2010年考研——概率统计.pdf

1 概率统计八技 概率统计八技 技 1.加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型会活用。技 2.变量分布特征清，参数确定容易定，重要分布记背景，离散变量靠列表。技 3.一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。技 4.联合分布定边缘，独立判断就搞定，连续离散有类比，一维多维对应记，二维连续画区域，分布概率直接求，二维正态看参数，均匀分布望面积。技 5.函数期望是关键，常用分布背特征，特征性质要牢记，二维特征定相关。技 6.大数中心规范记，收敛方式有区别，切比雪夫估概率，近似计算用中心。技 7.抽样分布定义明，正态抽样四式推，矩法似然原理清，无偏有效算特征。技 8.区间估计靠枢轴，分位定义应明确，假设检验步骤定，两类错误会计算。技 1.加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型会活用。技 2.变量分布特征清，参数确定容易定，重要分布记背景，离散变量靠列表。技 3.一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。技 4.联合分布定边缘，独立判断就搞定，连续离散有类比，一维多维对应记，二维连续画区域，分布概率直接求，二维正态看参数，均匀分布望面积。技 5.函数期望是关键，常用分布背特征，特征性质要牢记，二维特征定相关。技 6.大数中心规范记，收敛方式有区别，切比雪夫估概率，近似计算用中心。技 7.抽样分布定义明，正态抽样四式推，矩法似然原理清，无偏有效算特征。技 8.区间估计靠枢轴，分位定义应明确，假设检验步骤定，两类错误会计算。29三十六技之二十九：概率计算的基本技巧和运用 29三十六技之二十九：概率计算的基本技巧和运用 29.1 技巧描述 29.1 技巧描述 加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型应活用。加减求逆乘法律，全概逆概独立性，事件化简是关键，三大概型应活用。主要方法与技巧包括：主要方法与技巧包括：理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。29.2 掌握要点 29.2 掌握要点 概率基本公式与应用概率基本公式与应用 (1)（逆事件公式）（逆事件公式）)(1)(APAP=；(2)（加法公式）（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP+=U，一般地，有)()1()()()()(111ininkjikjiijijiiniiAPAAAPAAPAPAPIULL=+110I,则 2 PAP A P A A P A AAP AAjnjnjjn()()()()()=112131211IIIL(2)（全概率公式）（全概率公式）设事件B B12,.为样本空间的一个正划分，则对任何一个事件A,有 P AP B P ABiii()()()=1(3)（Bayes 公式）公式）设B B12,L为样本空间的一个正划分,A满足P A()0,则 )()()()(APBAPBPABPiii=若将它与全概率公式结合起来,就是 Bayes 公式的以下的常用形式 P B AP B P ABP BP ABiiijjjm()()()()()=1 (m +,i=12,Lm).【注】全概率公式：“结果”的概率是各“情形”下，此“结果”的概【注】全概率公式：“结果”的概率是各“情形”下，此“结果”的概 率地加权平均；率地加权平均；Bayes 公式：已知“结果”找“原因”（或“情形”）。条 件 概 率 具 有 概 率 所 具 有 的 所 有 性 质，如 条 件 概 率 有 性 质：公式：已知“结果”找“原因”（或“情形”）。条 件 概 率 具 有 概 率 所 具 有 的 所 有 性 质，如 条 件 概 率 有 性 质：)|(1)|(CAPCAP=)|()|()|(ACBPCAPCABP=29.3 相关知识点 29.3 相关知识点（1）独立性的等价定义及其本质独立性的等价定义及其本质（2）事件独立性与随机变量独立性的联系事件独立性与随机变量独立性的联系（3）三大概型（古典概型、几何概型、三大概型（古典概型、几何概型、Bernoulli 概型）概型）29.4 29.4 典型例题 典型例题 29.4.1 六大公式的应用六大公式的应用 例例 29-1.设设 P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8.则则)|(BABPU=.【解】答案为：【解】答案为：3/46。由题设知，。由题设知，32.04.08.0)()|()(=APABPABP，因此，因此，28.032.06.0)()()(=ABPBPBAP，故，故46328.06.06.06.0)()()()()()()()()|(=+=+=BAPBPAPBPBAPBPBAPBABPBABPUUUU 3 例例 29-2.已知已知74)0()0(,73)0,0(=YPXPYXP，试求，试求)0),(max(YXP。【解】【解】)0,0()0()0()00()0),(max(+=YXPYPXPYXPYXP或 75737474=+=例例29-3.设随机变量设随机变量X,Y均服从正态分布均服从正态分布),0(2N,若概率若概率31)0,0(=YXP，则，则)0,0(YXP=.【31】【解】答案为：【解】答案为：31。令令0,0=YBXA，由于，由于 X,Y 均服从正态分布均服从正态分布),0(2N，故，故21)()(=BPAP，从而，从而 313121211)()()(1)(1)()0,0()0,0(=+=+=ABPBPAPBAPBAPYXPYXPU 例 例29-4.设随机向量设随机向量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y),用它表示概率用它表示概率P(X a,Y y),则下列正确的是则下列正确的是 【C】【C】(A)1 F(a,y);(B)1 F(a,y-0);(C)F(,y-0)F(a,y-0);(D)F(,y)F(a,y).【解】答案为：（【解】答案为：（C）。注意到）。注意到 P(X a,Y a,Y y)=P(Y y)P(X a,Y0）.P(A|B)=P(A)；（P(B)0）P(B)=P(B|A)；（；（P(A)1）P(B|A)=P(B|A)；（；（0P(A)0）性质 2：事件独立性的本质 要注意独立与两两独立联系与区别【注】性质 1 和 2 对应的随机变量情形，结论如何？（2）两事件独立性与随机变量独立性的联系 性质 3：设随机变量 X 与 Y 都只取两个值，则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为 0.（3）随机变量独立性的判断技巧 例性质 2：事件独立性的本质 要注意独立与两两独立联系与区别【注】性质 1 和 2 对应的随机变量情形，结论如何？（2）两事件独立性与随机变量独立性的联系 性质 3：设随机变量 X 与 Y 都只取两个值，则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为 0.（3）随机变量独立性的判断技巧 例 29-13.对于任意二事件对于任意二事件 A 和和 B,则则()(A)若若 AB ,则则 AB 一定独立一定独立.(B)若若 AB ,则则 AB 有可能独立有可能独立.7(C)若若 AB,则则 AB 一定独立一定独立.(D)若若 AB,则则 AB 一定不独立一定不独立.【解】答案为：（【解】答案为：（B）。由于）。由于AB推不出推不出()()()BPAPABP=,因此推不出因此推不出A、B一定独立，排除一定独立，排除(A);若若=AB，则，则 P(AB)=0，但，但()()BPAP是否为零不确定，因此是否为零不确定，因此(C),(D)也不成立，故正确选项为也不成立，故正确选项为(B).【注】【注】i)两事件间概念：不相容，互斥，互逆，对立以及独立，它们间关系如何？如两事件间概念：不相容，互斥，互逆，对立以及独立，它们间关系如何？如 P(A)、P(B)(0,1),则则 A,B 独立不互斥，互斥不独立独立不互斥，互斥不独立.ii)、与任一事件与任一事件 A 独立独立.iii)独立的随机试验产生独立的事件独立的随机试验产生独立的事件.例例 29-14.设设 A,B,C 是三个相互独立的随机事件是三个相互独立的随机事件,且且 0 P(C)1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()(A)BA+与与C;(B)AC与与C;(C)BA与与C;(D)AB与与C。【解】答案为：（【解】答案为：（B）。）。)()()()()(CPACPCPCACPCACP=UI 例例 29-15.设三事件设三事件321,AAA两两独立，记两两独立，记3,2,1,11=iAXii反之发生如果 则一定有则一定有()(A)A1,A2,A3相互独立相互独立;(B)A1A2与与 A3 独立独立;(C)X1+X2与与 X3相互独立相互独立;(D)331XeX与相互独立相互独立.【解】答案为：（【解】答案为：（D）。参见例）。参见例 1-21 题。题。例例 29-16.在只有在只有 3 个红球个红球 4 个黑球的袋中按有放回和不放回两种方式，逐次随机取一球（每次抽取记下颜色），令个黑球的袋中按有放回和不放回两种方式，逐次随机取一球（每次抽取记下颜色），令 iX=次取出黑球如第次取出红球如第ii01,i=1,2 则则（）(A)有放回时，有放回时，X1和和 X2同分布，但同分布，但 X1和和 X2不独立；不独立；(B)不放回时，不放回时，X1和和 X2同分布，且同分布，且 X1和和 X2不独立；不独立；(C)不放回时，不放回时，X1和和 X2不同分布，但是不同分布，但是 X1和和 X2独立；独立；(D)不放回时，不放回时，X1和和 X2不同分布，且也不同分布，且也 X1和和 X2不独立；不独立；【解】答案为：（【解】答案为：（B）。由摸球模型知，不管放回与否，）。由摸球模型知，不管放回与否，X1和和 X2同分布，但放同分布，但放 回抽样时，回抽样时，X1和和 X2独立，不放回抽样时，独立，不放回抽样时，X1和和 X2不独立，故选不独立，故选 B。8 例例 29-17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和和 0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。【解】答案为：【解】答案为：3/4。记事件。记事件 A 和和 B 分别为“甲射中目标”和“乙射中目标”，故所求概率为分别为“甲射中目标”和“乙射中目标”，故所求概率为 435.06.05.06.06.0)()()()()()()()()()()()|(=+=+=+=BPAPBPAPAPABPBPAPAPBAPAPBAAPUU 例例 29-18.设两个相互独立的事件设两个相互独立的事件 A 和和 B 都不发生的概率为都不发生的概率为 1/9,事件事件 A 发生发生 B不发生的概率与事件不发生的概率与事件 A 不发生不发生 B 发生的概率相等发生的概率相等,令令=.11其他，同时发生；与事件如果，BAX，则则 EX=_.【91】【解】答案为：【解】答案为：91。由于。由于)()()()()()()()(BPAPABPBPABPAPBAPBAP=由题设及独立性的性质得由题设及独立性的性质得 32)()()()()(912=APAPBPAPBAP；故故919594)()1()(1=+=ABPABPEX 例例 29-19.甲乙两人对同一个目标轮流射击，当一人没命中目标后，就换另一人射击，直到有人命中目标，命中目标者为获胜者，假设甲乙两人命中目标的概率均为甲乙两人对同一个目标轮流射击，当一人没命中目标后，就换另一人射击，直到有人命中目标，命中目标者为获胜者，假设甲乙两人命中目标的概率均为 p)10(p，如甲打第一枪，试分别计算两人的获胜的概率，如甲打第一枪，试分别计算两人的获胜的概率.【解】【解】设设=iA第第 i 次射击命中目标次射击命中目标),2,1(L=i，由题意，由题意，pAPi=)(，且，且iA是相互独立的。记是相互独立的。记=A甲获胜甲获胜，=B乙获胜乙获胜。则。则 qqppqpqpAPAPAPAPAPAPAPAPAPAAAAAAAAAPAP+=+=+=+=111)()()()()()()()()()()(24254321211543213211LLL 而而 qqqpqpqpqpqAAAAAAPAAAAPAAPAAAAAAAAAAAAPBP+=+=+=+=11)()()()()(253654321432121654321432121LLL【注】【注】命中率不一样时如何算？命中率不一样时如何算？9 例例 29-20.试证：如试证：如(X,Y)的联合密度的联合密度 f(x,y)有如下形式有如下形式 =其它,0,)()(),(dycbxayhxgyxf 其中实数其中实数 a b b,c d d 并允许取无穷.则 并允许取无穷.则 X 和和 Y 一定独立一定独立.【证明】先求【证明】先求X X的边缘密度,设的边缘密度,设bx a ,dyyhxgdyyhxgdyyxfxfdcdc=+)()()()(),()(由题设 由题设),(yxf是密度函数,上述积分存在；仿上可求是密度函数,上述积分存在；仿上可求Y Y的边缘密度，对的边缘密度，对dyc,dxxgyhyfba=)()()(，从而当，从而当bx a 且且dyc时,时,)(,()()()()()()()()()()()()()()()()()()(yxfyhxgdxdyyhxgyhxgdxxgydyfyhyhxgdxxgyhydyfyhxgyfxfdcbabadcbadc=在 x 和 y 的其他取值上,在 x 和 y 的其他取值上,)()(yfxf以及以及),(yxf三个函数均等于 0,因此依定义X 和 Y 相互独立.三个函数均等于 0,因此依定义X 和 Y 相互独立.【注】问题：若【注】问题：若=其它,010,0,8),(),(yyxxyyxfYX，则，则 X 与与 Y是否独立？是否独立？【不独立】【不独立】【独立性判断总结独立性判断总结】方法 1.由定义及等价定义或条件分布直接判断.方法 2.规则区域上的联合密度有分离变量形式,则分量一定独立 方法 3.若 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 一定不独立.方法 4.关于随机变量的函数的情况,有如下结论:1)如果方法 1.由定义及等价定义或条件分布直接判断.方法 2.规则区域上的联合密度有分离变量形式,则分量一定独立 方法 3.若 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 一定不独立.方法 4.关于随机变量的函数的情况,有如下结论:1)如果X X和和Y Y独立,则独立,则g g(X X)和)和h h(Y Y)仍然独立;2)如果)仍然独立;2)如果X X和和Y Y独立,且其函数独立,且其函数U U=u u(X X,Y Y)和)和 V V=v v(X X,Y Y)都是随机变量,则)都是随机变量,则U U和和V V可能独立,也可能不独立.方法 5.关于二元正态,分量独立可能独立,也可能不独立.方法 5.关于二元正态,分量独立 =0,即分量不相关.=0,即分量不相关.10 方法 6.设随机变量 X 与 Y 都只取两个值，则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为 0.例方法 6.设随机变量 X 与 Y 都只取两个值，则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为 0.例 29-21.21.设设 A,B 是二随机事件，定义 是二随机事件，定义=.,2121不出现若出现若不出现若出现若ByByYAxAxX 试证明 试证明 X 和和 Y 独立的充要条件是独立的充要条件是 A 与与 B 独立.【解】独立.【解】化为标准 0-1 变量(化为标准 0-1 变量(Bernoulli 计数变量)计数变量)=.01:,01:212212不出现若出现若不出现若出现若BBVyyyYAAUxxxX 得到如下关系:得到如下关系:).()()1()1();()1,1()(;BPAPVPUPEUEVABPVUPUVEVUYX=不相关与不相关与 由此立即得证命题 由此立即得证命题.【注】事件】事件 A 与与 B 的独立等价于相应的二值变量的独立等价于相应的二值变量 X 和和 Y 的独立。的独立。29.4.3 三大概型 三大概型 例例 29-22.在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之积小于 0.5 的概率。【解】属几何概型问题，22.在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之积小于 0.5 的概率。【解】属几何概型问题，所求概率=+1212121dxx)2ln1(21+。【注】等价于“独立】等价于“独立 X 和和 Y 均服从（均服从（0，1）上的均匀分布，求）上的均匀分布，求)5.0(0，则 0，则 非负整数非负整数 k,有,有 P(X n=k)=knnknknppC)1(!nekk,.性质.性质 3：几何分布和指数分布的无记忆性。几何分布和指数分布的无记忆性。几何分布和指数分布的都有无记忆性:几何分布和指数分布的都有无记忆性:当当 X Ge(p)时时 P(X n+k|X n)=P(X k).当当 X Ex(Ex()时)时 P(X s+t|X s)=P(X t)，0 s，0 t.反之，有无记忆性的离散型分布，必为几何分布反之，有无记忆性的离散型分布，必为几何分布;连续型分布必为指数分布连续型分布必为指数分布.性质性质 4：1)均匀分布的均匀性：均匀分布的均匀性：P(X D)=L(D)/(b a).2)随机数生成随机数生成 性质性质 5：正态分布的性质（结合图形）与标准化正态分布的性质（结合图形）与标准化.性质 6：对称分布的特性 性质性质 6：对称分布的特性 性质 7：独立和的分布与分布的可加性 ：独立和的分布与分布的可加性 B(n,p)、NB(r,p)、P()、(r,)和和 N(,2)的可加性的可加性【注】可加性的证明方法【注】可加性的证明方法:(1).由分布产生的背景由分布产生的背景,可得上述结论可得上述结论(2).利用全概率公式.利用全概率公式(3).利用求独立和的分布函数或者密度的卷积公式 表.利用求独立和的分布函数或者密度的卷积公式 表 重要重要(常用常用)分布的数学期望及方差简表分布的数学期望及方差简表 分布分布 记号记号 数学期望方差数学期望方差 二项分布二项分布 B(n,p)np npq 几何分布几何分布 Ge(p)1/p q/p2 Poisson 分布分布 P()均匀分布均匀分布 U(a,b)(a+b)/2(b a)2/12 指数分布指数分布 Ex()1/1/2 正态分布正态分布 N(,2)2 13 30.4典型例题典型例题 30.4.1 分布参数的确定（归一性、连续型分布函数的连续性、外部条件（独立，期望等）分布参数的确定（归一性、连续型分布函数的连续性、外部条件（独立，期望等）例例 30-1.设设 Fi(x)和和 fi(x)分别是分别是 Xi的分布函数和密度函数的分布函数和密度函数,而而 a i为正实数为正实数,i=1,2,又又 a 1+a 2=1.问下列结论不成立的是问下列结论不成立的是 _ (A)a 1F1(x)a 2F2(x)是分布函数是分布函数;(B)F1(x)F2(x)是分布函数；是分布函数；(C)a 1f1(x)a 2f2(x)是密度函数是密度函数;(D)f1(x)f2(x)是密度函数是密度函数.【解】答案为：（【解】答案为：（D）。见例）。见例 2.2 后的注。后的注。例例 30-2.设设 fi(x)是是 Xi的的密度函数密度函数,i=1,2,为使为使 f(x)=af1(x)bf2(x)是密度函数是密度函数,下列给定各组数值中应取下列给定各组数值中应取_ (A)a=3/5,b=2/5.(B)a=2/3,b=2/3.(C)a=1/2,b=3/2.(D)a=1/2,b=3/2.【解】答案为：（【解】答案为：（A）。）。【注】【注】将将 fi(x)易为易为 Xi的的分布函数分布函数 Fi(x),结果如何？结果如何？1）)(,),(),(21xFxFxFnL均为分布函数，则均为分布函数，则)1,0()(11=niiiniiiaaxFa仍为分布函数；仍为分布函数；=niixF1)(也为分布函数也为分布函数.2）)(,),(),(21xfxfxfnL均为密度函数，则均为密度函数，则)1,0()(11=niiiniiiaaxfa仍为密度函数；但仍为密度函数；但=niixf1)(不一定为密度函数不一定为密度函数.例例 30-3.连续型随机变量连续型随机变量 X 的分布函数为：的分布函数为：=,1,1,10,0,)()1(xAexBxAexFxx，XP；（；（3）X 的概率密度的概率密度.【解】（【解】（1）由于连续型随机变量的分布函数必为连续函数，因此，由）由于连续型随机变量的分布函数必为连续函数，因此，由)(xF的表达式，易知，的表达式，易知，21=BA。（2）21211)31(1)31(1)31(=FXPXP。（3）X 的概率密度的概率密度 0,P(X=0)=P(Y=0)=1 p 0.定义定义 +=为奇数为偶数YXYXU11.问问 p 取什么值时，取什么值时，X 与与 U 独立？独立？【解】答案为：【解】答案为：1/2。为使为使 X 与与 U 独立应有独立应有,P(X=1,U=1)=P(X=1)P(U=1).2)1()1()1,1(),1(pYPXPYXPYXXP=+=为偶数左方 可知应有可知应有 22)1()0,0()1,1()1(,)1()1(ppYXPYXPUPpYPXP+=+=而 即即 0132,)1(222=+=+ppppp或.解得解得)(12/1舍去和=pp.【注注】X 和和 U 都是二值变量都是二值变量,在在 p=1/2 时由时由 P(X=1,U=1)=P(X=1)P(U=1)即得即得 X 和和 U 独立性独立性,而不必验证其余等式而不必验证其余等式,例如不必验证例如不必验证 P(X=1,U=1)=P(X=1)P(U=1)例例 30-.设设 X 与与 Y 的分布为的分布为 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件已知随机事件(X=0)与与(X+Y=1)相互独立，则相互独立，则()(A)a=0.2，b=0.3.(B)a=0.4，b=0.1 15(C)a=0.3，b=0.2.(D)a=0.1，b=0.4.【解】答案为：（）。由联合分布性质【解】答案为：（）。由联合分布性质,1.04.01+=ba，故，故 a+b=0.5.由设 由设,1,01,0aYXPYXXP=+=baYXPYXPYXP+=+=+0,11,01 aYXPYXPXP+=+=4.01,00,00,由独立性之设及由独立性之设及 a+b=0.5 101,0=+=+=YXPXPYXXP 知知 a=0.5(0.4+a)，故故 a=0.4，b=0.1 例例 30-7.设二维随机变量（,X Y）的概率分布为 X Y 1 0 1 1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中,a b c为常数，且X的数学期望0.2EX=，0|00.5P YX=，记ZXY=+，求(1),a b c的值；(2)Z的概率分布；(3)P XZ=.【分析分析】利用二维离散型随机变量概率分布的性质和定义计算.【详解详解】（1）由概率分布的性质知 0.20.10.20.11abc+=，即0.4abc+=.由（,X Y）可写出X的边缘概率分布为 X 1 0 1 P 0.2a+0.3b+0.1c+故(0.2)(0.1)0.2EXac=+=，即0.1ac=.又因 0,00.10.50|000.5P XYabP YXP Xab+=+，即0.3ab+=.将，联立解方程组得 0.2,0.1,0.1abc=.（2）Z的可能取值为2,1,0,1,2，则 221,10.2P ZP XYP XY=+=，16 11,00,10.1P ZP XYP XY=+=，01,10,01,10.3P ZP XYP XYP XY=+=+=，11,00,10.3P ZP XYP XY=+=，21,10.1P ZP XY=.故Z的概率分布为 Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3)000.1 0.10.2P XZP XXYP Y=+=+=.例例 30-8.设设(X,Y)的密度函数为的密度函数为),(exp),(yxncyxf+=+0yx,其中其中 n 为已知正整数，为已知正整数，c 为待定常数为待定常数.(1)求求 c；(2)求条件密度求条件密度)1|(X|Yyf;(3)X 与与 Y 是否独立，为什么？是否独立，为什么？解 解 （1）由二维密度函数性质,200021)(exp),(122ncdxenecdyedxecdxdyyxncdxdyyxfnxnxxnynxyxR=+=+其他，00,22),()(2)(2xnedyendyyxfxfxnxyxnX 故 故=其他，0,1,)1(),1()1|()1(X|YynefyfyfynX（3）由于）由于Y的边缘分布为的边缘分布为=+其他，00),1(22),()(0)(2yenedxendxyxfyfynynyyxnY 所以，当+=xIxaxf，(1)试确定试确定 a 值值;17(2)某台设备装有三个这种电子元件某台设备装有三个这种电子元件.问在开始使用的问在开始使用的 150 小时中它们中恰有一个要替换和至少有一个要替换的概率分别是多少？小时中它们中恰有一个要替换和至少有一个要替换的概率分别是多少？【解】【解】（1）由+=1)(dxxf知，10010011002=+aadxxa。（2）三个这种电子元件在开始使用的三个这种电子元件在开始使用的 150 小时中要替换的个数小时中要替换的个数 Y 显然是服从二项分布，即显然是服从二项分布，即)150(,3(XPBY，由于，由于 31100)150(1501002=YPYPp。例例 30-10.设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为 的概率密度函数为 +=0,10,1)(xxxg【解】（1）【解】（1）212)(10=+CdxCedxxfx；（2）设；（2）设 Y=X 的取值都小于 1 的次数，故的取值都小于 1 的次数，故)1(,5(XPBY；而；而1101|211212121)1(=+=XPYP;21)0()1(=XPYP 例 例 30-11.设随机变量设随机变量 X N(,2)(0),且二次方程,且二次方程 y 2+4y+X=0 无实根的 概率为 无实根的 概率为 1/2,则 则=.【解】答案为：.【解】答案为：4。显然，二次方程。显然，二次方程 y 2+4y+X=0 无实根的概率为无实根的概率为)4()0416(=XPXP，由正态分布的性质知，由正态分布的性质知，=4。例4。例 30-12.设随机变量设随机变量 X N(0,1)，对给定的，对给定的)10(uXP。若。若=xXP，则，则 x 等于等于()【C】(A)2u （B）21u (C)21u (D)1u 18【分析】【分析】此类问题的求解，可通过此类问题的求解，可通过u的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。【解】答案为：（【解】答案为：（C）由标准正态分布概率密度函数的对称性知，由标准正态分布概率密度函数的对称性知，=uXP，于是，于是 211xXPxXPxXPxXPxXP=+=即有即有 21=xXP，可见根据定义有，可见根据定义有21=ux，故应选，故应选(C).例例 30-13.一大批产品，其次品率为一大批产品，其次品率为 p，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品时为止，或一直抽到，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品时为止，或一直抽到 10 个产品时就停止检查个产品时就停止检查.设设 X 为停止检查时抽样的个数为停止检查时抽样的个数.试求试求 X 的概率分布。的概率分布。【解】【解】P(X=k)=q k 1p,k=1,2,9;P(X=10)=q 9p+q 10=q 9 例例 30-14.把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中正面出现的次数，而为三次抛掷中正面出现的次数，而 Y为正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值。试求为正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值。试求 X 与与 Y 的联合分布律以及的联合分布律以及 X 与与 Y 的相关系数，并问的相关系数，并问 X 与与 Y 是否独立？是否独立？【解】由于【解】由于 X 为三次抛掷中正面出现的次数，故为三次抛掷中正面出现的次数，故|(3)|23|YXXX=故故 X 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，3，而，而 Y 的可能取值为的可能取值为 1，3，且，且 1(0,3)8P XY=，3(1,1)8P XY=，3(2,1)8P XY=，1(3,3)8P XY=，其余的均为其余的均为 0，故，故 X 与与 Y 联合分布律和边缘分布律为联合分布律和边缘分布律为:Y X 1 3)(xXP=0 1 2 3 0 81 83 0 83 0 0 81 81 83 83 81)(yYP=43 41 1 从而从而13313012388882EX=+=，222221331012338888EX=+=；22233()3()24DXEXEX=。19 62313882EY=+=，2226213388EY=+=；22233()3()24DYEYEY=。而而33119()1 12 10 33 388884E XY=+=。故故9334223344()0XYE XYEXEYDXDY=，即，即 X 与与 Y 不相关。不相关。又由于又由于 160(0,1)(0)(1)88P XYP XP Y=，所以所以 X 与与 Y 不独立。不独立。31.31.一维连续型随机变量的概率计算的典型方法 31.131.1技巧描述技巧描述 一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。一维连续画密度，正态计算标准化，指数分布无记忆，函数分布直接求。31.231.2掌握要点掌握要点 (1)利用密度函数计算相关问题（注意对称性）；利用密度函数计算相关问题（注意对称性）；(2)正态分布与指数分布的计算；正态分布与指数分布的计算；(3)随机变量的函数的分布求法随机变量的函数的分布求法 31.331.3相关知识点相关知识点 积分与变限积分，分段函数的积分，函数的连续性与可导性，复合函数的导数规则，常用分布与数字特征。31.4 典型例题 31.4 典型例题 31.4.1 一维连续性的相关概率问题 一维连续性的相关概率问题 例例 31-1 设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 +=,0 1,0(10,1()(其它若若xxxxAxf，试求，试求（1）常数）常数 A；（；（2）)21|(|XP；（；（3）3EX.【解】（【解】（1）由）由AdxxdxxAdxxf=+=+1001)1()()(1，即，即A A=1。（2）=1。（2）)21|(|XP43)1()1()(2121212100=+=dxxdxxdxxf。（3）由于。（3）由于)(xf为偶函数，故 为偶函数，故 0)(33=+dxxfxEX 20 例例 31-2.设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 =,06,39/2 1,03/1)(其它若若xxxf 若若 k 使使 P(X k)=2/3,则则 k 的取值范围是的取值范围是_.【解】答案为：【解】答案为：1,3。分布函数的值是密度函数曲线所围下的面积,因此32)6,3(,31)1,0(=XPXP，从而知k的取值范围应该在区间1,3,如图所示.31.4.2 正态分布与指数分布的计算正态分布与指数分布的计算 例例 31-3.某单位要招聘某单位要招聘 2500 人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有人，按考试成绩从高分到低分依次录取，共有 10000人报名，假设报名者的成绩人报名，假设报名者的成绩),(2NX，已知，已知 90 分以上的有分以上的有 359 人，人，60 分以下的有分以下的有 1151 人，问被录用者中最低分为多少？人，问被录用者中最低分为多少？【解】设被录用者中最低分为【解】设被录用者中最低分为x，录用率为，录用率为 0.25，故要求，故要求x，使得，使得25.0)(=xXP，由于，由于),(2NX，且，且1151.0)60(,0359.0)90(=XPXP，可求出，可求出,的值，的值，=10722.1608.1901151.0)60(9641.0)90(25.0)1072(1)10721072()(=xxXPxXP 75.78675.01072=xx 故最低分为故最低分为 79。例例 31-4.设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为+ba，均有，均有 )()|(bYPaYbaYP=+.【解】（【解】（1）由于）由于=.0,0;0),()|(|)()(yyyXyPyXPyYPyFY 从而当 从而当0y时，时，yyxyyxedxedxeyXyP=121221)(0|。故。故=.0,0;0,1)(yyeyFyY，即，即Y Y服从参数为 1 的指数分布。服从参数为 1 的指数分布。（2）由（）由（1）知，）知，0y时，时，yeyYP=)(，所以，对，所以，对0,0ba，我们有，我们有)()()()(),()|()(bYPeeeaYPbaYPaYPaYbaYPaYbaYPbaba=+=+=+【注】问题（【注】问题（2）实际上就是证明指数分布的无记忆性。）实际上就是证明指数分布的无记忆性。例例 31-5.设(设(X X,Y Y)联合密度函数为)联合密度函数为（1）证明随机变量（1）证明随机变量Y Y具有如下性质：对任意的具有如下性质：对任意的0,ts，有，有)()|(tYPsYstYP=+（2）求（2）求Y Y 的标准化变量 的标准化变量DYEYYY=*的密度函数。【解】（1）的密度函数。【解】（1）Y Y的边缘的边缘密度函数密度函数 =000),()(yyedxyxfyfyY；故对；故对0t，有，有tytedyetYP=)(，从而，从而)()()()|()(tYPeeesYPstYPsYstYPtsst=+=+（2）（2）1,1/1/1*+=YYYYY；1,)1(1)()1(*=+=+ueufufuYY 31.4.3 随机变量函数的分布的直接法 随机变量函数的分布的直接法 =)(,)(,)()()()()(:)(xfXdxxfpXpyXgPyFyFyxgiyxgiiXgYi连续型离散型 22 例例 31-6.设设 X 是随机变量，是随机变量，Y 是其线性函数。是其线性函数。（1）设）设 X P()，求，求 Y=2X 1 的分布。的分布。（2）设）设 X U(0,1)求求 Y=2X+2 的密度函数。的密度函数。（3）设）设 X Ex(),求求 Y=aX+b,a 0,和和 ZminX,3的分布。的分布。【解】答案为：（【解】答案为：（1）P(Y=2k 1)=L,2,1,0,!=kekk；（；（2）)2,0()(21IyfY=（3）.0/)(exp)(|bybyabyyfaY=；=0030131)(zzezzFzZ。【注】【注】设设 X 有连续的有连续的密度函数密度函数 fX(x),0a，则，则 Y=aX+b 仍是连续型的，其仍是连续型的，其密度函数密度函数为为 )(1)(abyXYfayf=.更一般地，我们有：更一般地，我们有：定理定理 函数函数 y=g(x)是严格单调且连续可微，其唯一反函数是严格单调且连续可微，其唯一反函数 x=h(y)连续可微.则 连续可微.则)()()(yhyhfyfXY=若反函数有多支若反函数有多支)(yhxjj=,j=1,2,.,J,则则)()()(1yhyhfyfjjJXY=例例 31-7.设随机变量 设随机变量 X 的任一线性函数的任一线性函数 Y=aX+b,a 0.则下面命题不成立的是则下面命题不成立的是().(A)如果如果 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,则则 Y 也是连续型随机变量也是连续型随机变量;(B)如果如果 X 是泊