北科大《材料力学》考点强化教程1.拉伸应力典型习题解析.pdf

6轴向拉压应力与材料的力学性能轴向拉压应力与材料的力学性能 典型习题解析典型习题解析 1 图示直杆截面为正方形，边长 a=200 mm，杆长 L=4 m，F=10 kN，材料密度3m/kN20=.考虑杆的自重，计算 1-1 和 2-2 截面轴力，并画轴力图。解题分析：解题分析：杆的自重为体积力。当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和A-A 截面。解：解：1、计算 1-1 截面轴力：从 1-1 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为1NF，为压力（见图 b），则1NF应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大小为24aL，方向向下。于是由静力平衡条件=0yF 得 042N1=+aLF N800N/m 1020m2.0m2.04m44332N1=aLF 2、计算 2-2 截面轴力：从 2-2 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为N2F，为压力（见图 c），则N2F应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重和集中力F，杆段自重为243aL，方向向下。于是由静力平衡条件=0yF 得 FN1(c)(a)(b)题 1 图F A 2 A L/4 FN22 L/4L/4y F223L/4(d)12.4kN 13.2kN FN11.6kN 1.6kN 1 L/4L/41 1 1 0.8kN xBB 7kN 12.4N104.12N/m 1020m2.0m2.04m43N 10104333332N2=+=+=aLFF 3、计算集中力F作用截面上的轴力：首先将杆沿力F作用截面（B-B）上侧截开，设截面上轴力为压力+BFN，研究上半部分杆段。由于只受本身重量作用，所以由静力平衡条件得F作用截面上侧轴力为 kN 1.6N106.1N/m1020)m2.0(2m4233322N=+aLFB 然后将杆沿F作用截面（B-B）下侧截开，设截面上轴力为压力BFN，研究上半部分杆段。这时杆段受本身重量作用和集中力 F 作用，所以由静力平衡条件得F作用截面下侧轴力为 kN 11.6N106.11N1010N/m1020)m2.0(2m42333322N=+=+=FaLFB 4、计算 A-A 截面轴力：从 A-A 截面将杆截开，设截面上轴力为压力AFN，则AFN应与该杆上所有外力平衡。杆所受外力为杆的自重和集中力F，杆段自重为2La，方向向下。于是由静力平衡条件=0yF 得 kN 13.2N102.13N/m1020m2.0m2.0m4N 101033332N=+=+=LaFFA 5、画轴力图：在坐标轴上标出特殊截面（杆的顶截面、集中力 F 作用截面的上下侧和 A-A截面）处的轴力值，用直线连接即得轴力图（图 d）。讨论：讨论：（1）从轴力图看出，集中力作用的截面两侧轴力发生突变。突变值就是该集中力的大小。（2）计算各截面轴力时，得到的轴力均为正值，这只说明真实轴力的方向与事先的假设（本题均假设为压力）一致，并不意味着计算出的轴力为拉力。2 图示石柱桥墩，压力 F=1000 kN，石料密度3m/kN25=，许用应力=1 MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积。（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力）。解题分析：解题分析：设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。可以想象，在桥墩顶截面只有压力 F 作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力 F 外，还承受桥墩本身重量，该处轴力最大。当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。如果采用阶梯型石柱，需考虑每段的强度。如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。解：解：1、采用等截面石柱 8如图 a 所示，设石柱横截面面积为 A，长为 l，底部截面轴力最大，其值为 AlFF+=N 强度条件为 N+=+=lAFAAlFAF 于是得 233263m6.1m15N/m1025N/m101N101000=lFA 所用石料体积 321m24m15m6.1=AlV 2、采用三段等长度的阶梯石柱 结构如图 b 所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为11,lA，22,lA和33,lA。显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为 11N1lAFF+=,2211N2lAlAFF+=,332211N3lAlAlAFF+=由石柱的各段均应满足强度条件，于是得 23326311m14.1m5N/m1025N/m101N101000=lFA 2332623332112m31.1m5N/m1025N/m101m5m14.1N/m1025N101000=+=+=llAFA 233262332333322113m49.1m5N/m1025N/m101m5m31.1N/m1025m5m14.1N/m1025N101000=+=+=llAlAFA 所用石料体积为 322213212m7.19m5)m49.1m31.1m14.1()(=+=+=lAAAV 3、采用等强度石柱 5m dxx(a)(d)(c)(b)题 2 图 A(x)dx F FF5m 5m 15m 9所谓等强度石柱，即要求每一个横截面上的应力都等于许用应力。取 x 坐标如图c 所示，则根据等强度要求，有)()()(N=xAxFx 由于不同截面上轴力不同，因而横截面面积必须随 x 坐标变化才能满足上式。为确定横截面面积随 x 坐标的变化规律，在石柱中 x 处取 dx 微段，设微段上截面的面积为A(x)，则下截面的面积为 A(x)+dA(x)，微段石柱的受力情况如图 d 所示。考虑微段的静力平衡，有 xxAxAxAxAd)()()(d)(+=+xxAxAd)()(d=xxAxAd)()(d=设桥墩顶端截面(x=0)的面积为0A，对上式积分，得 x 截面的面积为 xAxA0exp)(=由于 22630m1N/m101N101000=FA 石柱下端截面积 2N/m101m15N/m102520m45.1expm1exp)(2633=lAlA 石柱的体积可由积分求得。也可用下面的简便方法求解：石柱下端截面的轴力GFlF+=)(N，式中 G 为石柱的自重，3VG=由石柱的下端截面强度条件得)(=+=lAGF FlAG=)(所以石柱体积为 3333263m18N/m1025N101000m45.1Pa101)(=FlAGV 三种情况下所需石料的体积比值为 2419.718，或 1.331.091。讨论：讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。3 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径mm20=d，许用应力MPa160=，BC杆为木材，截面为方形，边长mm60=a，许用应力MPa12c=。试计算此结构的许用载 10荷F。解题分析：解题分析：使各杆均满足强度条件的载荷即为许用载荷。首先计算 F 作用下各杆轴力，然后利用各杆的强度条件确定许用载荷F。两根杆确定出两个可能不同的F，取其中的小值即为结构的许用载荷。解：解：1、计算 AB 和 BC 两杆轴力ABFN,和BCF,N 取图示坐标系，并设 AB 杆受拉，BC 杆受压，则 B 点的静力平衡方程为 060sin30cos0,N,N=ABBCxFFF，得 BCABFF,N,N=0260cos30sin0,N,N=+=FFFFABBCy，得 FFFBCAB2,N,N=2、确定 AB 杆可以承担的载荷 N103.504m)10(20Pa10160232-36N=ABABAFF，kN25.15N1015.252N103.5033=F 3、确定 BC 杆可以承担的载荷 N102.43m)1060(Pa101223236cN=BCBCAFF，kN21.6N 106.212N 102.4333=F 两者取小值，所以结构的许用载荷F为 21.6 kN。4 两块钢板用直径mm20=d铆钉搭接。先采用两种搭接形式，分别如图a、图b所示。已知kN160=F，两板尺寸相同，厚度=10 mm，宽度mm120=b，铆钉和钢板材料相同，许用切应力=140 MPa，许用挤压应力MPa320bs=，许用拉应力t=160 MPa。试计算所需的铆钉数，并从强度角度比较两种搭接形式的优劣，校核板的拉伸强度。解题分析：解题分析：本题需要考虑下面强度问题：铆钉的剪切强度和挤压强度，钢板的拉伸强度。一方面，较多数目的铆钉可以提高铆钉强度，另一方面，较多铆钉数意味着较多铆钉孔，可能会降低钢板的拉伸强度。而铆钉孔对钢板拉伸强度的影响，表现在铆钉孔减小了钢板的横截面面积。可以想象，如果将几个铆钉孔沿横向排成一排，对钢板强度最为不利。所以铆钉孔排列方式，也影响到钢板强度。解：解：首先假设不论什么排列方式，各个铆钉承受相同的载荷。设所需铆钉数为 n，则每个题 3 图 y 60600FN,BCFN,AB F x F CAB 11铆钉所受剪力为 nFF=S，挤压力nFF=b。1、按剪切强度条件确定铆钉数：设铆钉横截面面积为A，则铆钉的剪切强度条件为 42S=dnFAF 于是得 64.3N/m10140m)1020N1016044262332=（dFn 2、按挤压强度条件确定铆钉数：挤压面面积dA=，铆钉挤压强度条件为 sbsbbbs=dnFAF 得5.2N/m10320m1020m1001N1016026333sb=dFn 两者取大值，最后确定铆钉数 n=4。3、钢板拉伸强度校核：分别按图 a 和图 b 排列方式，画出钢板轴力图如图示。按图 a 排列，1-1截面为危险截面，拉应力为 MPa200m1010m10202012N10160233311=）（）（dbFAF 所以，按图 a 方式排列铆钉时，不满足钢板拉伸强度要求。若按图b排列，则1-1截面的拉应力为 22F11FFFFFF F FN(a)F 1 1 F F3F/4Fx F/2 FN(b)F/4x题 4 图 12MPa160m1010m1020012N101603331111=）（）（dbFAF 2-2截面上的拉应力为 MPa150m1010m102020124N10160324343333222=）（）（dbFAF 所以，按图 b 方式排列铆钉时，满足钢板拉伸强度要求。比较两种排列方式，图 b 中的排列方式较合理，因为这种排列方式在轴力较大的截面配置较少的铆钉孔，在轴力较小的截面配置较多的铆钉孔，从而降低最大拉伸应力值。讨论：讨论：铆钉排列方式虽然对铆钉本身强度无影响，但却对钢板的拉伸强度影响较大。所以，在工程中，从被连接件的拉伸强度考虑，铆钉一般按菱形排列。