2.5--泊松方程和拉普拉斯要点.ppt

2.5 泊松方程和拉普拉斯方程 静电场的基本方程:线性、均匀、各向同性电介质积分无旋：有散微分本构关系：2/28/20231第二章 2.5 泊松方程和拉普拉斯方程：v 泊松方程：静电场为无旋场，故可引入一标量电位 来描述之。而将即（2-5-1）的泊松的泊松方程方程2/28/20232第二章 2.5v 拉普拉斯方程：若静电场中无电荷分布时，即 则泊松方程为：（2-5-2）的拉普拉斯方程v 拉普拉斯算符 ：标量算符2/28/20233第二章 2.5v 拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：2/28/20234第二章 2.5v 求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：给定电荷分布，求解其方程得若已知 2/28/20235第二章 2.5例：若半径为 a 的导体球面的电位为 ，球外无电荷，求空间的电位。解：显然，导体球的电荷分布在球面上，且呈球对称，故空间的电位也呈球对称，仅是r 的函数。取球坐标系。因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程球坐标系中即2/28/20236第二章 2.5而2/28/20237第二章 2.5 两平行板电极无限大，若其间无电荷分布，则板间电场强度均匀;而实际上板间充满密度为 的体电荷，由于体电荷只是 的函数，故电场强度也只是 的函数。例：两无限大平行板电极，板间距离为两无限大平行板电极，板间距离为 ，电压为，电压为 ，并充满，并充满密度为密度为 的体电荷。求板间电场强度的体电荷。求板间电场强度 和极板面上的电荷面密和极板面上的电荷面密度。如图。度。如图。解：应用高斯通量定理求解。应用高斯通量定理求解。作一柱形闭合面为S，底面积为 ，下底在左极板内，上底在 处，侧柱面与 平行。02/28/20238第二章 2.5即又代入则12导体内的电场强度为零02/28/20239第二章 2.5 作一柱形闭合面为S，底面积为 ，下底在左极板内，上底在 极板内，侧柱面与 平行。闭合面上、下底处的电场强度为零，侧面的法向与电场强度的方向垂直。故则02/28/202310第二章 2.5例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。0解：泊松方程为0则2/28/202311第二章 2.5故92/28/202312第二章 2.5 运用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解静电场运用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解静电场的边值问题。所谓的边值问题。所谓“边值问题边值问题”，是指在一定的边界条，是指在一定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具体解法在第五章件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具体解法在第五章介绍。介绍。在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解，在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解，这些特殊情况包括：这些特殊情况包括：、求借电位、求借电位呈完全对称分布；呈完全对称分布；、无穷大边界面（如点电荷电场）、无穷大边界面（如点电荷电场）除上述情况外均须用其它方法求解。除上述情况外均须用其它方法求解。2/28/202313第二章 2.5