王明慈 概率论与数理统计 第二版 习题解答 习题五.pdf
习题五1.设抽样得到样本观测值为：38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.6计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。10_110_2222110_2221_2211:(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5;101011()(38.240.5)(40.040.5)(40.640.5)2.1587;991()2.15874.66;91()10iiiiiiixxsxxsxxxx=+=解102194.194.10iS=2.设抽样得到 100 个样本观测值如下：计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。解：由书上 127 页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：6_16_222216_22111(1 152 21 3 254 205 126 7)3.14;10010011()(1 3.14)15(63.14)72.1216;9999199()2.12162.1004.100100iiiiiiiiixxnsxxnxxn=+=+=3.略4.从总体中抽取容量为n的样本，设c为任意常数，k为任意正数，作变换1,nXX(),1,2,.iiYk Xc in=证明：（1）（2）其中及分别是的样本均值及样本;YXck=+222;yxSSk=X2xS1,nXX方差；及分别是的样本均值及样本方差。Y2yS1,nYY证明（1）由得11,niiXXn=()iiYk Xc=iiYXck=+11111()nniiiiYYXcYnccnkk nnk=+=+=+观测值ix123456频数课后答案网（2）()()()22211222221122211()11()nnyiiiinniixiiyxSYYk XckXkcnnkXkXkXXkSnnSSk=5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为及，设两组的样本均值分别为及，1n2n1X2X样本方差分别为及，把这两组样本合并为一组容量为的联合样本。21S22S12nn+证明：（1）.联合样本的样本均值；112212n Xn XXnn+=+（2）.联合样本的样本方差()()()()()2221212112221212121111n nXXnSnSSnnnnnn+=+证明：（1）1112221211221212,umumumumSn XSn XSSn Xn XXnnnn=+=+（2）1212221221112221112221112()()1()()1nniiiinniiiiXXXXSnnXXXXXXXXnn=+=+=+()()()()()()()111211112211111112211111221111()2()01niiniiiniiXXXXXXXXXXXXXXnXXnSnXX=+=+=+=+又课后答案网()()()()()()222221222222221122222211122222221111122222()12222niiXXXXnSnXXnXXnXXnXX XXnXX XXn Xn X Xn Xn Xn X Xn X=+=+=+=+同理而()()()()()1122122111122112212112222111222212121222n Xn XXnnn Xn Xn Xn Xn Xn Xn Xn Xn Xnnn Xnnnnnn+=+=+又化简得()()()()()()21212122221212112221212121111n nXXnnn nXXnSnSSnnnnnn=+=+6 设随 机 变 量X,Y,Z相互 独 立，都 服 从 标 准 正 态 分 布N.(0,1),求随 机 变 量 函 数的分布函数与概率密度；并验证5.4 定理 1 当k=3 时成立，即 U222UXYZ=+()23解：X,Y,Z 相互独立且都服从 N(0,1),则 U显然()23()3122321,0322,0uUUeufuPou不然，直接求 U 的分布函数课后答案网()()()()()()()()22222222222222232,0,010,2xyzuxyzuxyzxyzuP UuP XYZufx y z dxdydzfx fy fz dxdydzuP UuuP Uuedxdydz+=+=当当利用三重积分的性质（略）也可得到结论。7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：随机变量服从自由度为（1，k）2YX=的F分布。证明：X,则可将 X 记为N(0,1),V()t k,UXUVk=其中()2k则其中，V2221,UUVVkk=2U2()12()k由 F 分布的定义知 Y=F(1,k).28.设随机变量 X 服从自由度为的 F 分布，证明：随机变量服从自由度为()1,2kk1YX=的 F 分布；从而证明等式（5.33）：()1,2kk()()11,22,11FkkFkk=证明：X F,则 X 可写成()1,2kk()2112,UkUkVk其中()22,Vk其 中，由 F 分 布 定 义 知211,VkYUXk=()21Uk()22V课后答案网()()()()2,111,211,21111YF kkP XFkkPXFkk=()()()()()2,111,22,111,21,1P YP YFkkFkkFkkFkk=又()()11,22,11FkkFkk即9.设总体 X 服从正态分布()2,5N(1)从总体中抽取容量为 64 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于 1X的概率()1;P X（2）抽取样本容量 n 多大时，才能使概率达到 0.95？()1P X解：(1)()0,1XNn()()111P XPX=11555646464XP=88821555=2 0.9452 10.8904=(2)()()111P XPX=课后答案网nXnPn=210.95n=0.97551.969.8965nnnn=10.从正态总体 N中抽取容量为 10 的样本，()2,0.51210,XXX（1）已知，求的概率。0=10214iiX=（2）未知，求的概率。1021()2.85iiXX=解：(1)101022221111440.50.5iiiiPXPX=又（P133，定理 3）210.51021iiX=()210()()210160.10P=原式（2）101022221111()2.85()2.850.50.5iiiiPXXPXX=又（定理 4P133）102211()0.5iiXX=()29()()()()22911.41911.4PP=原式1 0.250.75=11.设总体，总体，从总体 X 中抽取容量为 10 的样本，()250,6XN()246,4YN从总体 Y 中抽取容量为 8 的样本，求下列概率：课后答案网（1）（2）()08PXY228.28xySPS解：（1）()()()()()0805046504685046PXYPXY=()()()22222205046504685046646464108108108XYP+有 136 定理 6 知，()()2250460,164108XYN+()225046445.65.664108XYP+原式4210.9095.6=（2）228.28xySPS222222468.2864xySPS=又由 P139，()2222610 1,8 14xySFS()()()()9,73.6819,73.681 0.050.95FF=（2）()12,10min,5PXXX解：（1）1()12,10max,10PXXX()12,10max,10PXXX()()()()()()121012101011010110,10,10110101081081()221110.84130.8224P XXXP XP XP XXP=课后答案网()()()()1210101101101015,5,511585811()22111.511.50.4991P XXXPP XXP=14.设总体 X 服从泊松分布，抽取样本，求：()P 1,nXX（1）样本均值的期望与方差；X（2）样本均值的概率分布。X解：（1）X()111221111,11nnniiiiiniiXXXnnnDXDXnnnn=（2）由泊松分布的可加性有：()()12nnYXXXPP n=+个，则YXn=()(),0,1,2,!ynynP XP Yyeyny=15.设总体 X 服从指数分布，抽取样本，求：()e 1,nXX（1）样本均值的期望与方差；X（2）样本方差的数学期望。2S解：（1）2111iiXXDXDXnn=课后答案网2212212211(2)()11()11)1niiniiniiSXXnXnXnXn Xn=()()22222222222222222112,11121111111iiiiDXXXXXDXXnnSnnnnn=+=+=+=+=课后答案网
