2020版高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_2.ppt

1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用【自我预习自我预习】1.1.几个常用函数的导数几个常用函数的导数(1)(1)若若y=f(x)=C,y=f(x)=C,则则f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)若若y=f(x)=x,y=f(x)=x,则则f(x)=_.f(x)=_.(3)(3)若若y=f(x)=xy=f(x)=x2 2,则则f(x)=_.f(x)=_.0 01 12x2x(4)(4)若若y=f(x)=xy=f(x)=x3 3,则则f(x)=_.f(x)=_.(5)(5)若若y=f(x)=y=f(x)=,则则f(x)=_=_(x0).f(x)=_=_(x0).(6)(6)若若y=f(x)=y=f(x)=,则则f(x)=f(x)=_=_(x0).(x0).3x3x2 2-x-x-2-22.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=cy=cy=_y=_y=xy=xn n(nN(nN+)y=_,ny=_,n为为正整数正整数y=xy=x(x0,(x0,00且且Q)Q)y=_y=_ ,为为有理数有理数0 0nxnxn-1n-1xx-1-1y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)y=_y=_y=logy=loga ax(a0,a1,x0)x(a0,a1,x0)y=y=y=sin xy=sin xy=_y=_y=cos xy=cos xy=_y=_a ax xln aln acos xcos x-sin x-sin x【思考思考】(1)(1)任何函数都有导函数吗任何函数都有导函数吗?提示提示:不是不是,例如函数例如函数y=2x,x1,2,3,4y=2x,x1,2,3,4没有导函数没有导函数.(2)(2)函数函数f(x)=af(x)=a2 2的导函数是的导函数是f(x)=2af(x)=2a吗吗?提示提示:不是不是,因为函数因为函数f(x)=af(x)=a2 2是常数函数是常数函数,所以其导函所以其导函数为数为f(x)=0.f(x)=0.【自我总结自我总结】1.1.几个常见函数的导数的意义几个常见函数的导数的意义(1)(1)常数函数常数函数f(x)=c:f(x)=c:导数值为导数值为0,0,几何意义为函数在任几何意义为函数在任意点处的切线垂直于意点处的切线垂直于y y轴轴,斜率为斜率为0;0;当当y=cy=c表示路程关于表示路程关于时间的函数时时间的函数时,y=0,y=0可以解释为某物体的瞬时速度始可以解释为某物体的瞬时速度始终为终为0,0,即一直处于静止状态即一直处于静止状态.(2)(2)一次函数一次函数y=x:y=x:导数值为导数值为1,1,几何意义为函数在任意点几何意义为函数在任意点处的切线斜率为处的切线斜率为1,1,当当y=xy=x表示路程与时间的函数表示路程与时间的函数,则则y=1y=1可以解释为某物体做瞬时速度为可以解释为某物体做瞬时速度为1 1的匀速运动的匀速运动;一一般地般地,一次函数一次函数y=kx:y=kx:导数值导数值y=ky=k的几何意义为函数在的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为任意点处的切线斜率为k,|k|k,|k|越大越大,函数变化得越快函数变化得越快.(3)(3)二次函数二次函数f(x)=xf(x)=x2 2:导数导数y=2x,y=2x,几何意义为函数几何意义为函数y=xy=x2 2的图象上点的图象上点(x,y)(x,y)处的切线斜率为处的切线斜率为2x,2x,当当y=xy=x2 2表示表示路程关于时间的函数时路程关于时间的函数时,y=2x,y=2x表示在时刻表示在时刻x x的瞬时速的瞬时速度为度为2x.2x.(4)(4)反比例函数反比例函数f(x)=f(x)=:导数导数y=-y=-,几何意义为几何意义为函数函数y=y=的图象上点的图象上点(x,y)(x,y)处切线的斜率为处切线的斜率为-.2.2.关于几个基本初等函数导数公式的特点关于几个基本初等函数导数公式的特点(1)(1)幂函数幂函数f(x)=xf(x)=x中的中的可以由可以由Q Q*推广到任意实数推广到任意实数.(2)(2)正、余弦函数的导数可以记忆为正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换正余互换,(,(符号符号)正同余反正同余反”.(3)(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数对数.(4)(4)对数函数的导数等于对数函数的导数等于x x与底数的自然对数乘积的倒与底数的自然对数乘积的倒数数.(5)(5)注意区分幂函数注意区分幂函数f(x)=xf(x)=x与指数函数与指数函数f(x)=af(x)=ax x的导数的导数.【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(sinx)=-cos x.(1)(sinx)=-cos x.()(2)(2).()(3)(log(3)(log5 5x)=x)=.()(4)(lnx)=(4)(lnx)=.()提示提示:(1)(1).(sin x)=cos x.(sin x)=cos x.(2)(2).=(x.=(x-1-1)=-x)=-x-2-2=-.=-.(3)(3).(log.(log5 5x)=.x)=.(4).(4).2.2.若函数若函数f(x)=f(x)=,则则f(1)f(1)等于等于()A.0A.0B.-B.-C.C.D.1D.1【解析解析】选选C.C.因为因为f(x)=()=,f(x)=()=,所以所以f(1)=f(1)=.3.3.已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x,则则f(x)=(f(x)=()A.2A.2x x B.2 B.2x xln 2ln 2C.2C.2x x+ln2+ln2 D.D.【解析解析】选选B.B.由导数的计算公式由导数的计算公式(a(ax x)=a)=ax xln a,ln a,可知可知f(x)f(x)=2=2x xln 2.ln 2.4.f(x)=log4.f(x)=log3 3x,x,则则f(x)1f(x)1的解集为的解集为_._.【解析解析】f(x)=,f(x)=,因为函数定义域为因为函数定义域为(0,+),(0,+),故故f(x)1f(x)1时时,有有0 x .0 x .答案答案:类型一利用导数公式求函数的导数类型一利用导数公式求函数的导数【典例典例】1.1.下列函数求导运算正确的个数为下列函数求导运算正确的个数为()(3(3x x)=3)=3x xloglog3 3e;e;(log(log2 2x)=x)=;=x;=x;若若y=y=,则在则在x=3x=3处的导数为处的导数为-.A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.2.求下列函数的导数求下列函数的导数:【思路导引思路导引】1 1中的函数分别是指数函数、对数函数、中的函数分别是指数函数、对数函数、幂函数幂函数.2 2中的函数分别是幂函数、三角函数中的函数分别是幂函数、三角函数;需要化成分数指需要化成分数指数幂的形式、利用三角函数公式变换后求导数数幂的形式、利用三角函数公式变换后求导数.【解析解析】1.1.选选C.C.中中(3(3x x)=3)=3x xl ln 3;n 3;由导数公式知由导数公式知正确正确;中中 =x=x正确正确;中中y=xy=x-2-2,y=,y=-,-,故在故在x=3x=3处的导数为处的导数为-正确正确.2.(1)2.(1)因为因为y=xy=x-4-4,则则y=-4y=-4x x-5-5=-.=-.(2)(2)因为因为y=,y=,则则y=.y=.(3)(3)因为因为y=1-2siny=1-2sin2 2 =cos x,=cos x,则则y=-sin x.y=-sin x.【方法技巧方法技巧】求基本初等函数的导数求基本初等函数的导数(1)(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式式,则直接利用公式求导则直接利用公式求导.(2)(2)若给出的函数解析式不符合导数公式若给出的函数解析式不符合导数公式,则通过恒等则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成如根式要化成指数幂的形式求导指数幂的形式求导.【变式训练变式训练】求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=(1)y=.(2)y=.(2)y=.(3)y=.(3)y=.【解析解析】(1)y=.(1)y=.(2)y=.(2)y=.(3)y=(3)y=类型二导数公式的综合应用类型二导数公式的综合应用【典例典例】已知点已知点P(-1,1),P(-1,1),点点Q(2,4)Q(2,4)是曲线是曲线y=xy=x2 2上两点上两点,求与直线求与直线PQPQ平行的曲线平行的曲线y=xy=x2 2的切线方程的切线方程.【思路导引思路导引】求出直线求出直线PQPQ的斜率即所求切线的斜率的斜率即所求切线的斜率;设出切点后求导数设出切点后求导数,导数值等于斜率值导数值等于斜率值.【解析解析】因为因为y=(xy=(x2 2)=2x,)=2x,设切点为设切点为M(xM(x0 0,y,y0 0),),又因为又因为PQPQ的斜率为的斜率为k=1,k=1,而切线平行于而切线平行于PQ,PQ,所以所以k=2xk=2x0 0=1,=1,即即x x0 0=.=.所以切点为所以切点为M .M .所以所求切线方程为所以所求切线方程为y-=x-,y-=x-,即即4x-4y-1=0.4x-4y-1=0.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)是否存在与直线是否存在与直线PQPQ垂直的切线垂直的切线,若有若有,求求出切线方程出切线方程,若没有若没有,说明理由说明理由.【解析解析】假设存在与直线假设存在与直线PQPQ垂直的切线垂直的切线,因为因为PQPQ的斜率为的斜率为k=1,k=1,所以与所以与PQPQ垂直的切线斜率垂直的切线斜率k=-1,k=-1,设切点为设切点为(x(x1 1,y,y1 1),),由于由于y=2x,y=2x,所以所以2x2x1 1=-1,=-1,则则 切线方程为切线方程为 即即4x+4y+1=0.4x+4y+1=0.2.(2.(改变问法改变问法)已知条件不变已知条件不变,求求P P点处的切线方程点处的切线方程,Q,Q点点处的切线方程处的切线方程.【解析解析】由题意得曲线在由题意得曲线在x=-1x=-1处的切线斜率为处的切线斜率为-2,-2,则在则在P P点处的切线方程为点处的切线方程为y-1=-2(x+1),y-1=-2(x+1),即即2x+y+1=0.2x+y+1=0.曲线在曲线在Q Q点处的切线斜率点处的切线斜率:k=4,:k=4,Q Q点处切线方程为点处切线方程为y-4=4(x-2),y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0.4x-y-4=0.【方法技巧方法技巧】1.1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)(1)若已知点是切点若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点则在该点处的切线斜率就是该点处的导数处的导数.(2)(2)如果已知点不是切点如果已知点不是切点,则应先设出切点则应先设出切点,再借助两再借助两点连线的斜率公式进行求解点连线的斜率公式进行求解.2.2.求过点求过点P P与曲线相切的直线方程的三个步骤与曲线相切的直线方程的三个步骤【补偿训练补偿训练】曲线曲线y=ey=ex x在点在点A A处的切线与直线处的切线与直线x-y+3=0 x-y+3=0平行平行,则点则点A A的坐标为的坐标为()A.(-1,eA.(-1,e-1-1)B.(0,1)B.(0,1)C.(1,e)C.(1,e)D.(0,2)D.(0,2)【解析解析】选选B.B.直线斜率为直线斜率为1,1,设点设点A(xA(x0 0,y,y0 0),),因为因为y=ey=ex x,所以所以 =1,=1,则则x x0 0=0,y=0,y0 0=1,=1,得得A(0,1).A(0,1).【易错误区案例易错误区案例】求切点坐标求切点坐标【典例典例】过原点作曲线过原点作曲线y=ey=ex x的切线的切线,则切点的坐标为则切点的坐标为_._.【错解案例错解案例】设切点设切点P(xP(x0 0,y,y0 0),),则则 则则 则则y y0 0=x=x0 0,所以切点所以切点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,x,x0 0).).答案答案:(x(x0 0,x,x0 0)错误原因错误原因防范措施防范措施没有意识到切点也没有意识到切点也在曲线上在曲线上遇到需要设切点的情况遇到需要设切点的情况,要牢要牢记导数的几何意义以及切点记导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上既在切线上也在曲线上【正解正解】y=ey=ex x,设切点为设切点为(x(x0 0,y,y0 0),),则则y y0 0=,=,则切线方程为则切线方程为y-=(x-xy-=(x-x0 0),),由于原点在切线上由于原点在切线上,则则-=(-x-=(-x0 0)x x0 0=1,y=1,y0 0=e,=e,即切点为即切点为(1,e).(1,e).答案答案:(1,e)(1,e)【即时应用即时应用】过点过点P(1,1)P(1,1)能作曲线能作曲线y=xy=x3 3的几条切线的几条切线?【解析解析】P(1,1)P(1,1)在曲线在曲线y=xy=x3 3上上,若若P P为切点为切点,因为因为y=3xy=3x2 2,所以所以k=3,k=3,切线方程为切线方程为y-1=3(x-1),y-1=3(x-1),即即3x-y-3x-y-2=0.2=0.若若P P不是切点不是切点,则设切点为则设切点为Q(a,b),Q(a,b),则则k=3ak=3a2 2,b=ab=a3 3,3a,3a2 2=,=,解得解得2a2a2 2-a-1=0,-a-1=0,得得a=-,a=-,所以过所以过P(1,1)P(1,1)、Q Q 的直线也是曲线的直线也是曲线y=xy=x3 3的切的切线线.综上综上,过点过点P(1,1)P(1,1)能作曲线能作曲线y=xy=x3 3的的2 2条切线条切线.