概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案10.pdf
10 习题十习题十 1.在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中，测得在不同温度x()下，溶解于 100 份水中的硝酸钠份数y的数据如下，试求y关于x的线性回归方程.xi 0 4 10 15 21 29 36 51 68 yi 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1【解】经计算得，9999211112234,811.3,10144,24628.6,110144(234)4060,9124628.6234 811.33534.8.9iiiiiiiiixxxyxyxx ySS 故811.32340.8706,67.5078,99xyxxSbabS 从而回归方程：67.50780.8706.yx 2.测量了 9 对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）.父亲身高xi 60 62 64 66 67 68 70 72 74 儿子身高yi 63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 求（1）儿子身高 y 关于父亲身高 x 的回归方程.（2）取=0.05，检验儿子的身高 y 与父亲身高 x 之间的线性相关关系是否显著.（3）若父亲身高 70 英寸，求其儿子的身高的置信度为 95%的预测区间.【解】经计算得，9999922111112291603,604.6,40569,40584.9,40651.68140569(603)168,9140584.9603 604.676.7,9140651.68(604.6)35.9956.9(1)0.4565,/9/iiiiiiiiiiixxxyyyxyiiixxxyxx yySSSSbaxbxS 91936.5891,i 故回归方程：36.5891 0.4565.yx 120.05(2)35.0172,35.995635.01720.9784,250.5439(1,7)5.59./2xyxxSQQQQSQFFQn回剩总回回剩 故拒绝H0，即两变量的线性相关关系是显著的.00.02522020/2(3)36.5891 0.4565 7068.5474,0.97840.05,(7)2.3646,0.3739,2760370()119 111.0792,9168()1 (2)12.3646 0.3739 1.079xxxxyQtnxxnSxxtnnS剩给定故20.9540.从而其儿子的身高的置信度为 95%的预测区间为(68.54740.9540)=(67.5934,69.5014).3.随机抽取了 10 个家庭，调查了他们的家庭月收入 x（单位：百元）和月支出 y(单位：百元)，记录于下表：x 20 15 20 25 16 20 18 19 22 16 y 18 14 17 20 14 19 17 18 20 13 求：(1)在直角坐标系下作 x 与 y 的散点图，判断 y 与 x 是否存在线性关系.(2)求 y 与 x 的一元线性回归方程.(3)对所得的回归方程作显著性检验.（=0.025）【解】(1)散点图如右，从图看出，y 与 x 之间具有线性相关关系.(2)经计算可得 10101010102211111191,170,3731,3310,2948,82.9,63,58.1701910.7600,0.762.4849,1010iiiiiiiiiiixxxyyyxyxxxyxx yySSSSbaS故 从而回归方程：2.48490.76.yx 题题 3 图图 220.05(3)47.8770,5847.87710.1230,37.8360(1,8)7.57./2xyxxSQQQQSQFFQn回剩总回回剩 故拒绝H0,即两变量的线性相关关系是显著的.4.设y为树干的体积，x1为离地面一定高度的树干直径，x2为树干高度，一共测量了 31 棵树，数据列于下表，作出y对x1,x2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x1和x2估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量.x1(直径)x2(高)y(体积)x1(直径)x2(高)y(体积)8.3 70 10.3 12.9 85 33.8 8.6 65 10.3 13.3 86 27.4 8.8 63 10.2 13.7 71 25.7 10.5 72 10.4 13.8 64 24.9 10.7 81 16.8 14.0 78 34.5 10.8 83 18.8 14.2 80 31.7 11.0 66 19.7 15.5 74 36.3 11.0 75 15.6 16.0 72 38.3 11.1 80 18.2 16.3 77 42.6 11.2 75 22.6 17.3 81 55.4 11.3 79 19.9 17.5 82 55.7 11.4 76 24.2 17.9 80 58.3 11.4 76 21.0 18.0 80 51.5 11.7 69 21.4 18.0 80 51.0 12.0 75 21.3 20.6 87 77.0 12.9 74 19.1 【解】根据表中数据，得正规方程组 01201201231411.72356923.9,411.75766.5531598.713798.85,235631598.718027472035.6.bbbbbbbbb 解之得，b0=-54.5041,b1=4.8424,b2=0.2631.故回归方程：y=-54.5041+4.8424x1+0.2631x2.5.一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量.由n=25 个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下，求日报周末发行量y关于总零售额x1和人口密度x2的线性回归方程.居民区 日报周末发行量yi(104份)总零售额xi1(105元)人口密度xi2(0.001m2)1 3.0 21.7 47.8 2 3.3 24.1 51.3 3 4.7 37.4 76.8 4 3.9 29.4 66.2 35 3.2 22.6 51.9 6 4.1 32.0 65.3 7 3.6 26.4 57.4 8 4.3 31.6 66.8 9 4.7 35.5 76.4 10 3.5 25.1 53.0 11 4.0 30.8 66.9 12 3.5 25.8 55.9 13 4.0 30.3 66.5 14 3.0 22.2 45.3 15 4.5 35.7 73.6 16 4.1 30.9 65.1 17 4.8 35.5 75.2 18 3.4 24.2 54.6 19 4.3 33.4 68.7 20 4.0 30.0 64.8 21 4.6 35.1 74.7 22 3.9 29.4 62.7 23 4.3 32.5 67.6 24 3.1 24.0 51.3 25 4.4 33.9 70.8 【解】类似于习题 4，可得正规方程组 01201201225 739.5 1576.6 98.2,739.5 22429.15 47709.1 2968.58,1576.6 47709.1 101568 6317.95.bbbbbbbbb 解之得，b0=0.3822,b1=0.0678,b2=0.0244.故回归方程：y=0.3822+0.0678x1+0.0244x2.6.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各做 3 次试验，得数据如下：浓度 x 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 抗压强度 y 25.2 29.8 31.2 31.7 29.4 27.3 31.1 32.6 30.1 30.8 28.7 27.8 29.7 32.3 32.8(1)作散点图.(2)以模型y=b0+b1x1+b2x2+,N(0,2)拟合数据，其中b0,b1,b2,2与x无关，求回归方程 y=+x+x0b1b2b2.【解】(1)散点图如下图.4 题题 6 图图(2)令x1=x,x2=x2，根据表中数据可得下表 浓度x(x1)10 15 20 25 30 x2(x2)100 225 400 625 4900 抗压强度 y 25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8 根据上表中数据可得正规方程组 01201201215 300 6750 450.5,300 6750 165000 9155,6750 165000 4263750 207990.bbbbbbbbb 解之得:b0=19.0333,b1=1.0086,b2=-0.0204.故y关于x1与x2的回归方程：=19.0333+1.0086x1-0.0204x2,从而抗压强度y关于浓度x的回归方程:y=19.0 33+1.0086x-0.0204x32.5
