维的认识。这其中，包括坐标几何、向量几何、变换几何、几何与其它学科的联系和几何问题解决。多元多维的几何观既关注了几何学科的科学发展，同时也关注了学生的个性的发展。我们认为，多元多维的几何观毫无疑问是正确的发展方向，结合我们的国情应该有所选择。这种选择包括，学生不同的学习阶段，在不同的地区也可以区分。在这个意义上，我们就应该可以理解义务课标中以直观几何为主线的设计思想。同时，随着学生由初中进入高中，面对的选择也是不一样的，因此，高中阶段应该关注向量几何和进一步的几何代数化。从形式上看，在新大纲中把向量作为处理几何问题的工具，在高中课标中还有矩阵对几何变换的解释，这些都是使学生获得几何多元多维认识的改革，但应该看到，具体的内容上仍然存在不断发展的需要。3 几何课程应该有一条明确的发展主线由于我国的教育体制分为义务和高中阶段，数学课程标准或者教学大纲存在着课程发展分割的现象。比如，关于解析几何发展的问题，我们的做法是较为明确地区分了从初中开始有坐标几何，有直线方程，而要到高中才有所谓的解析几何，这在很大程度上割裂了学生关于几何与其它数学领域关系的认识。在传统教学大纲、高中数学新大纲、义务教育阶段国家数学课程标准和高中课标中，都缺少一条主线把1维，2 维和3 维解析几何连结起来。在中学教师的教学观念中，也往往没有对1 维解析几何关注过。事实上，通过整数加法在数轴上的实现，数的乘法计算在垂直网格图中的解释，可以使学生从小学阶段开始就不断获得关于1、2 维解析几何的思想，直到高中发展为较为形式化的解析几何、向量几何或其它表示方法的几何，从而把几何和其它数学领域的联系融会到学生的早期学习过程中。之所以产生这样的情况，一方面是我们在课程标准或教学大纲的研制过程中，还缺乏对几何和其它相关领域内在特征的深入认识，同时也是由于我国的教育体制分成2 个阶段，从而造成2 个阶段的课程标准分别研制的局面，这也就从客观上形成了研制者对几何课程和数学课程存在某些分裂的认识。4 几何课程应该关注数学教育技术的作用N c，I M 标准2 0 0 0 一个重要的特点就是强调了数学教育技术在学校数学中的作用，这是符合时代发展的。在标准2 0 0 0 的5 个其它原则和1 0 个标准中多次谈到技术在课程设计、数学教与学、评价的原则中的作用，还特别指出“不能使技术成为又一个不平等的因素”。由于几何具有现实的直观性，结合教与学的各个过程，充满了技术的参与，技术使得“几何直观性”变成“可视化”(B W a j t s 语)。包括图形计算器，动态几何软件和几何画板等数学教育技术。数学教育技术得到了非常的重视。对此，应该引起我们认真的对待。值得欣慰的是，不论是在新大纲，还是在义务课标中都谈到了信息技术的作用。然而，不论是理论的研究，还是在教学实践上，我们都还有许多课题需要研究。比如，技术对数学课程内容的影响；技术是如何支持学生的数学学习的；技术对教师的辅助教学影响的因素；技术在数学教学活动中的认识的全面性问题；技术任何改变传统的评价方式。因为数学教育技术对学校数学的影响是多方面的。因为技术已经深入到学生的生活，深入到教师的教学，并且这种影响越来越深。5 关于高中课程标准研制的思考比较国外数学课程标准的研制，尤其是N c r I M 的标准2 0 0 0，我国正在研制的高中课标，应该努力克服以往我们在数学教学大纲或数学课程标准制定过程中出现的以下问题：(1)标准制定过程中“证据”的问题。也就是我们提出的论点，应该有相应的实验数据或者调查报告或者学术研讨会的科研成果。(2)相关课题的辅助问题。数学课程标准的研制，决不是一个“数学教学大纲”，更不是一套教材，而应该是一个“系统工程”。只有在各种辅助研究课题的支持下，课程标准才能获得对问题尽可能的全面认识。(3)标准内容研讨的广泛性问题。课程标准应该在可能的情况下，最为广泛地获得所有关心数学教育的人士的认识和参与，包括数学教育专家、中学教师、数学家、教育管理者、学生家长。6 7 万方数据北京教育学院学报在强调科技的时代，应该允许他们在相关的网站上发表他们的看法。提供观点的支持性案例。遗憾的是，在义务课标的研制过程中，就缺少网络的支持，这种现象仍然没有改变。(4)中国传统文化对数学课程的影响。这是另一个更深入的问题。张奠宙先生曾经呼吁建立中国特色数学教育学，也就是我们还要下力气研究在这片具有5 0 0 0 年文化历史的东方大地上，我们的数学教育的特点。进而从文化的视角搞清楚我们的数学课程标准。参考文献1】N C I M T h eP I i n e i p l e sa n dS 切删a r d sf o rs c h 甜M a t h e r r l a t i c sM1 N a t i o n a lC o u n c i lo f7 r e a c h e r so fM 讪e m a t。i c s 2 0 0 0 2 国家数学课程标准研制工作组编义务教育阶段国家数学课程标准(征求意见稿)M 北京：北京师范大学出版社，2 0 0 0 2 4 3 5 3 王建明等高中几何课程标准之我见 J 数学教育学报，2 0 0 1，1 0(4)5 5 一 4 王申怀几何课程教改展望 J 课程教材教法2 0 0 0(5)2 4 2 6 5 国家高中数学课程标准制订组高中数学课程标准的框架设想，数学通报2 0 0 2(4)封2 _ _ 4 o nS 切n d a r d sO fI；咖e t r yO fN C I M 2 I X X)W A N GJ i a n 1 1 1 i n g(脚。咖硎矿舰舭泌，眈彬，2 9 加疵砒矿尉黝如n，彬，2 9，1 0 0 0 4 4，醌i 凇)A k 缸旨c t：G e 伽舱t r ys t a n d a r d ss h o u l df u so nd e v e l o p i n gs t u d e n t s u n d e r s t a n d i n go fm a t h e m a t i c a lr e a s o n i n ga n dp I D 0 f，a n dc u l t i v a t i n gs t u d e n t s u I l d e r s t a I l d i n g0 fg e o m e ym u l t i d i m e n s i o n a u y I 垤讪e 眦t i c a le d u c 撕o nt e c h n o l o g yi sa ne s s e n t i a lf a c t o rt l l a ts h o u l db ec o n s i d e 删i ng e o m e yc u 耐c u l u 脚W ec a I ll e 锄al o t 矗蚴N C 聊w h e nw ed e v e l o po u ro w ng e o m e t r yc u r r i c u l u n】s 1【e ww o r d s：删c u l l 肺s t a I l d a 耐s；i I I s m l e t i o I l so fg e 唧唧；N C T M；I m t h 哪a t i c a le d u c a t i o nt e c h n o l o g y(上接第3 8 页)义，同时也带来了字音，所以也可以说它们有了表音的趋势。而表音字的形声字，它们起辅助作用的意符，也还是残存的表意成分。(责任编辑张景瑞)总而言之，汉字既有原始的表形文字，而又以表意、表音文字为主体，它是一个内涵十分丰富的科学体系，它是我们中华民族文化的一座宝库。研究汉字有着重大的理论意义和实用价值。触I s s I l 曙i I lm e 皿r yo fm eS i】|【C a t e g 砌伪o f 嘶咖t 郴M AW a I l j i n地咖t：T h eS i xC a t e g o r i e so fC h i n e S eC l 瑚【c t 嘶i sm e 山e o r yo ft l l ea I l c i e n ts c h o l 狮s t u 蛳n gC h i n e s ew o I db u i l d i n g S t u d e n t si nm eh i s t o r yh e l dd i 骼r e I l tv i e w so ns o m ei I n p o n a n ti s s u e si n“sm e o r y 1 h i sa t I i c l e删|k e se x p l i c i te x p l a n a t i o n so nv 耐叫s l e 山o d s0 fC h i n e s ew 0 I db u i l d i n g，i u u s t I a t e sa c c u r a t e l y 山eb o u n d 耐e sb e-t w e e nt h e s em e t I l o d s，a I l dm a k e st I l e mr e a s o n a b l yc a t e g 谢z e da I l ds e q u e n c e d 卟i s“c l ei m e I p r e t sr e a s o n d b l y吐l es c i e n t i f i cs y s t 咖o fm et l l e o r yo ft l l eS i)【C a t e 9 0 r i e so fC h i n e s eC h a r a c t e r s K e yW o r d s：C h i n e s ew o r db u i l d i n g；p i c t o 铲l p h i cc h a r a c t e r s；s e l f e X p l a n a t(町c h a r a c t e r s；a s s o c i a t i V ec o m p o u n d s；。I n u t u a ye x p l a n a t o r yc h a I 丑c t e I s；o n o 瑚t o p o e i a；p h o n e t i cl o a nc h 砌c t e I 弓；b o u n d a I i e s；c a t e g o r i z a t i o n；c o U a t i n gs e q u e n c e(责任编辑张景瑞)万方数据对美国高中几何课程标准的评价与反思对美国高中几何课程标准的评价与反思作者：王建明作者单位：北京教育学院,数学系,北京,100044刊名：北京教育学院学报英文刊名：JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF EDUCATION年，卷(期)：2002,16(4)被引用次数：1次 参考文献(4条)参考文献(4条)1.国家数学课程标准研制工作组 义务教育阶段国家数学课程标准(征求意见稿)20002.王建明 高中几何课程标准之我见期刊论文-数学教育学报 2001(04)3.王申怀 几何课程教改展望 2000(05)4.国家高中数学课程标准制定组 的框架设想期刊论文-数学通报 2002(04)引证文献(1条)引证文献(1条)1.陈笑宜 职高几何教学的理论研究与实践探索学位论文硕士 2005 本文链接：http:/