2422切线长定理1.ppt
已知O及O外的一点P，PA与O相切于A点，连接OA、OP，如果将O沿直线OP翻折，存在一点与A点重合吗？根据圆的轴对称性，存在与根据圆的轴对称性，存在与A A点重合点重合的一点的一点B B，且落在圆上，连接，且落在圆上，连接OBOB，则，则它也是它也是o o的一条半径。的一条半径。OPAB你能发现你能发现OAOA与与PAPA，OBOB与与PBPB之间的关系吗？之间的关系吗？PA、PB所在的直线分别是o两条切线。经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。OPAB 切线和切线长是两个不同的概念，切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。别是圆外一点和切点，可以度量。OPABOPABM根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？1与2又有什么关系？12证明：PA、PB是o的两条切线，OAAP，OBBP又OA=OB，OP=OP，RtAOPRtBOP（HL）PA=PB，1=2 切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线切线长相等长相等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平分两条平分两条切切线线的夹角的夹角。OPAB切线长定理的拓展 BOPAEDF相等线段：AP=BP,AO=BO,AE=BE相等的弧：垂直关系：AOPA,AB OP,BO BPAF=BF 例例1 1 如图，已知如图，已知O O的半径为的半径为3cm.3cm.点点P P和圆和圆心心O O的距离为的距离为6cm6cm，经过点经过点P P有有O O的两条切的两条切线线PA PA、PB,PB,则切线长为则切线长为_cm_cm，这，这两条两条切线的夹角为切线的夹角为_，AOB_AOB_。APO。B60 120 形成性练习：形成性练习：点点P和圆心和圆心O的距离为的距离为6cm，过，过P有圆有圆O的两条切线的两条切线PA、PB。若半径为若半径为3cm,求切线长、切线夹角求切线长、切线夹角APB。若若APB=600，OP=6cm,求求 半径及半径及AP。若若AB=6cm,APB=600,求求OP.PABO拓展：拓展：如图，从如图，从O O外一点外一点P P作作O O的两条切线，的两条切线，分别切分别切O O于于A A、B B，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C作作O O的的切线分别交切线分别交PA PA、PBPB于于D D、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，则PDEPDE的周长为的周长为_；若；若PA=aPA=a，则，则PDEPDE的周长为的周长为_。（2 2）连结）连结OD OD、OEOE，若，若P=40 P=40，则，则DOE=_;DOE=_;若若P=P=k,k,DOEDOE=_=_ 度度。E OCBDPA42a70 70 例例2.已知：已知：P为圆为圆O外一点，外一点，PA，PB为圆为圆O的切线，的切线，A，B为切点，为切点，BC是是直径。直径。求证：求证：ACOP。PABOC。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）连结圆心和圆外一点（角平分线）（2）连结两切点（等腰三角形）连结两切点（等腰三角形）（1）分别连结圆心和切点（直角）分别连结圆心和切点（直角）思思 考考一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？呢？ABCABCDNMO三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点）（即三角形三条角平分线的交点）ACBOADCBOFE例题：如图，例题：如图，ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC、CACA、ABAB分别分别相切于点相切于点D D、E E、F F，且，且AB=9cm,BC=14cmAB=9cm,BC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求，求AFAF、BDBD、CECE的长。的长。x13xx13x9x9x在边长为在边长为3cm3cm，4cm4cm，5cm5cm的三角形的三角形的铁皮上剪下一个最大的圆，的铁皮上剪下一个最大的圆，求此圆的半径求此圆的半径ABDLMNPO圆的外切四边形的两组对边和相等。圆的外切四边形的两组对边和相等。已知：四边形已知：四边形ABCDABCD的边的边 ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和圆圆O O分别相切于分别相切于L L，M M，N N，P P。探索圆外切四边形边的关系。探索圆外切四边形边的关系。CBL=BM=wDN=DP=xAP=AL=yCN=CM=zABCD练习某梯形中位线为练习某梯形中位线为18cm,且梯形有且梯形有内切圆，求梯形周长。内切圆，求梯形周长。练练 习习 1如图，如图，ABC中，中，ABC=50，ACB=75，点，点O是是 O的内心，求的内心，求 BOC的度数。的度数。AOCB解：解：点点O是是 O的内心的内心 OBC=1/2ABC=25 OCB=1/2ACB=37.5 BOC=1802537.5 =117.5练练 习习 2ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r,ABC的周长为的周长为 l,求求ABC的面积。的面积。（提示：设内心为（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC。）。）OACBr解：连接解：连接OA、OB、OC，则则 S=AB r +AC r+BC r =(AB+AC+BC)r =l l rr rr rr r小结：（1）切线长定理。（2）连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线。oBCADE巩固性练习：1已知：如图，ABC 中，ABC=90 ，AB上一点O，以O为圆心的O交OA于E，切AC于D，AD2，AE1，求CD的长。3、如图，、如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点，(1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求求OB的长的长.OABCDE如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为6060的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？若量出角的顶点到切点的距离为？若量出角的顶点到切点的距离为10cm10cm，试求试求这个圆半径的近似值。这个圆半径的近似值。
