2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.2.2利用导数研究函数的最值课件新人教B版选修2_2.ppt

第2课时利用导数研究函数的最值【自我预习自我预习】1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的最值上的最值(1)(1)前提条件前提条件:在区间在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条_的曲线的曲线.连续不断连续不断(2)(2)结论结论:函数函数y=f(x)y=f(x)必有最大值和最小值必有最大值和最小值,若函数在若函数在(a,b)(a,b)是可导的是可导的,该函数的最值必在该函数的最值必在_或或_取得取得.极值点极值点区间端点区间端点2.2.求可导函数求可导函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在开区间在开区间(a,b)(a,b)内所有使内所有使_=0_=0的点的点.(2)(2)计算函数计算函数f(x)f(x)在区间内使在区间内使_=0_=0的所有点和端点的所有点和端点的函数值的函数值,其中最大的一个为其中最大的一个为_,_,最小的一个为最小的一个为_._.f(x)f(x)f(x)f(x)最大值最大值最小值最小值【思考思考】(1)(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗函数在闭区间上的极大值就是最大值吗?极小值就极小值就是最小值吗是最小值吗?提示提示:不一定不一定.函数在闭区间上的极大值不一定是最大函数在闭区间上的极大值不一定是最大值值,还要与端点处的函数值比较还要与端点处的函数值比较,最大的即最大值最大的即最大值;同理同理,闭区间上的极小值也不一定是最小值闭区间上的极小值也不一定是最小值.(2)(2)函数在区间函数在区间a,ba,b上的最值一定在端点处取得吗上的最值一定在端点处取得吗?提示提示:不一定不一定.还与函数在区间上的单调性、极值有关还与函数在区间上的单调性、极值有关.【自我总结自我总结】1.1.对函数最值的三点说明对函数最值的三点说明(1)(1)闭区间上的连续函数一定有最值闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续开区间内的连续函数不一定有最值函数不一定有最值.若有唯一的极值若有唯一的极值,则此极值必是函则此极值必是函数的最值数的最值.(2)(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上连续上连续,是函数是函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上有最大值或最小值的充分而非必要条件上有最大值或最小值的充分而非必要条件.2.2.函数极值与最值的关系函数极值与最值的关系(1)(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数函数的最大值和最小值是一个整体性概念的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的的,函数的极值可以有多个函数的极值可以有多个,但最值只能有一个但最值只能有一个.(3)(3)极值只能在区间内取得极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值有极值的未必有最值,有最值的未必有极值有最值的未必有极值;极值有可极值有可能成为最值能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值最值不在端点处取得时必定是极值.3.“3.“在闭区间在闭区间a,ba,b上连续的函数上连续的函数f(x)f(x)必有最值必有最值”的含义的含义(1)(1)给定的区间必须是闭区间给定的区间必须是闭区间,f(x),f(x)在开区间上虽然在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值连续但不能保证有最大值或最小值.如如f(x)=f(x)=,x(0,1),f(x)x(0,1),f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)上连续上连续,但没有最大值但没有最大值和最小值和最小值(如图如图).).(2)(2)在闭区间上的每一点必须连续在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间即在闭区间上有间断点断点,也不能保证也不能保证f(x)f(x)有最大值和最小值有最大值和最小值,如图函数如图函数,在在闭区间闭区间a,ba,b上既无最大值上既无最大值,也无最小值也无最小值.【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)函数在其定义域内若有最值与极值函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便则其极大值便是最大值是最大值,极小值便是最小值极小值便是最小值.()(2)(2)闭区间上的连续函数一定有最值闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值也一定有极值.()(3)(3)若函数在其定义域上有最值若函数在其定义域上有最值,则一定有极值则一定有极值;反之反之,若有极值若有极值,则一定有最值则一定有最值.()(4)(4)若函数在给定区间上有最值若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大则有且仅有一个最大值值,一个最小值一个最小值,但若有极值但若有极值,则可有多个极值则可有多个极值.(.()提示提示:(1)(1).函数在其定义域内若有最值与极值函数在其定义域内若有最值与极值,则其则其极大值不一定是最大值极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值极小值不一定是最小值.(2)(2).闭区间上的连续的单调函数只有最值闭区间上的连续的单调函数只有最值,没有极值没有极值.(3)(3).若函数在其定义域上有最值若函数在其定义域上有最值,则不一定有极值则不一定有极值;反之反之,若有极值若有极值,则一定有最值则一定有最值.(4).(4).若函数在给定区间上有最值若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最则有且仅有一个最大值大值,一个最小值一个最小值,但若有极值但若有极值,则可有多个极值则可有多个极值.2.2.函数函数f(x)=f(x)=-4x+4-4x+4在在0,30,3上的最小值为上的最小值为()A.1A.1B.4B.4C.5C.5D.D.【解析解析】选选D.f(x)=xD.f(x)=x2 2-4,-4,令令f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=2,x=2,因为因为x0,3,x0,3,故故x=2,x=2,当当0 x20 x2时时,f(x)0,f(x)0,当当2x32x0,f(x)0,故当故当x=2x=2时时,函数取极小值函数取极小值,也是最小值也是最小值,f(x)f(x)极小值极小值=f(2)=f(2)=-8+4=-8+4=.3.3.函数函数f(x)=ef(x)=ex x-x(e-x(e为自然对数的底数为自然对数的底数)在区间在区间-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是_._.【解析解析】f(x)=ef(x)=ex x-1,-1,令令f(x)0,x-1,1,f(x)0,x-1,1,可得可得0 x1;0 x1;令令f(x)0,x-1,1,f(x)0,x-1,1,可得可得-1x0,-1x0,因为因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以所以f(-1)f(1),f(-1)0.f(x)0.所以所以f(x)f(x)在在x-1,1x-1,1上是增加的上是增加的.故故f(x)f(x)最小值最小值=f(-1)=-4,f(x)=f(-1)=-4,f(x)最大值最大值=f(1)=8.=f(1)=8.类型二含参数的最值问题类型二含参数的最值问题【典例典例】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-ax-ax2 2-a-a2 2x.x.求函数求函数f(x)f(x)在在0,0,+)+)上的最小值上的最小值.【思路导引思路导引】要求最小值先求导数要求最小值先求导数f(x),f(x),再令再令f(x)f(x)=0=0得极值点得极值点,然后再讨论然后再讨论f(x)f(x)在在0,+)0,+)上的单调性上的单调性.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ax-a-2ax-a2 2=(3x+a)(x-a),=(3x+a)(x-a),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x x1 1=-,x=-,x2 2=a.=a.当当a0a0时时,f(x),f(x)在在0,a)0,a)上单调递减上单调递减,在在(a,+)(a,+)上单调上单调递增递增.所以所以f(x)f(x)minmin=f(a)=-a=f(a)=-a3 3.当当a=0a=0时时,f(x)=3x,f(x)=3x2 20,f(x)0,f(x)在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增,所以所以f(x)f(x)minmin=f(0)=0.=f(0)=0.当当a0a0a0时时,f(x),f(x)minmin=-a=-a3 3;当当a=0a=0时时,f(x),f(x)minmin=0;=0;当当a0a0,a0,求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间-a,2a-a,2a上的最上的最值值.【解析解析】f(x)=(3x+a)(x-a)(a0),f(x)=(3x+a)(x-a)(a0),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x x1 1=-x=-m 时时,F(x),F(x)最小值最小值=.类型三与函数最值有关的综合问题类型三与函数最值有关的综合问题【典例典例】已知函数已知函数f(x)=-2xln x+xf(x)=-2xln x+x2 2-2ax+a-2ax+a2 2,其中其中a0.a0.(1)(1)设设g(x)g(x)是是f(x)f(x)的导函数的导函数,讨论讨论g(x)g(x)的单调性的单调性.(2)(2)证明证明:存在存在a(0,1),a(0,1),使得使得f(x)0f(x)0恒成立恒成立,且且f(x)=0f(x)=0在区间在区间(1,+)(1,+)内有唯一解内有唯一解.【解题探究解题探究】f(x)0f(x)0在区间在区间(1,+)(1,+)内恒成立内恒成立,应进行应进行怎样的转化怎样的转化?对于恒成立问题对于恒成立问题,求参数范围常用的方法求参数范围常用的方法是什么是什么?提示提示:一般转化为一般转化为f(x)f(x)minmin00恒成立恒成立;对于恒成立问题对于恒成立问题,求参数范围常用的方法是分离参数法求参数范围常用的方法是分离参数法.【解析解析】(1)(1)由已知由已知,函数的定义域为函数的定义域为(0,+),(0,+),所以所以g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a)g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a)所以所以g(x)=2-,g(x)=2-,当当x(0,1)x(0,1)时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增.(2)(2)由由f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得解得a=x-1-ln x.a=x-1-ln x.令令(x)=-2xln x+x(x)=-2xln x+x2 2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2 2=(1+ln x)=(1+ln x)2 2-2xln x,-2xln x,则则(1)=10,(1)=10,(e)=2(2-e)0.(e)=2(2-e)0.于是于是,存在存在x x0 0(1,e),(1,e),使得使得(x(x0 0)=0,)=0,令令a a0 0=x=x0 0-1-ln x-1-ln x0 0=u(x=u(x0 0),),其中其中u(x)=x-1-ln x(x1),u(x)=x-1-ln x(x1),由由u(x)=1-0u(x)=1-0知知,函数函数u(x)u(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调上单调递增递增.故故0=u(1)a0=u(1)a0 0=u(x=u(x0 0)u(e)=e-21,)u(e)=e-21,即即a a0 0(0,1),(0,1),当当a=aa=a0 0时时,有有f(xf(x0 0)=0,f(x)=0,f(x0 0)=)=(x(x0 0)=0,)=0,再由再由(1)(1)知知,f(x),f(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,当当x(1,xx(1,x0 0)时时,f(x)0,f(x)f(xf(x)f(x0 0)=0,)=0,当当x(xx(x0 0,+),+)时时,f(x)0,f(x)0,从而从而f(x)f(xf(x)f(x0 0)=0,)=0,又当又当x(0,1x(0,1时时,f(x)=(x-a,f(x)=(x-a0 0)2 2-2xln x0,-2xln x0,故故x(0,+)x(0,+)时时,f(x)0.,f(x)0.综上所述综上所述,存在存在a(0,1),a(0,1),使得使得f(x)0f(x)0恒成立恒成立,且且f(x)f(x)=0=0在区间在区间(1,+)(1,+)内有唯一解内有唯一解.【方法技巧方法技巧】分离参数求解不等式恒成立问题分离参数求解不等式恒成立问题【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=x(xf(x)=x(x2 2-a)(aR),g(x)=ln x.-a)(aR),g(x)=ln x.(1)(1)若若f(x)f(x)在在x=1x=1处取得极值处取得极值,求求f(x)f(x)的极大值的极大值.(2)(2)若在区间若在区间1,21,2上上f(x)f(x)的图象在的图象在g(x)g(x)图象的上方图象的上方(没有公共点没有公共点),),求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解题指南解题指南】利用利用f(x)f(x)在在x=1x=1处取得极值求出处取得极值求出a a值值,将将f(x)f(x)的图象在的图象在g(x)g(x)图象的上方转化为图象的上方转化为f(x)g(x)f(x)g(x)在在1,21,2上恒成立上恒成立,求求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-ax,f(x)=3x-ax,f(x)=3x2 2-a,-a,由由f(1)=0,f(1)=0,所以所以a=3,a=3,从而从而f(x)=3xf(x)=3x2 2-3=3(x+1)(x-1),-3=3(x+1)(x-1),所以所以f(x)f(x)在在(-,-1)(-,-1)上单调递增上单调递增,在在(-1,1)(-1,1)上单调递上单调递减减,在在(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增,所以所以f(x)f(x)极大值极大值=f(-1)=2.=f(-1)=2.(2)(2)由题意知由题意知f(x)g(x)f(x)g(x)在区间在区间1,21,2上恒成立上恒成立,即即x(xx(x2 2-a)ln x,-a)ln x,从而从而axa0,h(x)0,所以所以h(x)h(x)在在1,21,2上单调递增上单调递增,从而从而h(x)h(x)最小值最小值=h(1)=1,=h(1)=1,所以所以a1.a1.【易错误区案例易错误区案例】函数的最值函数的最值 【典例典例】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-ax-ax2 2+bx+5,+bx+5,在在x=-2x=-2和和x=x=处取得极值处取得极值.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在在 上的最值上的最值.【错解案例错解案例】(1)(1)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-ax-ax2 2+bx+5,+bx+5,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ax+b,-2ax+b,因为在因为在x=-2x=-2和和x=x=处取得极值处取得极值,所以所以 解得解得a=-2,b=-4.a=-2,b=-4.所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-4x+5.-4x+5.(2)(2)因为因为f(x)=3xf(x)=3x2 2+4x-4,+4x-4,所以由所以由f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=-2x=-2或或x=x=,所以所以f(x)f(x)在在-4,-2)-4,-2)上单调递增上单调递增,在在 上上单调递减单调递减,在在 上单调递增上单调递增.所以所以f(x)f(x)maxmax=f(-2)=13,=f(-2)=13,f(x)f(x)minmin=.错误错误原因原因防范措施防范措施没有比没有比较较端点端点值值和极和极值值的大小的大小,错错误误地地认为认为极极值值就就是最是最值值求区求区间间的端点的端点值值和极和极值值,并比并比较较大小大小,取最取最大的大的为为最大最大值值,最小的最小的为为最小最小值值.【正解正解】(1)(1)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-ax-ax2 2+bx+5,+bx+5,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ax+b,2ax+b,因为在因为在x=-2x=-2和和x=x=处取得极值处取得极值,所以所以 解得解得a=-2,b=-4.a=-2,b=-4.所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+2x+2x2 2-4x+5.-4x+5.(2)(2)因为因为f(x)=3xf(x)=3x2 2+4x-4,+4x-4,所以由所以由f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=-2x=-2或或x=,x=,所以所以f(x)f(x)在在-4,-2)-4,-2)上单调递增上单调递增,在在 上单上单调递减调递减,在在 上单调递增上单调递增.因为因为f(-4)=-11,f(-f(-4)=-11,f(-2)=13,2)=13,f(1)=4.,f(1)=4.所以所以f(x)f(x)maxmax=f(-2)=13,f(x)=f(-2)=13,f(x)minmin=f(-4)=-11.f(-4)=-11.【即时应用即时应用】设函数设函数f(x)=2xf(x)=2x3 3+3ax+3ax2 2+3bx+8c+3bx+8c在在x=1x=1及及x=2x=2时取得极值时取得极值.(1)(1)求求a,ba,b的值的值.(2)(2)若对任意的若对任意的x0,3,x0,3,都有都有f(x)cf(x)0,f(x),f(x)0,f(x)在在(0,1)(0,1)上为增函数上为增函数;当当x(1,2)x(1,2)时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)在在(2,3)(2,3)上为增函数上为增函数.所以所以x=1x=1时时,f(x),f(x)取得极大值取得极大值.又又f(1)=5+8c,f(0)=8c,f(2)=8c+4,f(3)=9+8c,f(1)=5+8c,f(0)=8c,f(2)=8c+4,f(3)=9+8c,故故x0,3x0,3时时,f(x),f(x)的最大值为的最大值为9+8c.9+8c.因为对任意因为对任意x0,3x0,3有有f(x)cf(x)c2 2恒成立恒成立,所以所以9+8cc9+8c0,-8c-90,得得c-1c9.c9.