3.3.1几何概型.ppt

3.3.1几何概型几何概型2引例引例 思考：假设你家订了一份报纸思考：假设你家订了一份报纸,送报人可能送报人可能在早上在早上6:307:306:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:008:007:008:00之间之间,问问你父亲在离开家前能得到报纸你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概的概率是多少率是多少?问：问：1 1、能否用古典概型的公式来求解能否用古典概型的公式来求解?2 2、事件事件A A包含的基本事件有多少包含的基本事件有多少?为什么要学习几何概型为什么要学习几何概型?3 问题：图中有两个转盘问题：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游甲乙两人玩转盘游戏戏,规定当指针指向规定当指针指向B B区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获否则乙获胜胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?4 事实上事实上,甲获胜的概率与字母甲获胜的概率与字母B B所在扇形区域所在扇形区域的圆弧的的圆弧的长度有关长度有关,而与字母而与字母B B所在区域的所在区域的位位置无关置无关.因为转转盘时因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一指针指向圆弧上哪一点都是等可能的点都是等可能的.不管这些区域是相邻不管这些区域是相邻,还是还是不相邻不相邻,甲获胜的概率是不变的甲获胜的概率是不变的.5几何概型的概念几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的的长度长度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称这样的概率模则称这样的概率模型为几何概率模型型为几何概率模型,简称为简称为几何概型几何概型.几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事件)有有无限多个无限多个.(2)(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等.在几何概型中在几何概型中,事件事件A A的概率的计算公式如下的概率的计算公式如下:6解解:设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟.我们所关心的事件我们所关心的事件A A恰好是打开收音机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于50,6050,60时间段内时间段内,因此由因此由几何概型的求概率的公式得几何概型的求概率的公式得即即“等待的时间不超过等待的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为例例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开他打开收音机收音机,想听电台报时想听电台报时,求他等待的时间求他等待的时间不多于不多于1010分钟的概率分钟的概率.7例例2.2.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a8例例3.3.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上系一根拉直绳子,并在并在绳子上挂一盏灯绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m3m的概的概率率.解：记解：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”3m”为事件为事件A A，由于绳长由于绳长8m8m，当挂灯位置介于中，当挂灯位置介于中间间2m2m时，事件时，事件A A发生，于是发生，于是9例例4.4.在在1L1L高产小麦种子中混入了一些带麦锈病的高产小麦种子中混入了一些带麦锈病的种子种子,从中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的概率含有麦锈病种子的概率是多少是多少?10练一练练一练:1.1.如右图如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率分别计算它落到阴影部分的概率.112.2.在墙上挂着一块边长为在墙上挂着一块边长为16cm16cm的正方形木板，上面画了的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm2cm，4cm4cm，6cm6cm，某人站在，某人站在3m3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：有投中木板时都不算，可重投，问：投中大圆的概率是多少？投中大圆的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？练一练练一练:12130,1区间上均匀随机数的产生区间上均匀随机数的产生u用计算器产生均匀随机数的方法：用计算器产生均匀随机数的方法：随计算器的品种与型号的不同而不同，随计算器的品种与型号的不同而不同，需要查看相关的计算器的使用说明需要查看相关的计算器的使用说明1.1.在选定的起始单元格内键入在选定的起始单元格内键入“=rand()”“=rand()”2.2.拖动单元格右下端的手柄到需要的单元格，直到我拖动单元格右下端的手柄到需要的单元格，直到我们需要的个数为止们需要的个数为止u用用ExcelExcel软件产生均匀随机数的方法：软件产生均匀随机数的方法：14均匀随机数的产生均匀随机数的产生计算器计算器EXCEL软件内的软件内的rand()产生产生0,1内的均匀随机数内的均匀随机数x 问题问题1:如何产生如何产生1,2的随机数的随机数?问题问题2:如何产生如何产生0,2的随机数的随机数?问题问题3:如何产生如何产生-1,1的随机数的随机数?问题问题4:如何产生如何产生a,b的随机数的随机数?15需要注意的问题需要注意的问题vrand()产生的是0,1上的任意实数，而randbetween 产生的是从整数 到整数 的取整数值的随机数v以上两种方法不能直接产生 上的均匀 随机数，只能通过平移或伸缩变换得到：即如 是 上的均匀随机数，则 就是 上的均匀随机数16例例1.1.假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上6 6：30-30-7 7：3030之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是在早上间是在早上7 7：00-800-8：0000，问你父亲在离开家前能得到，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件报纸（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？分析分析：我们有两种方法计算：我们有两种方法计算该事件的概率：该事件的概率：(1)(1)利用几何概型的公式；利用几何概型的公式；(2)(2)用随机模拟的方法用随机模拟的方法解：方法一（几何概型法）解：方法一（几何概型法）设送报人送报纸的时间为 ，父亲离家的时间为 ，由题义可得父亲要想得到报纸，则 与 应该满足的条件为：想一想想一想：你能设计一个：你能设计一个随机模拟的方法来求它随机模拟的方法来求它的概率吗？的概率吗？17画出图像如右图所示，画出图像如右图所示，由题义可得符合几何概由题义可得符合几何概型的条件，所以由几何型的条件，所以由几何概型的知识可得：概型的知识可得：18方法二：方法二：（随机模拟法）随机模拟法）解：设解：设x x是报纸送到时间，是报纸送到时间，y y是父亲离家时间，则用是父亲离家时间，则用00，11区间上的均匀随机数可以表示为：区间上的均匀随机数可以表示为：设随机模拟的试验次数为设随机模拟的试验次数为a a，其中父亲得到报纸的次数，其中父亲得到报纸的次数为为n n（即为满足（即为满足yxyx的试验次数），则由古典概型的知的试验次数），则由古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，所以有：识可得，可以由频率近似的代替概率，所以有：p(A)=n/ap(A)=n/a19想一想想一想：你能设计一个随机模拟的你能设计一个随机模拟的方法来估计圆的面积吗？方法来估计圆的面积吗？例例2 2：在如右图所示的正方形盘：在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一把豆子，计算落子中随机的撒一把豆子，计算落在圆中得豆子数与落在正方形中在圆中得豆子数与落在正方形中的豆子数之比并依此估计圆周率的豆子数之比并依此估计圆周率的值。的值。分析分析1 1：由于每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，所以由于每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，所以每个区域中的豆子数近似的与该区域的面积成正比，即有：每个区域中的豆子数近似的与该区域的面积成正比，即有：22假设正方形的边长为假设正方形的边长为2 2，则有：，则有：由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的，所以由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了这样就得到了 的近似值。的近似值。23分析分析2 2：我们还可以用计算机模拟上述过程：我们还可以用计算机模拟上述过程,步骤如下：步骤如下：(2)经过平移和伸缩变换得到：(3)构造点 ，求出满足 的点 的个数 的个数 ，则可得：(1)产生两组各 个01区间的均匀随机数 .24例例3 3：利用随机模拟方法计算：利用随机模拟方法计算右图中阴影部分（由右图中阴影部分（由 和和 所围成的部分）的所围成的部分）的面积面积(3)(3)数出落在阴影内的样本点数数出落在阴影内的样本点数 ，用几何概型公式计算，用几何概型公式计算阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：(2)(2)进行平移和伸缩变换：进行平移和伸缩变换：(1)(1)利用计算机产生两组利用计算机产生两组0101区间的均匀随机数：区间的均匀随机数：做题步骤如下：做题步骤如下：251.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解.26271.1.在区间在区间1,31,3上任取一数上任取一数,则这个数大于则这个数大于1.51.5的概的概 率为率为 ()()A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 解析解析 因为在因为在1,31,3上任取一数是随机的上任取一数是随机的,故这个故这个 数大于数大于1.51.5的概率的概率D282.2.如图所示如图所示,边长为边长为2 2的正方形中有的正方形中有 一封闭曲线围成的阴影区域一封闭曲线围成的阴影区域,在正在正 方形中随机撒一粒豆子方形中随机撒一粒豆子,它落在阴它落在阴 影区域内的概率为影区域内的概率为 则阴影区域则阴影区域 的面积为的面积为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.无法计算无法计算 解析解析 由几何概型知由几何概型知,B293.3.某路公共汽车每某路公共汽车每5 5分钟发车一次，某乘客到乘车点分钟发车一次，某乘客到乘车点 的时刻是随机的的时刻是随机的,则他候车时间不超过则他候车时间不超过3 3分钟的概率分钟的概率 是是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 此题可以看成向区间此题可以看成向区间0,50,5内均匀投点内均匀投点,而而 且点落入且点落入0,30,3内的概率设为内的概率设为A A=某乘客候车时间某乘客候车时间 不超过不超过3 3分钟分钟.则则P P(A A)=)=A304.4.如图所示如图所示,A A是圆上固定的一点是圆上固定的一点,在圆在圆 上其它位置任取一点上其它位置任取一点A A,连接连接AAAA,它是一条弦它是一条弦,它的长度大于等于半径它的长度大于等于半径 长度的概率为长度的概率为 ()()A.B.A.B.C.D.C.D.31解析解析 如图所示如图所示,当当AAAA长度等于半长度等于半径时径时,A A位于位于B B或或C C点点,此时此时BOCBOC=120,120,则优弧则优弧 满足条件的概率为满足条件的概率为答案答案 B B325.5.如图所示如图所示,在直角坐标系内在直角坐标系内,射线射线 OTOT落在落在3030角的终边上角的终边上,任作一条任作一条 射线射线OAOA,则射线则射线OAOA落在落在yOTyOT内的内的 概率为概率为_._.解析解析 如题图如题图,因为射线因为射线OAOA在坐标系内是等可能分在坐标系内是等可能分 布的布的,则则OAOA落在落在yOTyOT内的概率为内的概率为33题型四题型四 可化为几何概型的概率问题可化为几何概型的概率问题 【例【例1】已知函数已知函数f f(x x)=)=x x2 2-2-2ax ax+b b2 2,a a,b bR R.(1)(1)若若a a从集合从集合0,1,2,30,1,2,3中任取一个元素中任取一个元素,b b从集合从集合 0,1,2 0,1,2中任取一个元素中任取一个元素,求方程求方程f f(x x)=0)=0有两个不相有两个不相 等实根的概率；等实根的概率；(2)(2)若若a a从区间从区间0,20,2中任取一个数中任取一个数,b b从区间从区间0,30,3中中 任取一个数任取一个数,求方程求方程f f(x x)=0)=0没有实根的概率没有实根的概率.解解 (1)(1)a a取集合取集合0,1,2,30,1,2,3中任一个元素中任一个元素,b b取集合取集合 0,1,2 0,1,2中任一个元素中任一个元素,34a a,b b的取值的情况有的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),(3,2),其中第一个数表示其中第一个数表示a a的取值的取值,第二个数表示第二个数表示b b的的取值取值,即基本事件总数为即基本事件总数为12.12.设设“方程方程f f(x x)=0)=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根”为事件为事件A A,当当a a0,0,b b00时时,方程方程f f(x x)=0)=0有两个不相等实根的有两个不相等实根的条件为条件为a a b b.当当a a b b时时,a a,b b取值的情况有取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(3,0),(3,1),(3,2),即即A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为6,6,方程方程f f(x x)=0)=0有两个不相等实根的概率有两个不相等实根的概率35(2)(2)a a从区间从区间0,20,2中任取一个数中任取一个数,b b从区间从区间0,30,3中任取一个数中任取一个数,则试则试验的全部结果构成区域验的全部结果构成区域 =(=(a a,b b)|)|00a a2,02,0b b3,3,这是一个矩形这是一个矩形区域区域,其面积其面积设设“方程方程f f(x x)=0)=0没有实根没有实根”为事件为事件B B,则事件则事件B B所构成所构成的区域为的区域为M M=(=(a a,b b)|0)|0a a2,02,0b b3,3,a a b b,即图中即图中阴影部分的梯形阴影部分的梯形,其面积其面积 由几何概型的概率计算公式可得方程由几何概型的概率计算公式可得方程f f(x x)=0)=0没有实根没有实根的概率的概率36 一、选择题一、选择题1.1.在长为在长为12 cm12 cm的线段的线段ABAB上任取一点上任取一点M M,并以线段并以线段AM AM 为边作正方形为边作正方形,则这个正方形的面积介于则这个正方形的面积介于36 cm36 cm2 2与与 81 cm 81 cm2 2之间的概率为之间的概率为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 面积为面积为36 cm36 cm2 2时时,边长边长AMAM=6,=6,面积为面积为81 cm81 cm2 2时时,边长边长AMAM=9,=9,A定时检测定时检测372.2.在面积为在面积为S S的的ABCABC的边的边ABAB上任取一点上任取一点P P,则则PBC PBC 的面积大于的面积大于 的概率是的概率是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由由ABCABC,PBCPBC有公共底边有公共底边BCBC,所以只需所以只需P P位位 于线段于线段BABA靠近靠近B B的四分之一分点的四分之一分点E E与与A A之间之间,这是一个这是一个 几何概型几何概型,C383.3.(2009(2009辽宁辽宁)ABCDABCD为长方形为长方形,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1,O O为为AB AB 的中点的中点,在长方形在长方形ABCDABCD内随机取一点内随机取一点,取到的点到取到的点到O O 的距离大于的距离大于1 1的概率为的概率为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 如图如图,要使图中点到要使图中点到O O的的 距离大于距离大于1,1,则该点需取在图中阴则该点需取在图中阴 影部分影部分,故概率为故概率为B394.4.(2009(2009山东山东)在区间在区间 上随机取一个上随机取一个 数数x x,cos,cos x x的值介于的值介于0 0到到 之间的概率为之间的概率为()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 A40二、填空题二、填空题 5.5.(2008(2008江苏江苏)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,设设D D是横是横 坐标与纵坐标的绝对值均不大于坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 2的点构成的区域的点构成的区域,E E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的点构成的区域的点构成的区域,向向D D中随中随 机投一点机投一点,则落入则落入E E中的概率为中的概率为_._.解析解析 如图所示如图所示,区域区域D D表示边长表示边长 为为4 4的正方形的内部的正方形的内部(含边界含边界),),区区 域域E E表示单位圆及其内部表示单位圆及其内部,416.6.已知函数已知函数f f(x x)=)=若若a a是从区间是从区间00，22上任取上任取 的一个数的一个数,b b是从区间是从区间0,20,2上任取的一个数上任取的一个数,则此函则此函 数在数在1,+)1,+)递增的概率为递增的概率为_._.解析解析 令令t t=axax2 2-bxbx+1,+1,函数函数f f(x x)在在1,+)1,+)上递增上递增,根根 据复合函数单调性的判断方法据复合函数单调性的判断方法,则则t t=axax2 2-bxbx+1+1须在须在 1,+)1,+)上递增上递增,42 由题意得由题意得 画出图示得画出图示得 阴影部分面积阴影部分面积.概率为概率为 答案答案 437.7.(2009(2009福建福建)点点A A为周长等于为周长等于3 3的圆周上的一个定的圆周上的一个定 点点.若在该圆周上随机取一点若在该圆周上随机取一点B B,则劣弧则劣弧 的长度小的长度小 于于1 1的概率为的概率为_._.解析解析 圆周上使弧圆周上使弧 的长度为的长度为1 1的点的点M M有两个有两个,设设 为为M M1 1,M M2 2,则过则过A A的圆弧的圆弧 的长度为的长度为2,2,B B点落在点落在 优弧优弧 上就能使劣弧上就能使劣弧 的长度小于的长度小于1,1,所以劣弧所以劣弧 的长度小于的长度小于1 1的概率为的概率为448.8.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的 正方体玩具正方体玩具,它的六个面中它的六个面中,有两个面标的数字是有两个面标的数字是0,0,两个面标的数字是两个面标的数字是2,2,两个面标的数字是两个面标的数字是4,4,将此玩具将此玩具 连续抛掷两次连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点以两次朝上一面的数字分别作为点P P 的横坐标和纵坐标的横坐标和纵坐标.(1)(1)求点求点P P落在区域落在区域C C：x x2 2+y y2 21010内的概率；内的概率；(2)(2)若以落在区域若以落在区域C C上的所有点为顶点作面积最大的上的所有点为顶点作面积最大的 多边形区域多边形区域M M,在区域在区域C C上随机撒一粒豆子上随机撒一粒豆子,求豆子落求豆子落 在区域在区域M M上的概率上的概率.45解解 (1)(1)以以0 0、2 2、4 4为横、纵坐标为横、纵坐标 的点的点P P共有共有(0,0)(0,0)、(0,2)(0,2)、(0,4)(0,4)、(2,0)(2,0)、(2,2)(2,2)、(2,4)(2,4)、(4,0)(4,0)、(4,2)(4,2)、(4,4)(4,4)共共9 9个个,而这些点中而这些点中,落在区域落在区域C C内的点有：内的点有：(0,0)(0,0)、(0,2)(0,2)、(2,0)(2,0)、(2,2)(2,2)共共4 4个个,所求概率为所求概率为 (2)(2)区域区域M M的面积为的面积为4,4,而区域而区域C C的面积为的面积为 所求概率为所求概率为 46谢谢！