2020版高中数学第二章变化率与导数2.4.2导数的乘法与除法法则课件北师大版选修2_2.ppt

4.2导数的乘法与除法法则导数的乘法与除法法则导数的乘法与除法法则乘乘 法法除除 法法f(x)g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)_(g(x)0)(g(x)0)特特别别地，当地，当g(x)=kg(x)=k时时，有有kf(x)=kf(x)=kf(x)kf(x)【思考思考】(1)(1)可否认为两个函数的积的导数等于它们导数的积？可否认为两个函数的积的导数等于它们导数的积？提示：提示：在两个函数积与商的导数运算中，不能认为在两个函数积与商的导数运算中，不能认为f(x)g(x)f(x)g(x)=f=f(x)g(x)g(x)(x)以及以及(2)(2)若两个函数的导数存在，那么这两个函数的和、差、若两个函数的导数存在，那么这两个函数的和、差、积、商积、商(商分母不为零商分母不为零)的导数是否存在？的导数是否存在？提示：提示：两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商商(商分母不为零商分母不为零)必存在；若两个函数的导数不存在，必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不一定不存在则它们的和、差、积、商不一定不存在.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)若若f(x)=xf(x)=x2 2sin xsin x，则，则f(x)=(xf(x)=(x2 2)(sin x)=2xsin x.(sin x)=2xsin x.()(2)“”(2)“”对任意的函数对任意的函数g(x)g(x)都成立都成立.()(3)f(x)g(x)=f(x)g(x).(3)f(x)g(x)=f(x)g(x).()提示提示：(1)(1).f.f(x)=(x(x)=(x2 2)sin x+xsin x+x2 2(sin x)(sin x)=2xsin x+x=2xsin x+x2 2cos x.cos x.(2)(2).“”.“”成立的条件是成立的条件是 f(x)f(x)，g(x)g(x)都有导数，且都有导数，且g(x)0.g(x)0.(3)(3).f(x)g(x).f(x)g(x)=f=f(x)g(x)+f(x)g(x)g(x)+f(x)g(x).(x).2.2.函数函数f(x)=(x+1)f(x)=(x+1)2 2(x-1)(x-1)在在x=1x=1处的导数等于处的导数等于()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选D.f(x)=(x+1)D.f(x)=(x+1)2 2(x-1)=x(x-1)=x3 3+x+x2 2-x-1-x-1，f(x)=3xf(x)=3x2 2+2x-1+2x-1，f(1)=3+2-1=4.f(1)=3+2-1=4.3.3.若函数若函数f(x)=axf(x)=ax4 4+bx+bx2 2+c+c满足满足f(1)=2f(1)=2，则，则f(-1)f(-1)等等于于()A.-1A.-1B.-2B.-2C.2C.2D.0D.0【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知f f(x)=4ax(x)=4ax3 3+2bx+2bx，又又f f(1)=2(1)=2，即，即f f(1)=4a+2b=2(1)=4a+2b=2，易知，易知f f(x)(x)为奇函为奇函数，故数，故f f(-1)=-f(-1)=-f(1)=-2.(1)=-2.类型一应用法则求导数类型一应用法则求导数【典例典例】求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)y=(1)y=(2)y=(2)y=(3)y=(3)y=(4)y=xsin x-(4)y=xsin x-【思维思维引引】应用乘法和除法法则求导数，较复杂的应用乘法和除法法则求导数，较复杂的函数需要对其先变形再求导数函数需要对其先变形再求导数.【解析解析】(1)(1)因为因为y=xy=x3 3+=x=x3 3+sin xx+sin xx-2-2，所以所以y y=3x=3x2 2-+cos xx-+cos xx-2-2+(-2x+(-2x-3-3)sin x)sin x=3x=3x2 2-(2)(2)因为因为y=y=所以所以y y=(4)y=(xsin x)-(4)y=(xsin x)-=sin x+xcos x-=sin x+xcos x-【内化内化悟悟】对于较复杂的函数，应该如何求其导数？对于较复杂的函数，应该如何求其导数？提示：提示：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量.【类题类题通通】应用导数运算法则求函数的导数的技巧应用导数运算法则求函数的导数的技巧(1)(1)化简：利用三角恒等变换简化求导过程化简：利用三角恒等变换简化求导过程.求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又减少出错这样既减少了计算量，又减少出错.(2)(2)变形：利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导变形：利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.(3)(3)展开：在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意展开：在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导再求导.提醒：一般来说，对同一函数求导，用积的形式求导提醒：一般来说，对同一函数求导，用积的形式求导比用商的形式简单比用商的形式简单.【习练习练破破】求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)y=(2)y=x(1)y=(2)y=x2 2cos x-.cos x-.【解析解析】(1)y(1)y=(2)y(2)y=2xcos x-x=2xcos x-x2 2sin x+.sin x+.【加练加练固固】求下列函数的导数：求下列函数的导数：【解析解析】先使用三角公式进行化简先使用三角公式进行化简，得，得 =x-sin x =x-sin x，所以所以类型二乘法、除法法则的简单应用类型二乘法、除法法则的简单应用【典例典例】已知曲线已知曲线y=y=，求曲线的切线斜率取得最，求曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程小值时的直线方程.【思维思维引引】根据导数的几何意义，利用导数的除法根据导数的几何意义，利用导数的除法法则求导数，即得切线的斜率，进而求其最小值和直法则求导数，即得切线的斜率，进而求其最小值和直线方程线方程.【解析解析】y y=因为因为e ex x00，所以，所以e ex x+=2(+=2(当且仅当当且仅当e ex x=，即即x=0 x=0时取等号时取等号)，则，则e ex x+24+24，故故y y=-(=-(当当x=0 x=0时取等号时取等号).).当当x=0 x=0时，曲线的切线斜率取得最小值，时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为此时切点的坐标为 切线的方程为切线的方程为y-=-(x-0)y-=-(x-0)，即，即x+4y-2=0.x+4y-2=0.【素养素养探探】利用导数求曲线的斜率，通常应用的数学核心素养是利用导数求曲线的斜率，通常应用的数学核心素养是数学运算，应用导数的乘法和除法法则时，要适当地数学运算，应用导数的乘法和除法法则时，要适当地对函数进行变形对函数进行变形.已知函数已知函数f(x)=f(x)=的图像在点的图像在点M(-1M(-1，f(-1)f(-1)处的切线处的切线方程为方程为x+2y+5=0.x+2y+5=0.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的解析式的解析式.【解析解析】由函数由函数f(x)f(x)的图像在点的图像在点M(-1M(-1，f(-1)f(-1)处的切处的切线方程为线方程为x+2y+5=0 x+2y+5=0，知，知-1+2f(-1)+5=0-1+2f(-1)+5=0，即，即f(-1)=-2f(-1)=-2，由切点为由切点为M M点得点得f f(-1)=-.(-1)=-.因为因为f f(x)=(x)=所以所以 即即 解得解得a=2a=2，b=3b=3或或a=-6a=-6，b=-1(b=-1(由由b+10b+10，故，故b=-1b=-1舍去舍去).).所以所求的函数解析式为所以所求的函数解析式为f(x)=.f(x)=.【类题类题通通】利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法(1)(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系这三个要素间的关系.(2)(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键问题的关键.【习练习练破破】设曲线设曲线y=y=在点在点 处的切线与直线处的切线与直线x+ay+1=0 x+ay+1=0垂直，则垂直，则a=_.a=_.【解析解析】y y=，当，当x=x=时，时，y y=直线直线x+ay+1=0 x+ay+1=0的斜率是的斜率是-(a0)-(a0)，由题意由题意-=-1-=-1，所以，所以a=1.a=1.答案：答案：1 1【加练加练固固】若曲线若曲线y=xln xy=xln x上点上点P P处的切线平行于直线处的切线平行于直线2x-y+1=02x-y+1=0，则点则点P P的坐标为的坐标为_._.【解析解析】设设P(xP(x0 0，y y0 0)，则，则y=xln xy=xln x在在x=xx=x0 0处的导数为处的导数为ln xln x0 0+1=2+1=2，所以，所以x x0 0=e=e，则，则y y0 0=e=e，则，则P P点坐标为点坐标为(e(e，e).e).答案：答案：(e(e，e)e)