概率论与数理统计试卷分析.pdf

Aans-1杉达 国商、会计等 杉达 国商、会计等 专业 2006 专业 2006 级 专级 专 科 科 概率论与数理统计试卷 A 评析 得分得分 阅卷人阅卷人 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。）一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。）1.随意地投掷一均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为 8 的概率为 ()A、5/36 B、4/36 C、3/36 D、2/36【讲评】考点：古典概型，P(A)=A 的样本点数/的样本点数。本题：=(s,t)|s,t=1,2,3,4,5,6,|=36,A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，|A|=5,所以 P(A)=5/36 选 A。2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=2x 0 xA 0 其他，则 A=()A、1/4 B、1/2 C、1 D、2【讲评】考点：随机变量的密度函数性质-+f(x)dx=1。本题 1=-+f(x)dx=0A2xdx=x2|0A=A2,A=1 选 C。3.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：PX=xi,Y=yj=1/12,i=1,2,3,4;yj=1,2,3，则 PX=x1=()A、1/4 B、1/3 C、1/2 D、1【讲评】考点：二维离散随机变量的联合分布律与边缘分布。X 的边缘分布列为 PX=xi=j=1 pij=pi*本题 PX=x1=PX=x1,Y=y1+PX=x1,Y=y2+PX=x1,Y=y3=1/12+1/12+1/12=1/4 选 A。4.设随机变量 X 满足：E(X2)=8，D(X)=4，EX0，则 EX=()A、1 B、2 C、3 D、4【讲评】考点：随机变量的数字特征的基本性质：D(X)=E(X2)-(EX)2.本题(EX)2=E(X2)-D(X)=8 4=4,EX=2 选 B。5.总体 XN(,1),为未知参数，X1,X2,X3为 X 的一个样本，下面 4 个关于的无偏估计量中最 有效的一个是 ()A、13X1+23X2 B、14X1+12X2+14X3 C、16X1+56X2 D、13X1+13X2+13X3【讲评】考点：线性无偏估计量中，方差最小的为组合系数全部相等的线性无偏估计量。本题 13X1+13X2+13X3因的组合系数全部为13，所以是最有效的。选 D。6.假设检验时，当样本容量一定时，缩小犯第类错误的概率，则犯第类错误的概率 ()A、变小 B、变大 C、不变 D、不确定【讲评】考点：假设检验时，犯第类错误的概率与犯第类错误的概率的关系。当样本容量一定时，犯第类错误的概率减少则犯第类错误的概率增大，反之犯第类错误的概率增大则犯第类错误的概率减少。本题：缩小犯第类错误的概率，则犯第类错误的概率增大。选 B。Aans-2 得分得分 阅卷人阅卷人 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。7.若事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.4，P(AB)=0.6，则 P(B),P(AB)=。【讲评】考点：事件的运算、互相独立事件与逆事件的概率的计算。加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),A 与 B 相互独立P(AB)=P(A)P(B),A 与B 也独立 本题 0.6=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+P(B)-0.4P(B)P(B)=1/3.因为 A 与B 也独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=0.42/3=4/15.填 1/3,4/15。8.若随机变量 X 服从泊松分布，且 PX=1=PX=2，则 PX=3=。【讲评】考点：泊松分布：XP()；分布律为 PX=k=kk!e-(k=0,1,2,3,)。本题 PX=1=PX=2 11!e-=22!e-=2.所以 PX=3=33!e-=43e-2.填 43e-2。9.设 XN(,2)，且概率密度 f(x)=1 6e-(x-2)26，则=，2=。【讲评】考点：正态分布 XN(,2)；密度函数 f(x)=1 2e-(x-)222 (-x+)本题 对照密度函数 f(x)=1 6e-(x-2)26 与公式 f(x)=1 2e-(x-)222 得到：=2,2=3.填 2，3。10.设随机变量 X 服从(1,3)上的均匀分布，则 P12X32=。【讲评】考点：均匀分布 XU(a,b)；密度函数 f(x)=1b-a axb 0 其他,已知密度函数求概率。本题 X 密度函数 f(x)=1/2 1x3 0 其他,P12X32=13/2f(x)dx=12x|13/2=14 .填 1/4。11.在三次独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 37/64，则事件 A 在一次试验中出现的概率为 。【讲评】考点：二项分布 XB(n,p)；分布律为 PX=k=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,n)本题 XB(3,p),所求的为 p。PX1=1-PX=0=1-C30p0(1-p)3=1 (1-p)3=37/64 (1-p)3=27/64 p=1/4 填 1/4 。12.设随机变量 X 服从二项分布 B(100,0.2)，则 EX=，E(2X+1)=。【讲评】考点：二项分布 XB(n,p)的数学期望 EX=np；期望算子的性质:E(aX+bY)=aEX+bEY。本题 XB(100,0.2),则 EX=np=1000.2=20.E(2X+1)=2EX+1=41.填 20,41 。得分得分 阅卷人阅卷人 三、计算题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）三、计算题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）13.甲袋中有三个白球，二个黑球，乙袋中装有一个白球，二个黑球。由甲袋中任取一球投入乙袋，Aans-3再从乙袋中任取一球。（1）求从乙袋中取出的是黑球的概率；（2）已知从乙袋中取出的是黑球，求从甲袋中放入乙袋也是黑球的概率。【讲评】考点：全概率公式。当事件 B 发生都是由另外一些事件 Aj发生而引起的，并且已知 Aj发生下 B 发生的条件概率，则要用全概率公式来计算。注意前提：A1,A2,An构成的一个分斥，全概率公式：P(B)=i=1n P(B|Ai)P(Ai)本题设事件 B 表示乙袋取出黑球，设事件 A1表示由甲袋取出白球，设事件 A2表示由甲袋取出黑球，由已知 P(A1)=3/5,P(A2)=2/5,P(B|A1)=2/4,P(B|A2)=3/4,(1)则从乙袋中取出的是黑球的概率为 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=3512+2534=35 .(2)所求的为 P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=2534/35=12?14.某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 2/3，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽，求（1）耗用子弹 X 的分布列；（2）EX。【讲评】考点：。离散型随机变量的分布列与期望。解：(1)设事件 Ak为第 k 次射击命中目标,k=1,2,3。设耗用子弹数为 X，则 X 的值为 1,2,3。PX=1=P(A1)=2/3,PX=2=P(A1 A2)=1/32/3=2/9,PX=3=P(A1 A2 A3A1 A2 A3)=2/27+1/27=1/9 则 X 的分布列为 X 1 2 3P 2/3 2/9 1/9.(2)EX=12/3+22/9+31/9=13/9?15.随机变量 X 服从1,3上的均匀分布，求 X 的分布函数。【讲评】考点：均匀分布的密度函数与分布函数。解：X 的密度函数 f(x)=1/2 1x3 0 其他,当 x1 时，F(x)=-xf(t)dt=-x0dt=0;当 1x3 时，F(x)=-xf(t)dt=-1+1x=-10dt+1x1/2dt=(x-1)/2;当 3x 时，F(x)=-xf(t)dt=-1+13+3x=-10dt+131/2 dt+3x0dt=1 ;所以 X 的分布函数为 F(x)=0 x3 .?16.已知随机变量 X 与 Y 的分布律分别为X -1 0 1P 1/3 1/2 1/6,Y 0 1P 1/2 1/2，且 PXY=0=1，求(1)(X,Y)的联合分布律；(2)X,Y 是否相互独立。【讲评】考点：二维的联合分布律，与独立的判别方法。解解:根据已知条件 PXY=0=1 PXY0=0 P(-1,1)=0,P(1,1)=0,再根据边缘分布得到 P(-1,0)=1/3,P(1,0)=1/6 同理得到 P(0,0)=0,P(0,1)=1/2,所以 X 和 Y 的联合分布为 XY 0 1 -1 1/3 0 0 0 1/2 1 1/6 0。因为 PX=1,Y=0=1/6,但 PX=1PY=0=(1/6)(1/2)=1/12，所以 X 与 Y 不独立。?Aans-417 随机变量 X 的分布律为X -1 0 1 2P 1/6 1/3 1/3 1/6，求 Y1=2X+1,Y2=X2的分布律。【讲评】考点：离散随机变量的函数的分布律。设离散型随机变量 X 的分布律为：X x1 x2 xk P p1 p2 pk ,则 X 的函数 Y=g(X)的分布律为：Y g(x1)g(x2)g(xk)P p1 p2 pk,当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。解解:因为 X -1 0 1 2Y1 -1 1 3 5Y2 1 0 1 4P 1/6 1/3 1/3 1/6，所以 Y1的分布律为：Y1 -1 1 3 5P 1/6 1/3 1/3 1/6，及 Y2的分布律为：Y2 0 1 4P 1/3 1/2 1/6?得分得分 阅卷人阅卷人 四、综合应用题（本大题共 3 小题，共 17 分）四、综合应用题（本大题共 3 小题，共 17 分）18.一批建筑用木柱，其中长度小于 3m 的概率为 0.2，现从这批木柱中任取 100 根，问其中至少有30 根长度小于 3m 的概率。(2.5)=0.9938.(6 分)【讲评】考点：二项分布与大数定理。棣莫弗棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理：设随机变量Yn(n=1,2,3,)服从参数为 n,p 的二项分布，即 YnB(n,p)，则对任意实数 x，恒有 limn PYn-npnpqx=(x)=-x12e-t22 dt ab12e-t22 dt,这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn作标准化后的随机变量Yn-npnpq的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。解解:设 100 根木柱中，长度小于 3m 的根数为 X，则 XB(n,p)，其中 n=100,p=0.2。EX=np=20,DX=np(1-p)=16.所求的为 PX30=1-PX30=1-PX-EXDX30-EXDX=1-PX-EXDX30-2016 1-(2.5)=1-0.9938=0.0062?19.总体 X 服从参数为的指数分布：f(x)=e-x x00 x0 为未知参数，X1,X2,Xn为样本，试求参数 的极大似然估计量。(5 分)【讲评】考点：极大似然估计量的求法。解解：似然函数 L=i=1n e-xi=ne-xi (xi0)两边取对数 lnL=nln-i=1n Xi 利用导数求驻点 dlnLdL=n1-i=1n Xi=0 解得 的最大似然估计量 L=n i=1n Xi=1 X?20.某校大二学生的概率统计成绩服从正态分布 N(,2)，从中任取 25 名学生的成绩，经计算得平均成绩X=72.2 分，样本标准差 S=8。求总体均值的置信水平为 95%的置信区间。(6 分)t0.025(24)=2.064,t0.05(24)=1.711,24=4.9.【讲评】考点：正态分布 N(,2)，2未知,用随机变量：T=X-s/n t(n-1)，对均值作区间估计。解：因为2未知,用随机变量：T=X-s/n t(n-1)n=25,X=72.2,S=8,=1-95%=0.05，双侧，查表 t0.025(24)=2.064,的置信度 95%置信上下限为 X t0.025(8)S/n=72.2 2.0648/25=72.2 3.3024 的置信度 95%置信区间为(68.8976,75.5024)?