【材料力学课件】11-能量法.pdf

1 1第十一章 能量法第十一章第十一章 能量法能量法2 2Chapter ElevenChapter ElevenChapter ElevenEnergy MethodsEnergy MethodsEnergy Methods3 311.1杆件的应变能杆件的应变能11.111.1杆件的应变能杆件的应变能杆件的应变能杆件的应变能11.2 卡氏第二定理卡氏第二定理11.2 11.2 卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求本章基本要求11.3单位荷载法单位荷载法11.311.3单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结11.4图形相乘法图形相乘法11.411.4图形相乘图形相乘图形相乘图形相乘法法法法本章作业本章作业本章作业本章作业本章作业本章作业8282824 4 45 5 52424243939396161618383834 4正确理解应变能的概念，能计算杆件在拉压、扭转和弯曲时的应变能。正确理解应变能的概念，能计算杆件在拉正确理解应变能的概念，能计算杆件在拉压、扭转和弯曲时的应变能。压、扭转和弯曲时的应变能。熟练运用各种能量方法计算结构中指定点的广义位移。熟练运用各种能量方法计算结构中指定点熟练运用各种能量方法计算结构中指定点的广义位移。的广义位移。本 章 基 本 要 求本本 章 基 本 要 求本本本 章章章章 基基基基 本本本本 要要要要 求求求求5 51.外力的功外力的功1.1.外力的功外力的功外力的功外力的功d=Fwd=Fwd0=FWd0=FWFW21=FW21=dmw=dmw=d0=mWd0=mWmW21=mW21=线弹性情况线线弹性情况弹性情况线弹性情况线线弹性情况弹性情况11.1杆件的应变能杆件的应变能(strain-energy)11.111.1杆件的应变能杆件的应变能杆件的应变能杆件的应变能(strain(strain-energy)energy)外力的元功外力的元功外力的元功外力的元功外力的元功外力的元功F F F O O OF F F O O OF F F O O O F F FO O OF F Fdd d F F FF F Fdd d O O O F F FF F Fdd d O O O F F F6 6杆件的拉压杆件的拉杆件的拉压压圆轴的扭转圆轴的圆轴的扭转扭转LPW21=LPW21=mW21=mW21=杆件中外力的功杆件杆件中外力的功杆件杆件杆件中外力的功中外力的功中外力的功中外力的功梁的弯曲梁的梁的弯曲弯曲PW21=PW21=mW21=mW21=xxwqWLd210)(=xxwqWLd210)(=P P P m m mm m mP P PLLq q qw(x)w w(x x)L L L7 72.应变能应变能2.2.应变能应变能应变能应变能d0e=ud0e=u应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能21e=u21e=u线弹性体的应变比能线线弹性体的应变比能弹性体的应变比能应变能应变能应变能应变能应变能应变能VuUVde=VuUVde=()()1332212321e)1(221+=Eu()()1332212321e)1(221+=Eu单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态)(21ezxzxyzyzxyxyzzyyxxu+=)(21ezxzxyzyzxyxyzzyyxxu+=dd d O O O dd d O O O 8 8用应力表示的杆件应变比能用应力表示的杆件应变比能用应力表示的杆件应变比能用应力表示的杆件应变比能用应力表示的杆件应变比能用应力表示的杆件应变比能21e=u21e=u杆件拉压的应变比能杆件拉杆件拉压的压的应变比能应变比能E22=E22=圆轴扭转的应变比能圆轴圆轴扭转的应变比能扭转的应变比能Gu2212e=Gu2212e=梁弯曲的应变比能梁梁弯曲的应变比能弯曲的应变比能21e=u21e=uE22=E22=（忽略了剪切所引起的应变能）（忽略了剪切所引起的应变能）（忽略了剪切所引起的应变能）9 9用内力表示的杆件应变能用用内力表示的杆件应变能用用用内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能IyM=IyM=21e=u21e=u222e2EIyMu=222e2EIyMu=EIyM=EIyM=（忽略剪切所引起的应变能）（忽略剪切所引起的应变能）（忽略剪切所引起的应变能）VuUVde=VuUVde=xALAdd0=xALAdd0=xAEIyMLAdd20222=xAEIyMLAdd20222=xAyEIMALdd212022=xAyEIMALdd212022=LxEIM02d21=LxEIM02d21=LxEIMU02d21弯曲梁的应变能弯曲梁的应变能弯曲梁的应变能1010用内力表示的杆件应变能用用内力表示的杆件应变能用用用内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能内力表示的杆件应变能弯曲梁弯曲梁弯曲梁=LxEIMU02d21拉伸杆拉伸杆拉伸杆EALFU22N=xEAFULd2102N=xGITULd210P2=P22GILTU=iiiiEALFU)(22N桁架桁架桁架扭转轴扭转轴扭转轴拉扭弯组合时的应变能拉扭弯拉扭弯组合时的应变能拉扭弯拉扭弯拉扭弯组合时的应变能组合时的应变能组合时的应变能组合时的应变能xEIMGITEAFULd2102P22N+=1111EILPEILPEILPEILP32323232,2,3,6EILPEILPEILPEILP32323232,2,3,6动脑又动笔动脑又动脑又动笔动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔用内力表示结构的应变能用内力表示结构的应变能用内力表示结构的应变能,23),22(22EAaPEAaP+,23),22(22EAaPEAaP+)21(2,222+EAaPEAaP)21(2,222+EAaPEAaPa a aa a aP P P2EA2 2EAEAEAEAEAEIEIEIL L LP P PEIEIEIL L LP P P=iiiiEALFU)(22N=LxEIMU02d211212例例图示两轴的剪切弹性模量均为G，长度均为L，求两者应变能之比。例例例例图示两轴的剪切弹性模量均为图示两轴的剪切弹性模量均为G G，长度均为长度均为L L，求两者应变能之比。，求两者应变能之比。d d dD D Dm m mD D Dm m mP12P12122GILmGILTU=P12P12122GILmGILTU=P22P22222GILmGILTU=P22P22222GILmGILTU=P1P221IIUU=P1P221IIUU=32132444)(=DD32132444)(=DD444411dDD=444411dDD=1313EALPP21+EALPP21+2L2LP1P P1 1P2P P2 2L L LP1P P1 1L L LL1 L L1 1P1P P1 1L L LL2 L L2 2L1 L L1 1P1P P1 1P2P P2 2L L L应变能的特点应变能的特点应变能的特点应变能的特点应变能的特点应变能的特点应变能是状态函数应变能是状态函数应变能是状态函数应变能关于荷载是非线性的应变能关于荷载是非线性的应变能关于荷载是非线性的EALPUP22111=EALPUP22111=EALPUP22222=EALPUP22222=EALPPUPP2)(221)21(21+=+EALPPUPP2)(221)21(21+=+21UU+=21UU+=EALPPEALPEALPU212221)21(22+=+EALPPEALPEALPU212221)21(22+=+结构总应变能等于各部件应变能之和结构总应变能等于各部件应变能之和结构总应变能等于各部件应变能之和以杆件拉伸为例的说明以以杆件拉伸为例的说明以以以杆件拉伸为例的说明杆件拉伸为例的说明杆件拉伸为例的说明杆件拉伸为例的说明应变能是恒正的应变能是恒正的应变能是恒正的14143.应变能和外力的功应变能和外力的功3.3.应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒在等温的缓慢加载过程中，外力对弹性体所做的功转化为应变能，即W=U。在等温的缓慢加载过程中，外力对弹性体所做的功转在等温的缓慢加载过程中，外力对弹性体所做的功转化为应变能，即化为应变能，即W=W=U U。注意注意由于应变能关于荷载是非线性的，因此应变能关于荷载原则上不满足叠加原理。注意注意注意注意由于应变能关于荷载是非线性的，因此应变能关于由于应变能关于荷载是非线性的，因此应变能关于荷载原则上不满足叠加原理。荷载原则上不满足叠加原理。只有两组荷载所引起的（广义）位移是相互独立的，两组荷载共同作用所引起的应变能才等于两组荷载分别作用所引起的应变能之和。只有两组荷载所引起的（广义）位移是相互独立的，只有两组荷载所引起的（广义）位移是相互独立的，两组荷载共同作用所引起的应变能才等于两组荷载分别作两组荷载共同作用所引起的应变能才等于两组荷载分别作用所引起的应变能之和。用所引起的应变能之和。1515PFAD=NPFAD=NEAaPUAD22=EAaPUAD22=0=BCU0=BCUEAaPEAaPUBD2222)2()2(=EAaPEAaPUBD2222)2()2(=EAaPUDC22=EAaPUDC22=EAaPUUi2)12(+=EAaPUUi2)12(+=CPvW21=CPvW21=UW=UW=例例图示桁架各杆件的抗拉刚度均为EA，求结点C的竖向位移。例例例例图示桁架各杆件图示桁架各杆件的抗拉刚度均为的抗拉刚度均为EAEA，求结点求结点C C的竖向位移。的竖向位移。各杆内力各杆内力各杆内力各杆应变能各杆各杆应变能应变能总应变能总应变能总应变能由功能关系由由功能关系功能关系P力的功P P力的功力的功PFBD2N=PFBD2N=EAPavC)12(2+=EAPavC)12(2+=()()PFCD=NPFCD=N0N=BCF0N=BCFD D DA A AC C CP P PB B Ba a aa a aD D DA A AC C CP P PB B B2 2 P P0 0P PP P1616例例求图示结构中A 点的竖向位移。例例例例求图示结构中求图示结构中A A 点的竖向位移。点的竖向位移。梁的结构和荷载关于A 点对称梁的梁的结构和荷载关于结构和荷载关于A A 点对称点对称梁的应变能梁的梁的应变能应变能由功能关系由由功能关系功能关系结构总应变能结构总应变能结构总应变能杆的应变能杆的应变能杆的应变能xEIMULd222021=xEIMULd222021=EAaFEAaFU82)2(222=EAaFEAaFU82)2(222=EAaFEILFU896232+=EAaFEILFU896232+=AFwW21=AFwW21=UW=UW=xEIFxLd)2(202=xEIFxLd)2(202=EILF9632=EILF9632=F力的功F F力的功力的功EAFaEIFLwA4483+=EAFaEIFLwA4483+=()()L/2L/L/2 2L/2L/L/2 2EAEAEAF F FEIEIEIA A Aa a aL/2L/L/2 2L/2L/L/2 2EAF F FEIEIEIA A AaFL/4FL FL/4 4x x xL/2L/L/2 2L/2L/L/2 2EAEAEAF F FEIEIEIA A Aa a aL/2L/2EAEAEAFEIAa a aF/2F F/2 2L/2L/L/2 2L/2L/L/2 2EAEAEAF F FEIEIEIA A Aa a a1717分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论利用外力的功等于结构的应变能求位移时受到什么限制？利用外力的功等于结构的应利用外力的功等于结构的应变能求位移时受到什么限制？变能求位移时受到什么限制？UW=UW=应变能应变能应变能位移位位移移UW=UW=应变能应变能应变能A A AF F FEIEIEIEIEIEIa a aa a aA A AF F FvAv vA AAFvW21=AFvW21=A A AF F Fv1v v1 1 EIFaaEIaFaav31=EIFaaEIaFaav31=A A AF F Fv2v v2 2EIFaEIFav33332=EIFaEIFav33332=EIFaEIFaEIFavvvA34333321=+=+=EIFaEIFaEIFavvvA34333321=+=+=WU=WU=A A AF F FvAv vA A例例求图示结构的应变能。例例例例求图示结构的求图示结构的应变能。应变能。位移位位移移EIaFEIFaF323421323=EIaFEIFaF323421323=1818一种变形状态一种变形状态一种变形状态4.互等定理互等定理(reciprocal theorem)4.4.互等定理互等定理互等定理互等定理(reciprocal theorem)(reciprocal theorem)212121PP=P1P P1 111 1111P1P P1 111 1111P2P P2 2P1P P1 111 1111P2P P2 2222222P1P P1 112121211 1111P1P P1 1P2P P2 2222222两种加载过程两种加载过程两种加载过程P1P P1 1P2P P2 2P2P P2 2P2P P2 2222222P2P P2 2222222P1P P1 1111111P2P P2 2222222P1P P1 1111111P2P P2 2222222P1P P1 1212121UPPPW=+=1212221112121UPPPW=+=1212221112121UPPPW=+=2121112222121UPPPW=+=21211122221211919212121PP=F F Fm m m功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理(reciprocal-work theorem )(reciprocal(reciprocal-work theorem )work theorem )互等定理中的力和位移都是广义的。互互等等定理中的力和位移都定理中的力和位移都是广义的。是广义的。P1 在在P2 所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于P2 在在P1 所引起的位移上所做的功。所引起的位移上所做的功。P P1 1 在在在在P P2 2 所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于P P2 2 在在在在P P1 1 所引所引所引所引起的位移上所做的功起的位移上所做的功起的位移上所做的功起的位移上所做的功。互等定理中的两个力不一定是同时存在于结构之中的。互互等等定理中的两个力不一定理中的两个力不一定是同时存在于结构之中的。定是同时存在于结构之中的。F F F F F Fm m mmF mFmFm m m m m mF F FwFmw wFmFmFmmFFwm=FmmFFwm=2020例例己知简支梁中点的集中力F在铰支端的转角，求铰支瑞在集中力偶矩m 作用下在梁中点的挠度。例例例例己己知知简支梁中点的集中力简支梁中点的集中力F F在铰支端的转角在铰支端的转角，求铰支瑞在，求铰支瑞在集中力偶矩集中力偶矩m m 作用下在梁中点作用下在梁中点的挠度。的挠度。EIFLB162=EIFLB162=BCmF=BCmF=EIFLmFC162=EIFLmFC162=根据功的互等定理：根据功的互等定理：根据功的互等定理：EImLC162=EImLC162=()()L/2L/L/2 2B B BEIEIEIL/2L/L/2 2 F F FL/2L/L/2 2B B Bm m mEIEIEIL/2L/L/2 2C C C2121L/2L L/2 2b b bL/2L L/2 2F F FF F F例例矩形板轴向抗拉刚度为EA，泊松比为，求板在图示的一对力F 的作用下的轴向变形。例例例例矩形板轴向抗拉刚度为矩形板轴向抗拉刚度为EA EA，泊，泊松比为松比为，求板在图示的一对力，求板在图示的一对力F F 的的作用下的轴向变形。作用下的轴向变形。P P PP P P设想板的另一受力状态如图。设想板的另一受力状态如图。设想板的另一受力状态如图。易得第二种状态下的横向变形为易得第二种状态下的横向变形为易得第二种状态下的横向变形为EAPbb=EAPbb=设第一种状态下所求的轴向变形为L，由功的互等定理：设第一种状态下所求的轴向变形为设第一种状态下所求的轴向变形为 L L，由功的互等定理：由功的互等定理：LPbF=LPbF=EAPbPFL=EAPbPFL=EAFb=EAFb=2222取取取21PP=21PP=2112=位移互等定理位移互等定理(reciprocal-displacement theorem)位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理(reciprocal(reciprocal-displacement theorem)displacement theorem)212121PP=互等定理的适用范围：线性系统互等定理的适用范围：线性系统互等定理的适用范围：线性系统功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理23235.克拉珀龙定理克拉珀龙定理(Claperons theorem)5.5.克拉珀龙定理克拉珀龙定理克拉珀龙定理克拉珀龙定理(ClaperonClaperon s s theorem)theorem)F1F F1 1F2F F2 2F1F F1 1F2F F2 2F1F F1 1F2F F2 21 1 12 2 21212221112121PPPW+=1212221112121PPPW+=212121PP=212121PP=21212122211121212121PPPPW+=21212122211121212121PPPPW+=)(21)(212221212111PP+=)(21)(212221212111PP+=22112121PP+=22112121PP+=U=U=iiiFU=21iiiFU=21由功的互等定理：由功的互等定理：由功的互等定理：注意注意式中的i是由所有的荷载共同引起的。注意注意注意注意式中的式中的 i i是由所有的荷载共同是由所有的荷载共同引起的。引起的。2424(second Castigliano theorem)(second (second CastiglianoCastigliano theorem)theorem)线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数，等于与这一力相应的广义位移。线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数等于与这一力相应的广义位移。线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数线弹性结构的应变能对某一广义力的偏导数，等于与等于与等于与等于与这一力相应的广义位移。这一力相应的广义位移。这一力相应的广义位移。这一力相应的广义位移。1.原理原理1.1.原理原理原理原理F F FF F F F F FiiFU=11.2 卡氏第二定理卡氏第二定理11.2 11.2 卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理252512121211 1111F1F F1 1F2F F2 2222222F1F F1 1F2F F2 21 1 12 2 21212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=1212221112121FFFWU+=2121111FFFU+=2121111FFFU+=21212F=21212F=11111F=11111F=11211=+=11211=+=应变能应变能应变能对于线弹性体对于线弹性体对于线弹性体11是比例常数。1111是比例常数。是比例常数。原理的说明原理的说明原理的说明原理的说明原理的说明原理的说明2112222221112121FFFFU+=2112222221112121FFFFU+=11=FU11=FU22222F=22222F=22=FU22=FU2626位移发生在这个力的作用点处；位移发生在这个力的作用点处；位移发生在这个力的作用点处；位移发生在这个力的作用点处；位移发生在这个力的作用点处；位移发生在这个力的作用点处；位移沿着这个力的作用方向；位移沿着这个力的作用方向；位移沿着这个力的作用方向；位移沿着这个力的作用方向；位移沿着这个力的作用方向；位移沿着这个力的作用方向；iiPU=线弹性线弹性结构的应变能对于某个广义广义力的偏导数，等于与这个力相应的广义相应的广义位移。线弹性线弹性线弹性线弹性结构的应变能对于某个结构的应变能对于某个广义广义广义广义力的力的偏导数，等于与这个力偏导数，等于与这个力相应的广义相应的广义相应的广义相应的广义位移。位移。线弹性线弹性结构的应变能对于某个广义广义力的偏导数，等于与这个力相应的广义相应的广义位移。线弹性线弹性线弹性线弹性结构的应变能对于某个结构的应变能对于某个广义广义广义广义力的力的偏导数，等于与这个力偏导数，等于与这个力相应的相应的相应的相应的广义广义广义广义位移。位移。如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷载是力偶矩，则相应的位移是角位移。如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷载是力偶矩，则相应的位移是角位移。如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷如果荷载是力，则相应的位移是线位移；如果荷载是力偶矩，则相应的位移是角位移。载是力偶矩，则相应的位移是角位移。载是力偶矩，则相应的位移是角位移。载是力偶矩，则相应的位移是角位移。2727分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论图中结构应用卡氏第二定理时，F1 取零意味着什么？图中结构应用卡氏第二定理时，图中结构应用卡氏第二定理时，F F1 1 取零意味着什么？取零意味着什么？图中对应于P 力的位移是单由P 力引起的吗？图中对应于图中对应于P P 力的位移力的位移 是单由是单由P P 力引起的吗？力引起的吗？线弹性线弹性结构的应变能对于某个广义广义力的偏导数，等于与这个力相应的广义相应的广义位移。线弹性线弹性线弹性线弹性结构的应变能对于某个结构的应变能对于某个广义广义广义广义力的力的偏导数，等于与这个力偏导数，等于与这个力相应的相应的相应的相应的广义广义广义广义位移。位移。F1=0F F1 1=0=0F2F F2 2F F FiiPU=2828=jjjjEALFU)(22N=jjjjEALFU)(22N2.在桁架中的应用在桁架中的应用2.2.在桁架中的应用在桁架中的应用在桁架中的应用在桁架中的应用例例 图示桁架各杆件的抗拉刚度均为EA，求结点C 的竖向位移。例例例例 图示桁架各杆件的图示桁架各杆件的抗拉刚度均为抗拉刚度均为EA EA，求，求结点结点C C 的竖向位移。的竖向位移。EAaPUUi2)12(+=EAaPUUi2)12(+=结构总应变能结构总应变能结构总应变能C 的竖向位移C C 的竖向位移的竖向位移iiPU=iiPU=EAPaPvC)(212+=EAPaPvC)(212+=EAPaPUvC)21(2+=EAPaPUvC)21(2+=jjjjiEALFP)(22N=jjjjiEALFP)(22N()()注意注意正号说明实际位移与P 力方向相同。注意注意注意注意正号说明实际位移与正号说明实际位移与P P 力力方向相同。方向相同。D D DA A AC C CP P PB B Ba a aa a aD D DA A AC C CP P PB B B2 2 P P0 0P PP P2929a a aa a aP P PA A AB B BC C C例例桁架各杆件的抗拉刚度均为EA，求结点C 的竖向位移和水平位移。例例例例桁架各杆件的抗拉刚桁架各杆件的抗拉刚度均为度均为EA EA，求结点，求结点C C 的的竖向位移和水平位移。竖向位移和水平位移。假定C 处有一横向力F 作用假定假定C C 处有一横向力处有一横向力F F 作用作用结构总应变能结构总应变能结构总应变能F F FEAaPU2212+=EAaPU2212+=EAaPUBC22=EAaPUBC22=EAaPUAC22=EAaPUAC22=EAaPFUBC2)(2=EAaPFUBC2)(2=EAaPFEAaPU2)(222+=EAaPFEAaPU2)(222+=PUvC=PUvC=EAaPUAC22=EAaPUAC22=结构总应变能结构总应变能结构总应变能()()P P P2 2 2P P PP+F P P+F+F P P P2 2 20=F0=FFUuC=FUuC=EAPa=EAPa=EAaPF)(=EAaPF)(=()()EAPa)122(+=EAPa)122(+=注意注意负号说明实际位移与假设的F 力方向相反。注意注意注意注意负号说明实际位移与假负号说明实际位移与假设的设的F F 力方向相反。力方向相反。3030L L Lq q qA A A例例求承受均布荷载的悬臂梁自由端的竖向位移，梁的抗弯刚度为EI。例例例例求承受均布荷载的悬臂梁求承受均布荷载的悬臂梁自由端的竖向位移，梁的抗弯自由端的竖向位移，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。设想自由端有一向下作用的荷载P。设想自由端有一向下作用设想自由端有一向下作用的荷载的荷载P P。221)(qxPxxM=221)(qxPxxM=00d=PLAxPMEIMw00d=PLAxPMEIMw002d2=+=PLxxEIxqPx002d2=+=PLxxEIxqPx3.在梁中的应用在梁中的应用3.3.在梁中的应用在梁中的应用在梁中的应用在梁中的应用EIqL84=EIqL84=xEIqxLd203=xEIqxLd203=xPM=xPM=P P PiiPU=iiPU=xEIMPLid202=xEIMPLid202=xPMEIMiLd0=xPMEIMiLd0=()()正号说明实际位移与所假设的P 力方向相同。正号说明实际位移与所正号说明实际位移与所假设的假设的P P 力方向相同。力方向相同。x x x梁的弯矩：梁的弯矩：梁的弯矩：3131L L Lq q qA A A例例求承受均布荷载的悬臂梁自由端的转角，梁的抗弯刚度为EI。例例例例求承受均布荷载的悬臂梁求承受均布荷载的悬臂梁自由端的转角，梁的抗弯刚度自由端的转角，梁的抗弯刚度为为EIEI。iiPU=iiPU=xPMEIMiLd0=xPMEIMiLd0=动脑又动笔动脑又动脑又动笔动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔m m m如图，设想自由端有一顺时针的力偶矩m，则梁的弯矩如图，设想自由端有一顺如图，设想自由端有一顺时针的力偶矩时针的力偶矩m m，则梁的弯矩则梁的弯矩221)(qxmxM=221)(qxmxM=1=mM1=mM00d=mLAxmMEIM00d=mLAxmMEIM002d2=mLxEIxqm002d2=mLxEIxqmEIqL63=EIqL63=xEIqxLd202=xEIqxLd202=()()3232 结果为正，表明所求位移方向与相应力方向一致；若结果为负，则方向相反。结果为正，表明所求位移方向与相应力方向一致；若结果为正，表明所求位移方向与相应力方向一致；若结果为负，则方向相反。结果为负，则方向相反。如果结构中求某处的位移没有对应的力存在，则可设想在该处有一力F 作用，先求出原有荷载和F 共同作用下的应变能，然后对F 求导，再令求导结果中F 为零，即可得所求位移。如果结构中求某处的位移没有对应的力存在，则可设如果结构中求某处的位移没有对应的力存在，则可设想在该处有一力想在该处有一力F F 作用，先求出原有荷载和作用，先求出原有荷载和F F 共同作用共同作用下的应变能，然后对下的应变能，然后对F F 求导，求导，再令求导结果中再令求导结果中F F 为零，为零，即可得所求位移。即可得所求位移。4.卡氏第二定理注意点.卡氏第二定理注意点4 4.卡氏第二定理注意点卡氏第二定理注意点卡氏第二定理注意点卡氏第二定理注意点 定理中的i是结构中所有荷载在Pi作用点沿Pi 作用方向所引起的位移。定理中的定理中的 i i是结构中所有荷载在是结构中所有荷载在P Pi i作用点沿作用点沿P Pi i 作用作用方向所引起的位移。方向所引起的位移。定理中的Pi是广义力，i是相应的广义位移。定理中的定理中的P Pi i是广义力，是广义力，i i是相应的广义位移。是相应的广义位移。3333分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论要求A 点和B 点的竖向位移，应如何处理？要求要求A A 点和点和B B 点的竖向位移，应如何点的竖向位移，应如何处理？处理？在图示的情况下，是什么含义？在在图示的情况下，图示的情况下，是什么含义？是什么含义？PUPU在图示的情况下，是什么含义？在在图示的情况下，图示的情况下，是什么含义？是什么含义？qUqUL L Lq q qL/2L/L/2 2P P PA A AP P PL/2L/L/2 2B B BL/2L/L/2 2FLFLFLA A AF F FL/2L/L/2 2B B B要求A 点的竖向位移，应如何处理？要求要求A A 点的竖向位移，应如何处理？点的竖向位移，应如何处理？3434R R RF F FR R RF F F R R RF F F MMMR R RF F F T T TR R RF F F例例如图四分之一圆杆的，弹性模量为E，求自由端的竖向位移。例例例例如图四分之一圆杆的如图四分之一圆杆的，弹，弹性模量为性模量为E E，求自由端的竖向位移。求自由端的竖向位移。250.=250.=取自由体如图。取取自由体如图。自由体如图。弯矩：弯矩：弯矩：扭矩：扭矩：扭矩：应变能：应变能：应变能：()sinFRM=()sinFRM=()()cos1=FRT()()cos1=FRTsGITEIMUld21P22+=sGITEIMUld21P22+=()+=20P2232dcos1sin21GIEIRF()+=20P2232dcos1sin21GIEIRFd2120P22RGITEIM+=d2120P22RGITEIM+=+=2431421P32GIEIRF+=2431421P32GIEIRF R R R R R RMMM R R RT T Td d d3535R R RF F F+=2431421P32GIEIRFU+=2431421P32GIEIRFU250.=250.=EEG4.0)1(2=+=EEG4.0)1(2=+=II2P=II2P=EIGI54P=EIGI54P=2516192132RFEIU=2516192132RFEIUFUw=FUw=自由端竖向位移：自由端竖向位移：自由端竖向位移：=2516193EIFR=2516193EIFR()4019443=dEFR()4019443=dEFRd d d()=430725dEFR.()=430725dEFR.36365.求解超静定问题求解超静定问题5.5.求解超静定问题求解超静定问题求解超静定问题求解超静定问题xEIMEALRULd22022+=xEIMEALRULd22022+=xRMMEIEARLRUwLCd10+=xRMMEIEARLRUwLCd10+=221qxRxM=221qxRxM=xRM=xRM=选择如图的静定基选择如图的静定基选择如图的静定基结构应变能结构应变能结构应变能应用卡氏第二定理得C 处的位移应用卡氏第二定理得应用卡氏第二定理得C C 处的位移处的位移例例求图示结构中拉杆的内力。例例例例求图示结构中拉杆的内力。求图示结构中拉杆的内力。梁的弯矩梁的梁的弯矩弯矩q q qL L LB B BL L LA A AEIEIEIEAEAEAC C C3737q q qB B BL L LA A AR R REIEIEIC C Cx x xEAEAEA+=LCxxqxRxEIEARLw02d211+=LCxxqxRxEIEARLw02d211+=1183NqLRF+=1183NqLRF=23ALI=23ALIEIqLEIRLEARL8343+=EIqLEIRLEARL8343+=xRMMEIEARLwLCd10+=xRMMEIEARLwLCd10+=221qxRxM=221qxRxM=xRM=xRM=由此可得拉杆中的拉力由此可得拉杆中的拉力由此可得拉杆中的拉力协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件08343=+=EIqLEIRLEARLwC08343=+=EIqLEIRLEARLwC3838力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与材料力学史力学家与材料力学史Alberto CastiglianoAlberto Alberto CastiglianoCastigliano(1847-1884)(1847(1847-1884)1884)Castigliano是意大利工程师。1873 年在他的学位论文中，首次提出卡氏定理。CastiglianoCastigliano是意大利是意大利工程师。工程师。1873 1873 年在他的学位年在他的学位论文中，首次提出卡氏定理。论文中，首次提出卡氏定理。F.Engsser将这些原理加以系统的归纳，并引入了余能的概念来进行处理。F.EngsserF.Engsser将这些原理将这些原理加以系统的归纳，并引入了加以系统的归纳，并引入了余能的概念来进行处理。余能的概念来进行处理。3939EIEIMMMMLLx xd d=11.3单位荷载法单位荷载法(unit load method)11.311.3单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法(unit load method)(unit load method)F1F F1 1F2F F2 2FnF Fn nF1F F1 1F2F F2 2FnF Fn n外力所做的功外力所做的功外力所做的功iiniF=121iiniF=121xEIxMLd2)(2=xEIxMLd2)(2=等于应变能等于应变能等于应变能欲求C截面的挠度欲求欲求C C截面的挠度截面的挠度 F1F F1 1F2F F2 2FnF Fn nC C C xEIxMLd2)(1212=xEIxMLd2)(1212=F=1F=F=1 1C C C F1F F1 1F2F F2 2FnF Fn nF=1F=F=1 1C C C 1.原理原理1.1.原理原理原理原理单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法(Mohr 积分积分)(Mohr(Mohr 积分积分积分积分)4040单位荷载法的步骤单位荷载法的步骤单位荷载法的步骤单位荷载法的步骤单位荷载法的步骤单位荷载法的步骤1)列出实际荷载所引起的弯矩函数M(x)。1)1)列出实际荷载所引起的弯矩函数列出实际荷载所引起的弯矩函数M M(x x)。2)在需要计算位移的地方加上一个单位荷载，并列出单位荷载单独作用所引起的弯矩函数M(x)。2)2)在需要计算位移的地方加上一个单位荷载，并列出单位在需要计算位移的地方加上一个单位荷载，并列出单位荷载单独作用所引起的弯矩函数荷载单独作用所引起的弯矩函数MM(x x)。3)计算Mohr 积分，即可得所求位移。3)3)计算计算Mohr Mohr 积分，即可得所求位移。积分，即可得所求位移。EIEIMMMMLLx xd d=4141杆件拉压杆件拉压杆件拉压杆件拉压杆件拉