公务员考试数量关系高频考点大全.docx

公务员考试公务员考试数量关系数量关系高频考点大全高频考点大全一、数列n(a a)na n(n1)da=a+(n-1)daa a a(m n pq)1.等差数列：S n1n22n1mnpq1中项求和公式n 为奇数时：snann12n 为偶数时：s(aa)n2nnn122na，q 12.等比数列：aa qa a a a(mnpq)1n-1S na(1-q)a a qnn1mnpq,q 111n1-q1q3.某些数列的前 n 项和奇数项和：1+3+5+(2n-1)=n2偶数项和：2+4+6+(2n)=n(n+1)【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】平方数列求和：1+2+3+n=n(n+1)(2n+1)222216立方数列求和：1+2+3+n=n(n+1)3333142二、数学基础公式1.乘法公式立方和：a+b=(a+b)(a-ab+b)立方差：a-b=(a-b)(a+ab+b)1完全立方和/差：(ab)=a3ab+3abb裂项公式：11nn(n 1)n(n 1)加权平均数：x f+x f+x f调和平均数：n1122kkn1x1x1x 二项式定理：(ab)C a C abC ab 1C2ab nC bn0nn1nrn12nn2 2rnr rnnnn二项展开式的通项公式：T C ab(r0，1，2n)nr rr1n分期付款(按揭贷款)：每次还款ab(1 b)元（贷款 a 元，n 次还清，每期利率为b）nx(1 b)1n2.几何公式扇形：周长 L=(nr/180)+2r面积 S=nr/3602圆柱：表面积 S=2rh+2r2球体：表面积 S=4r2体积 V=r h2体积 V=r433圆锥：表面积 S=r+r R【R 为母线】体积 V=r h222正四面体：表面积S 4 aa aV s h a a体积123223426313133底BOBFaa22333323OFBFaa 131336323.几何问题其他结论：所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。n 条直线最多可以将平面分为1+n(n+1)个区域。n 个圆相交最多可以有 n(n-1)个交点。一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为 2 个、3 个、5 个，其他数量都可完成。第 1 页满足勾股定理的三边有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】已知三角形最长边为n，三边均为整数，这样的三角形有多少个?n=2k-1 时，为 k 个三角形；2n=2k 时，为(k+1)k 个三角形。已知边长为 a、b、c 的长方体由边长为1 的小立方体组成。则一共有abc 个小立方体；内部看不见的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方体有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)欧拉定理：VFE=2(简单多面体的顶点数V、棱数 E 和面数 F)E=各面多边形边数和的一半。若每个面的边数为n 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系：11E nFmE mV；若每个顶点引出的棱数为，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：22立体涂色问题：一个边长为 n 的正方体，由 n个边长为 1 的小正方体构成。最外层涂色，则：3 面被涂色的小正方体有8 个2 面被涂色的小正方体有(n-2)12 个1 面被涂色的小正方体有(n-2)6 个0 面被涂色的小正方体有(n-2)个总共被涂色的有 n(n-2)个三、数字特性1.1.倍数关系倍数关系若 ab=mn(m，n 互质)，则a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数；ab 是 mn 的倍数。若 x=mny(m，n 互质)，则 x 是 m 的倍数；y 是 n 的倍数。2.2.两个数的最小公倍数与最大公约数的关系两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数最小公倍数=两数的积3.奇偶运算法则奇偶运算法则加减规律：奇奇=偶偶=偶；奇偶=奇；乘法规律：奇偶=偶偶=偶；奇奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】4.4.基本幂数周期基本幂数周期2 的尾数周期为 4，分别为 2，4，6，8n3 的尾数周期为 4，分别为 3，9，7，1n4 的尾数周期为 2，分别为 4，6n5，6 的尾数不变；nn7 的尾数周期为 4，分别为 7，9，3，1n8 的尾数周期为 4，分别为 8，4，2，6n9 的尾数周期为 2，分别为 9，1nn(n10)的尾数为 n 末位的幂的尾数。n4.4.整除判定法则整除判定法则能被 2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被 2(或 5)整除的数，末一位数能被2(或 5)整除；能被 4(或 25)整除的数，末两位数能被4(或 25)整除；能被 8(或 125)整除的数，末三位数能被8(或 125)整除；一个数被 2(或 5)除得的余数，就是其末一位数被2(或 5)除得的余数；一个数被 4(或 25)除得的余数，就是其末两位数被4(或 25)除得的余数；一个数被 8(或 125)除得的余数，就是其末三位数被8(或 125)除得的余数。能被 3(或 9)整除的数，各位数字和能被3(或 9)整除；一个数被 3(或 9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或 9)除得的余数。能被 7 整除的数，其末一位数的 2 倍与剩下数之差，能被 7 整除；其末三位数与剩下第 2 页数之差，能被 7 整除。如 362，末一位的 2 倍为 4，与剩下数 36 之差为 32不能被 7 整除如 12047，末三位 047 与剩下数 12 之差为 35能被 7 整除能被 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被11 整除。如 7394，奇数位和 7+9=16，偶数位和 3+4=7，16-7=9不能被 11 整除如 15235，末三位 235 与剩下数 15 之差为 220能被 11 整除 111能被 7(11 或 13)整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7(11 或 13)整除。将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被 7(11 或 13)整除。5.5.剩余定理剩余定理余同加余：一个数除以4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，因为余数都是 1，则取 1，公倍数做周期，则这个数为60n+1和同加和：一个数除以4 余 3，除以5 余 2，除以6 余 1，因为4+3=5+2=6+1，则取7，公倍数做周期，则这个数为60n+7差同减差：一个数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，因为 4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为60n-3【例题】：三位的自然数 N 满足：除以 6 余 3，除以 5 余 3，除以 4 也余 3，则符合条件的自然数 n 有几个?A.8B.9C.15D.16【解析】4、5、6 的最小公倍数是 60，可以算出这个数为 60n+3，已知的条件 n 是一个三位数，所以 n 可以取 2 到 16 的所有整数，共15 个。6.6.余数定理余数定理定理 1：两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和（1）73=1，53=2，则（7+5）3 的余数就等于 1+2=3，所以余 0（2）83=2，53=2，2+2=43，431，则（8+5）3 的余数就等于 1【例题】有 8 个盒子分别装有 17 个、24 个、29 个、33 个、35 个、36 个、38 个和 44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29 个B.33 个C.36 个D.38 个【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是 1 份，小钱和小孙都是 2 份，三个人加起来是 5 份，也就是说三个人的和是5 的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5 的倍数，总数量与小赵关于5 同余。用定理 1 计算总数量除以 5 的余数，17 个、24 个、29 个、33 个、35 个、36 个、38 个、44 个除分别余 2、余 4、余 4、余 3、余 0、余 1、余 3、余 4。2+4+4+3+0+1+3+4=215=41，总数量除以 5 余 1，因此小赵除以 5 也余 1。选 C定理 2：两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积（1）73 余 1，53 余 2，则（75）3 的余数就等于 12=2，所以余 2（2）83=2，53=2，2+2=43，431，则（85）3 的余数就等于 1【例题】有一条长1773mm 的钢管，把它锯成长度分别为41mm 和 19mm 两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm 的钢管（）段。A.20B.31C.40D.52【解析】设长度为41mm 的钢管 x 段，19mm 的钢管 y 段，可列方程 41x+19y=1773，19y 显然能被 19 整除，而 177319=936，因此 41x19 一定也余 6，又 4119 余第 3 页3，根据定理 2，x19 只能余 2，选项中只有 C 选项满足此条件，应选C数量关系经典题型数量关系经典题型一、日期问题一、日期问题1.每个世纪前 99 年，能被4 整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400 整除的是闰年。2.平年有 52 个星期零 1 天，一年后的这一天星期数变化加1；闰年有 52 个星期零二天。3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月【1，3，5，7，8，10，12】八月后单月为小月，双月为大月【4，6，9，11】每月 1，2，3 日对应的星期数可能出现5 次。大月当月 1，2，3 日对应的星期数出现5 次；小月当月1，2 日对应的星期数出现5 次；闰年 2 月有 29 天，当月 1 日对应的星期出现5 次。二、年龄问题二、年龄问题：利用年龄差不变，可列方程求解。三、植树问题三、植树问题1.不封闭路线两端植树：颗树=全长/间距1两端不植树：颗数=全长/间距12.封闭路线：颗数=全长/间距四、方阵问题四、方阵问题1.从内向外：每层人数依次增加8每层总人数=每边人数442.空心方阵总人数=层数中间层人数=每边最外层人数(最内层每边人数2)22五、钟表问题五、钟表问题1.分针每分钟走36060=6，时钟每分钟走6060=0.5，每分钟两者角度差为5.52.时针每分钟走5/60=1/12 格，时针每分钟走1 格，每分钟两者路程差为11/12 格。3.分针追击时针问题：追及时间=在初始时刻需追赶的格数(11/12)时针速度是分钟的1/12，分钟每走 60（11/12）=655（分）与时钟重合一次。113.坏钟问题：坏钟每小时比标准时间快 n 分钟，则坏钟/标准时间=(60+n)/60。当坏钟显示过了 x 分钟，标准时间相当于过了60 x/(60+n)分钟。4.时针成角度问题把 12 点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则 m 时 n分这个时刻时针所成的角为 30（m+n/60）度，分针所成的角为 6n 度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。用表示此时两指针夹的度数，则=30（m+n/60）-6n则=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|。【例如】求 5 时 40 分两指针所夹的角。【解析】把 m=5，n=40 代入上式，得=|150-220|=70此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。时针与分针一昼夜重合22 次，垂直 44 次，成 180也是 22 次。【例如】求 3 时多少分两指针重合。【解析】把=0，m=3 代入公式得：0=|303-5.5n|，解得n=180/11，即3 时 180/11分时两针重合。六、浓度问题六、浓度问题1.基本公式：m=m+mc=m/m溶液溶质溶剂溶质溶液2c c2.等溶质递减溶剂问题公式：为第 i 次的溶液浓度，i=1，2，3c 2ci13c c133.溶液混合普通问题m c+m c=(m+m+)cm 为溶液质量，c 为溶液浓度112212混第 4 页有某溶液质量为 m，每次先倒出该溶液m，再倒入清水 m，经过 n 次操作后，溶液浓00度由 c 变为 c。则 c=c(m-m)/mn0nn00有某溶液质量为 m，每次先倒入清水m，再倒出该溶液 m，经过 n 次操作后，溶液浓00度由 c 变为 c。则 c=c m/(m+m)n0nn00【例题】从装满 1000 克浓度为 50%的酒精瓶中倒出 200 克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为 1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后清水的浓度为 50%(1000-200)/1000=25.6%，3所以多次混合后酒精的浓度为1-25.6%=74.4%。3.十字交叉法与浓度问题浓度问题中的混合问题，一般主要采用十字交叉法来实现多的量和少的量保持平衡。已知一瓶溶液的浓度为 a%，另外一瓶的溶液浓度为 b%，分别取 m 和 n 份进行混合，求混合溶液的浓度？(mn)第一部分 a%x-b%mx-b%mx则a%xn第二部分 b%a%-x n十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)还常用于增长率问题。已知两个量的增长率，求两个量混合后的增长率。【例题】某班男生比女生人数多 80%，一次考试后，全班平均成绩为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是()。【解析】设男生平均分x，女生 1.2x。(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得 x=70，则女生平均分为844.溶液交换浓度相等问题设两个溶液的浓度分别为a%，b%，且 ab，设需要交换溶液为x。则有：(b-x)：x=x：(a-x)x=ab/a+b【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是 40 克，40%的溶液是 60 克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换()克的溶液?A.36B.32C.28D.24【解析】设交换的溶液为 x 克，混和后的标准浓度 c。先对 60%的溶液研究，采用十字交叉法来得：40-x：x=(c-40%)：(60%-c)再对 40%的溶液进行研究，同理得：60-x：x=(60%-c)：(c-40%)由上面两式得 40-x：x=x：60-x即推出 x=(4060)/(40+60)=24七、盈亏问题：核心思想即 人数=盈亏差分配差1.一次盈，一次亏：(盈+亏)(两次每人分配数的差)=人数2.两次都有盈：(大盈-小盈)(两次每人分配数的差)=人数3.两次都是亏：(大亏-小亏)(两次每人分配数的差)=人数4.一次亏，一次刚好：亏(两次每人分配数的差)=人数5.一次盈，一次刚好：盈(两次每人分配数的差)=人数【例题 1】用绳测井深，把绳三折，井外余 2 米，把绳四折，还差 1 米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？【解析】井深=(32+41)/(4-3)=10 米，绳长=(10+2)3=36 米。【例题 2】有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1 条船，正好每条船坐6 人；如果减少 1 条船，正好每条船坐9 个人。那么这个班共有多少名同学？第 5 页【解析】增加一条和减少一条，前后相差2 条，可理解为每条船坐 6 人正好，若坐 9 人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。解答：增加一条船后的船数=92/(9-6)=6 条，这个班共有 66=36 名同学。或者也可以理解为每条船坐9 人正好，若坐 6 人则还缺两条船。增加一条船后的船数=62/(9-6)=4 条，这个班共有 49=36 名同学。八、鸡兔同笼问题假设全是鸡，则兔子数=（总脚数-鸡脚数总只数）（兔脚数-鸡脚数）假设全是兔子，则鸡数=（兔脚数总只数-总脚数-）（兔脚数-鸡脚数）【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525 分，问其中有多少个灯泡不合格？”【解析】假设全部合格，则不合格的有(41000-3525)(4+15)=47519=25（个）假设全部不合格，不合格的有1000-(151000+3525)19=1000-1852519=25（个）九、牛吃草问题九、牛吃草问题：草生长速度=总量差时间差=（吃草速度 1时间 1吃草速度 2时间 2）时间差原有草量=（牛数每天长草量）天数一般设每天长草量为x草的总量=原有草量+新生草量十、利润问题十、利润问题利润率利润/成本(售价成本)/成本售价/成本1售价成本(利润率)成本售价/（利润率)【例题】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了 6 个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为多少？A.12%B.13%C.14%D.15%【解析】本题中始终不变的是售价，根据 售价成本(利润率)，设商品进价为100，上月利润率为 x。则有 100(1+x)=95(1+x+6%)解得 x=14%，选 C十一、抽屉原理十一、抽屉原理：原理 1：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2 个或 2 个以上的物体。原理 2：把多于 mn 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m+1 个或多于m+1 个的物体。第二抽屉原理：把（mn1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。注意：抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿 1 个球，至多拿 2 个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？【解析】最多有同学拿球的配组方式共有 C(1，3)+2C(2，3)=9 种(足球、篮球、排球、足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮)。以这 9 种配组方式制造 9 个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 50955。由抽屉原理2，k（m/n）1 可得，至少有6 人，他们所拿的球相同。十二、容斥问题十二、容斥问题1.三者容斥问题问题的两个不同公式ABC=A+B+CABBCACABCABC=A+B+C重叠一次的2重叠两次的ABC=K+K+K K 为第一层，K 为第二层，K 为第三层123123第 6 页A+B+C=K+2K+3K=ABC+K+2K【例题】五年级一班共有55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法班，1232328 人参加美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6 人，则有（）人只参加了一种特长培训班。A.45B.33C.29D.22【解析】根据 A+B+C=ABC+K+2K=55+K+26=35+28+31解得 K=27,2322根据 ABC=K+K+K解得 K=22。K 即表示为只参加一种特长班的人数。2.容斥问题其他类型12311求两个集合的交集的最小值：A+B-I求三个集合的交集的最小值：A+B+C-2I【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题，小红做对了 78 题。问三人都做对的题目至少有几题?A.4 题B.8 题C.12 题D.16 题【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2100=4，选择 A。解法二：由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为 32，42，22，三人做错的题共有32+42+22=96 道，利用最不利原则，即三人最多做错96 道，则至少做对 100-96=4 道十三、工程问题1.基本工程问题：(1)已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作量。(2)抓住单独工作效率或者合作工作效率为解题关键。常见两种题型：合作过程中有人休息：一般假设不休息来算。轮流工作时：一般用周期来算。计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以及最后剩余工作量如何分配。(3)某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙做了多少天。【例题 1】一件工作，甲单独做12 天完成，乙单独做9 天完成。按照甲先乙后的顺序每人每次 1 天轮流，完成需几天？A.31/3B.32/3C.11D.10【解析】设工作总量为36，则甲每天做 3 份，乙每天做 4 份，轮流 2 天可做 7 份。36751，即甲乙轮流工作 10 天余 1 份，第 11 天时，甲完成剩余的 1/3 即可，所以共需 31/3 天。【例题 2】一件工作，甲、乙两人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【解析】解法一：甲乙合作30 天可做完；现在甲做6 天，乙做 46 天可做完，前后对比甲少做 24 天，乙多做 16 天，所以甲乙的效率之比为6：4。所以乙做 30 天相当于甲做了45 天，所以乙独做需75 天；甲做 30 天相当于乙做 20 天，所以乙独做需要50 天。解法二：共同做了6 天后，还成 4/5 的工作量，乙做4/5 的工作量需要 40 天，所以乙独做需要 50 天，即乙每天做1/50，甲乙合作时乙做了30/50=3/5，甲做了2/5，甲做 2/5 的工作量需 30 天，所以甲独做需75 天。【例题 3】一件工程，甲单独做10 天完成，乙单独做30 天完成.现在两队合作，其间甲休息了 2 天，乙休息了 8 天。问开始到完工共用了多少天时间？【解析】解法一：设工作总量为30 份，甲每天完成3 份，乙每天完成1 份。在甲单独做8天，乙单独做 2 天后，还需两队合作(30-38-12)(3+1)=1天，所以共需 8+2+1=11 天【例题 4】甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在他们两队一起做，其间甲第 7 页队休息了 3 天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16 天。问乙队休息了多少天？【解析】解法一：如果16 天两队都不休息，可以完成的工作量是16(1/20+1/30)=4/3则两队休息期间未做的工作量为1/3，乙队休息期间未做的工作量1/3-3(1/20)=11/60，乙队休息的天数是 11/60(1/30)=5.5 天解法二：甲乙效率之比为3:2，甲单独做需20 天，现在甲休息了3 天，即甲做了13 天，甲若再做7 天即可完成，转化为乙做了10.5 天，所有乙休息了16-10.5=5.5 天。2.工程问题水管问题【例题 3】甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？【解析】解法一：甲每分钟注入水量是：(1-1/93)10=1/15，乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45。因此水池容积是：0.6(/15-2/45)=27m3解法二：甲管 9 分钟，乙管 9 分钟可注满；甲管 13 分钟，乙管 3 分钟注满。前后对比甲管多进水4 分钟，乙管少进水6 分钟，即甲管和乙管的效率之比为4：6。已知甲管比乙管每分钟多注水0.6m，所以两管每分钟共进水3m，所以水池容积为 39=27m33十四、行程问题(1)相遇问题：路程和=速度和时间（S+S）=（v+v）t1212(2)追及问题：路程差=速度差时间（S+S）=（v+v）t1212(3)直线多次相遇问题：两人相向而行，第n 次相遇时两人行走的总路程S=(2n-1)S总(4)环形运动问题：圆形跑道长为S，两人走的路程分别为S、S12同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第n 次相遇时两人走的总路程为nS同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第n 次追上时两人走的路程差为nS1.沿途数车问题发车时间间隔 T=(2t t)/(t+t)1 212车速/人速=(t+t)/(t-t)t 为迎面来一辆车所需时间，t 为从身后超过一辆车所需时间122112【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔 6 分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔 10 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A.3B.4C.5D.6【解析】车速/人速=(10+6)/(10-6)=42.公交车超骑车人和行人问题【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的 3 倍，每个隔 10 分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔 20 分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车?t=超行人时间，t=超自行车时间，v 人=人的速度，v 车=自行车的速度人车通解公式：发车时间间隔T=tt(v-v)/(vt-vt)人车车人车车人人上题代入解得 T=83.队伍行走问题：已知：v 为传令兵速度，v 为队伍速度，L 为队伍长度。12从队尾到队首的时间为：L/(v-v)12从队首到队尾的时间为：L/(v+v)4.行程问题停留问题，化静为动看待问题。12我们可以假设停留的时间没有停留，把它们两者的停留时间按照原速度计入总路程中。【例题 1】快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6 小时相遇，这时快车离乙站还有 240 千米，已知慢车从乙站到甲站需行15 小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1 小时第 8 页返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?【解析】相遇时快车距离乙站240km，即为相遇时慢车走了240km，则 v 慢=40km/h，甲乙两地总路程为4015=600km，所以，相遇时快车走了360km，则 v 快=60km/h从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的 2 倍，假设快车不在乙站停留 0.5 小时，慢车不在甲站停留 1 小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为 6002+600.5+401=1270km，两次相遇期间所经时间为 1270(60+40)=12.7h【例题 2】甲乙两人同时从东镇出发，到相距 90 千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10 千米，甲到西镇用1 小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米?【解析】甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇，故两人所行路程总和为 902=180km，但因甲到西镇用了 1 小时办事。倘若甲在这 1 小时中没有停留，而是继续骑行，这样两人所行总路程应为：902+30=210km，则相遇时间为：210(30+10)=5.25h，则乙行了105.25=52.5km。十五、流水行船问题vv+vv=v-v顺=船水逆船水v=(v+v)/2v=(v-v)/2v/v=(v+v)/(v-v)船顺逆水顺逆船水顺逆顺逆已知：A、B 两地由一条河流相连，轮船匀速前进，从A 到 B 顺流需时间 T，从 B 到 A顺逆流需时间 T。(1)漂流时间=2TT/(T-T)(2)轮船在静水中从 A 到 B 的时间=2TT/(T+T)【例题 1】轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 4 天.从 A 城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天?【解析】代入公式：234(4-3)=24 天逆顺逆逆顺顺逆逆顺【例题 2】轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B 城到 A 城需行 6 天，若轮船在静水中从A到 B 需要多长时间?【解析】代入公式：236(3+6)=4 天(3)多次相遇公式：S 为第一次相遇时的距离，S 为第二次相遇时的距离。12S 和 S 相对的是同一地点，则为单岸型，不同地点则为双岸型。12单岸型：S=(3S-S)/2双岸型：S=3S-S1212(4)行船复杂问题【例题】一只游轮从甲港顺流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用 8 小时，顺水每小时比逆水每小时多行 12 千米，前 4 小时比后 4 小时多行 30 千米。甲、乙两港相距多少千米?A.72B.60C.55D.48【解析】全程共用 8 小时，所以逆水行船花的时间过半，后 4 小时全部是逆水行船，前 4小时有一部分是顺水，一部分是逆水。解法一：由于逆水速度不变，所以前 4 小时比后 4 小时多行驶的距离就是顺水时多行的距离，可以得出：t=30/12=2.5h，t=5.5h顺逆则 v/v=5.5/2.5=2.2 倍，v-v=1.2v=12km/h，则 v=10km/h，甲乙两港的距顺逆顺逆逆逆离就是 10 5.5=55km。解法二：v=v-12S=4v-48S=S+15=4v-33逆顺逆顺逆顺由 S/v+15/v=S/v代入解得 v=22则 S=55km顺逆逆逆顺十六、排列组合AAn(n 1)(n m 1)An(n 1)(nm 1)mnmm1.Cmnmnm(m 1)12.“在位”与“不在位”：n 个元素中取 m 个元素的排列第 9 页某元素必在某位有A种m-1n-1某元素不在某位有AA（着眼元素）种 AA AAA（补集思想）（着眼位臵）mnm1n11m1mn11m1n1n1m1n1【例题】5 本书从左到右依次摆在书架上，其中一本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，一共有多少种摆法？【解析】解法一：补集思想。5 本书排列，若不限制条件，共有A种排法；其中某种书排55在排头或排尾有2AA 2A种，它不符合条件，故符合条件的排法有=72 种445544解法二：插空法。先把不能摆在排头也不能摆在排尾的的书拿开，让其余 4 本书做全排列，有A4种，然后再把那本书插入中间3个空隙处，有AA A种。所有共有=72 种1313444解法三：看眼位臵。某本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，这两个位臵只能摆其余4 本书，有A2种；中间3个位臵只能排余下的3本书，有A3.排列组合基本问题A A种。所以共有=723324334捆绑法：n 个元素的全排列，k 个元素必须相邻的排法有A A种。应用于不相kknk1nk1邻问题，先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列 插空法：n 个元素的全排列，k 个元素不能相邻的排法有AAk种。应用于相邻n-kn-kn-k1问题，先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中 两组元素各相同的插空：m 个 A 类元素 n(n m+1)个 B 类元素排成一列，B 类元素必An须分开，有Cn种排法m1Annm1插板法：n 个元素分成 m 组，每组至少一个元素，可用m-1 个“挡板”插入n 个元素形成的 n-1 个空隙中，将元素分成m 组，有C种。m-1n-1CCCmCmmmm5.平均分组问题：将 mn 个元素平均分成 n 组，每组 m 个，分法有mnm(n-1)m(n2)AnnA/nA(n1)!6.环线排列问题：n 元素排成一圈，排法有种nnn-1n-1注意：n 个珍珠串成一条项链，有种A/2n=(n-1)!种串法。7.多人传球问题：n 人传接球 m 次，则传球种数 x=(n-1)/nnnm 最接近 x 的整数为末次传他人次数，第二接近x 的整数为末次传给自己的次数【例题】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。A.60 种B.65 种C.70 种D.75 种【解析】(4-1)/4=60.75最接近的是 61 为最后传到别人次数，第二接近的是60 为5最后传给自己的次数。即选A8.比赛场次问题：已知 n 人参赛人数单循环场次=淘汰赛(仅需决出冠亚军)：比赛场次=n-1淘汰赛(需决出冠亚季军)：比赛场次=n2C AC双循环场次=2n2n2n【例题】8 支球队进行单循环比赛，每两支球队都比一场，胜者得 2 分，败者得 0 分，平局各得 1 分，比赛结束后，所有球队的总分和是()。A.28B.56C.84.D.112【解析】单循环比赛共需比赛场次C=8 7/2=28，每场不管胜负，还是平平，都是每场产28生 2 分的分值，则总分和为282=56 分。9.错位重排问题(伯努利-欧拉问题)，指把 n 个元素的位臵重新排列，使每个元素都不在原第 10 页来位臵上的排列问题。递推公式：n 封信的错位重排方数：D=(n-1)(D-2+D-1)Dn=0，1，3，9，44牢记nnn【例题】小明要给自己的 6 位好朋友分别写一封信，在装信的时候一不小心只有 2 个信封上写对了地址，问写错的可能情况有多少种?A.90 种B.115 种C.125 种D.135【解析】只有 2 封写对了地址，说明有4 封写错了，先选出哪4 封写错了，即C=15 种，464 封写错了相当于是4 个元素的错位重排，有9 种情况，再利用分布相乘159=135 种10.排列组合之涂色问题将一个圆环分成 n(n2)个扇形区域，现用k(k2)种不同颜色对这 n 个区域染色，要求相邻区域颜色不同，染色方法有多多少种？A=(k-1+(-1)(k-1)n 为区域数，k 为颜色种类数)nnn【例题】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色。只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法有()种。【解析】将四棱锥转化为圆环染色问题，中间区域P 的染色方法有C=4 种；其余 4 个区14域还剩 3 种颜色可供选择，根据公式有(3-1)+(-1)4(3-1)=18 种。所以共有 184=72 种411.贺卡问题了解同寝室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有（）种?n！n该类问题公式(1)，也常用于取球时不取到属于自己的球。ii！i24！4!2!4!3!4!4!此题代入公式4(1)(1)2(1)(1)12 4 1 9i34i！i2十七、概率问题总体概率=满足条件的各种情况概率之和分布概率=满足条件的每个步骤概率之积某条件成立概率=总概率该条件不成立的概率1.互斥事件 A，B 分别发生的概率和P(AB)=P(A)P(B)n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A A A)=P(A)P(A)P(A)12n12n2.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B)n 个独立事件同时发生的概率P(A A A)=P(A)P(A)P(A)12n12n3.条件概率：事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为 P（A|B），读作“在 B 条件下 A 的概率”。P(A|B)=P(AB)/P(B)4.全概率公式 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.+P(Bn)P(A|Bn)=P(Bi)P(A|Bi)5.伯努利概率模型AA如果实验 A 有只有两个基本事件A 及，P(A)=p，P()=1-p(0p1)。每次实验中事件 A 发生的概率为 p，n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P(k)C P(1P)knknkn【例题】小王开车上班需经过4 个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为0.1、0.2、0.25、0.4，则他上班经过 4 个路口至少有一处遇到绿灯的概率是()。A.0.899B.0.988C.0.989D.0.998【解析】利用逆向思维，“至少有一次遇到绿灯”的反面情况就是“一次绿灯都遇不到”，第 11 页即“全遇到红灯”，而全遇到红灯的概率为0.10.20.250.4=0.002，所以答案是是10.002=0.998，因此选 D。十八.其他数量关系考点1.剪绳问题一根绳连续对折 n 次，从中剪 m 刀，则被剪成段数=2 m+1n2.握手问题：n 个人彼此握手，则总握手数N=n(n-1)/2该类问题思想：如直线交点问题，有以下分析：要产生最多交点时，每条直线必须与其他的直线都有交点；当有 n 条直线相交时，每条直线与其他的直线(n-1)个交点，共产生n(n-1)个交点，但是均重复一次，所以产生的交点数最多有n(n-1)/2【例题】某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的 2 个人握手，整个游戏一共握手152 次，请问这个班的同学有()人。A.16B.17C.18D.19【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形