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数据的分析 从总体中抽取样本，收集测定的数据，这些数据总是参差不齐的，即具有散差。我们需要对收集的数据进行整理和分析，然后才能对总体作出推测和判断。一、数据的种类 数据大体可以分为计量值和计数值二种。所谓计数值数据，是指 1，2，3，这种非连续性取值的数据，如一批产品的不合格品数，缺陷的个数以及工厂的事故发生件数等。把不合格数用全部产品所除得到的不合格率，仍是计数值。而计量值数据，是指一些可以连续取值的数据。如钢材的厚度、抗拉强度，零件的尺寸等测定值都属于计量值数据。计量值与计数值数据差别，决定了数据所反映的统计的性质不同，进而数据的处理方法也有变化。例如，计量数据属于连续概率分布，最典型的使正态分布；而计数值数据属于离散概率分布，最典型的是二项分布和泊松分布。二、数据的分布 即时在同样的条件下制造的产品，其质量都会有差别，故我们收集到的数据总是大小不等的，称这种数据的不均一性为具有散差。如果把数据控制在一定的范围哪，数据间的散差就会有某种规律性，我们称之为分布。可以构造频数分布来了解分布状态。们如下图所示，为某一个样本所反映的频数分布图。（相当于直方图）从两个图可以看出两个分布的不同，也很容易看出两个样本的差别，进而反映了总体的分布状况。三、数据分布的定量表示 上面的频数直方图，可以用来观察数据的大致离散情况即分布的形状，但是得不到数量方面的信息。特别是比较两个以上的分布时，尽管可以凭视觉观察出分布状态上的差异，却不能定量地求出他们的差别。如果能把分布状态的特性予以数量化，就便于比较。一般需要有表示数据整体即分布中心位置（中心趋向）和离散程度的尺度。前者可以用平均值，后者可以用标准偏差。有时，还需要从数量上表示分布状态的偏斜程度（可用偏斜度）以及表示分布峰顶的陡峭程度（可用陡度）1 中心位置的表示 表示中心位置的量有平均值、中位值、最多值、中值以及众数等。最常使用平均值。平均值：各个测定值的总和除以测定值的个数，称为平均值（算术平均值），用表示 X。计算分式为：中位值：将测定值按大小顺序排列，位居正中的那个数值称为中位值。若测定值的个数为奇数，则中位值为居于中央位置的那个数值；若测定值的个数为偶数，则中位值为中间两个数的平均值。中值 M：测定值的最大值和最小值的平均值，称为中值。2、散差的表示 1）极差（range）R 测定值的最大值和最小值之差为极差，用 R 表示。通常，当测定个数 n 小于 10的场合，用极差 R 表示离散程度；而当 n 大于 10 时，则用标准偏差 s 表示离散程度。2）偏差的平方和（sumofsquares）S 各个测定值与平均值之差称为偏差。各测定值的偏差的平方和称为偏差平方和，简称平方和，用 S 表示。设各个测定值与为 X1，X2，Xn，其平均值为：则：3）无偏方差（unbiasedvariance）S2 各个测定值的偏差平方和除以（n-1）后，所得到的值称为无偏方差（简称为差），用 S2表示，其中 n 为测定值个数，由 S 的计算公式可以得到 S2的公式为：方差的单位为测定值单位的平方。4）标准偏差（Standarddeviation）s 方差 S2的平方根称为标准偏差（简称标准差），s 表示，标准差 s 的单位与测定值的单位相同，标准差的公式为：附录：方差的含义 标准偏差是测量由于取样引起的估计的可变性。它指出样本估计的可变性，它可以从所有已知设计和规模的样本中获得。标准偏差用来测量从一组特定样本得到的数据的精确度。如果所有可能的样本都在类似的条件下接受调查，标准偏差在+到的范围内的概率分布包括了95%的样品的情况,这个区间被成作是95%置信区间.()Excel 的计算公式 1、平均值 nxxnxxxxxxxxsniniiniiniiinxx/)()()()()(21122122122221212)(111nixxnnSSinixxnnSSsi122)(111测定值 平均值=公式:=AVERAGE(B2:G2)AVERAGEA 也可以计算,不过包括逻辑值在内 2、偏差 测定值 偏差 公式:=DEVSQ(B8:F8)3、无偏方差 测定值 无偏方差 公式:=STDEV(B13:F13)*STDEV(B13:F13)4、标准偏差 测定值 标准偏差 公式:=STDEV(B18:G18)在统计过程中，可以应用各种工具，其中最常用的统计方法有检查表、层别法、直方图、帕累托图、特性要因图、管理图和散布图，统称为常用的七种工具。其中，控制图用来直接监控过程，是七种工具的核心。随着全面质量管理的进一步发展，于 20 世纪 70 年代又提出了质量管理的新七种工具，即关连图法、KJ 法、系统图法、PDPC 法（过程决策程序图法）、矩阵法、矩阵数据解析法及箭头图法。但新七种工具已不是统计质量控制的具体方法，只是组织实施、计划调度等所采用的一些简明有效的方法，它们的许多思路来源于运筹学系统工程，这里不作介绍。七种工具可分为三类：一、用来作整理和分析数据用的目的：检查表和分层法 二、普通的科学归纳分析方法：帕累托图和特性要因图 三、数据统计方法：直方图、管理图和散布图 层别法 一、分层的定义 层别即将很多的数据按照其所持有的特性进行层次划分。将数据以状况、原因分类进行分析的方法 二、分层的方法 1 按问题的发生状况分：1）不合格项目、缺陷内容 2）形状、长度、深度 3）发生位置、发生区域 4）天气、状态 2按可能有问题的原因分：通常可以根据层别获取比整体事件更多的分析结果。但由于某些层别的失败导致了错误的情报，所以在划分层别的时候必要使用工程技术方面的知识及经验，也要使用特性要因图，并要检讨其特性质及其同要因的关系，即运用特性要因图里的中骨、小骨的项目划分数据便得到较好的层别，在做层别的过程中，以下事件也是极其重要的：1）人的区别：在划分制造要因的层别时，通常也要根据实施人的区别进行层别。（从作业班分析）这样对作业管理、作业方法有益。另外，还可根据性别区分、年龄区分、经验区分。2）机械、装置的区别：在有几台相同机械的时候，可以根据每一台机械的数据进行判断不良原因是否因机械差异而产生，另外，像炉子这样的设备会因位置的不同而温度不同，所以在炉内的位置上考虑层别将会得到良好的效果。3）原材料区分：从供应者、前工程、批量、原材料的比例等方面考虑层别。4）时间区分：上午、下午、日期、季节 5）环境区分：温度、湿度、气候、环境状况 6）作业方法区分：作业的方法、作业条件、批量、测定方法。一个出色的层别应是将数据层别后，能清楚的将层间的区别表现出来 三、层别的手顺 手顺 1：明确层别的目的 手顺 2：决定特性值 手顺 3：决定层别的项目 手顺 4：取数据 手顺 5：将数据层别 手顺 6：追究错误的原因 手顺 7：采取对策 四、层别的实例 例：为查明不良原因 某汽车部件在生产过程中因折、弯曲所造成的不良多，将所出现的半成品图一 部品帕累托图020406080支架B托架底板其他0%20%40%60%80%100%图二 支架 B现象别帕累托图01020304050折断变形伤痕0%20%40%60%80%100%层别 n=54 不良按部品进行层别，将半成品不良中占不良比率的再按不良状况现象进行层别，然后将其中大的两项问题进行层别，如此反复试验就可查明不良原因 图三按发生场所再次层别（n=47 为前两项多发生性不良）场所现象 折断 变形 组装工程 32 11 搬运工程 0 4 按原因分的层别项目（1）按人按个人、年龄、工作年数、性别、组别（2）按机械设备按机种、号机、型式、新旧（3）按原料按生产厂家、购入地、产地、品牌、进货日期、接纳批量、成份（4）按方法按加工顺序、条件、温度、湿度、转速、力度、销售方式（5）按测量检查按测量器、测量者、测量方法、检查人员、检查方法（6）按工夹模具按夹具、工具、模具、安装工具、螺丝板（7）按零件按生产厂家、制造批量、接纳批量、包装（8）接流通按市场、顾客、销售形式（9）按组织按部门、小组、班组 分层时注意：（1）很好的观察分类问题的内容（2）数据记录用纸事先设计好，并且能够简单的将分层的数据记录 例题：上一节不良原因调查用检查表用层别方法可能得到几种结论 在调查服装品牌喜好和个人特性不同方面如何应用层别法呢 帕累托图 一、概述 工场内常常需处理不良品、灾害、故障、投诉等问题点，这些问题点按项目分类后会有 2-3 个项目占全体的大部分。帕累托图是针对这些问题点按现象、原因来分类，将数据按由大至小的顺序排列，以柱状图和累积曲线图作成 帕累托图是在不良对策中发现重要问题点的情况下使用。也就是说，不良损失额的大部分是由几个主要项目构成，残余的小部分则为多数的不良项目。其意义在于对前者的不良项目采取相应的对策并实施，能够有效的降低不良数或使成本大幅度的减低。二、帕累托图的作法 步骤 1 数据的收集 对于发现的不良、灾害、及错误等问题点收集数据，数据收集期间我们可以根据问题发生状况及性质来决定数据集计的周期，例如：以一个月、三个月（一年四次）为周期，也可以根据问题的具体情况每星期每星期的来收集。下表是某制品检查中所发现的不良数，期间是一个月，检查台数为 500 台。表一不良的数据 分类项目 件数 伤痕 涂装 镀层 变形 脏污 其他 13 18 7 2 31 3 合计 74 步骤 2 将数据根据原因及内容进行分类 原因可按材料、机械、作业者、作业方法分类；内容可按不良项目、场所、时间进行分类 步骤 3 根据分类项目来整理数据，并作成计算表 分类项目按数据多少由大到小排列，“其他”项目不论多大都是排在最后 表二计算表 分类项目 件数 累积件数 脏污 涂装 伤痕 镀层 变形 其他 31 18 13 7 2 3 31 49 62 69 71 74 合计 74 例如：到涂装位置的累积件数为（脏污）+（涂装）31+18=49 并且,最后项目的累积件数一定要等于总件数 步骤 4 图表中纵轴和横轴的作成 纵轴和横轴最好是一样长,并适当的决定刻度的间隔 纵轴:坐标终点应稍大于数据的合计数,并且恰当选择(凑整)横轴:按项目的数据多少从左至右依次排列,并在下面记入相应的项目名称 纵轴是记录件数、金额等特征值；横轴记录分类项目 下面是纵轴、横轴记录项目的具体举例：表三项目举例 项目 项目的具体内容 纵轴 品质 纳期 成本 安全 士气 不良率、不良数、修理数、投诉件数、欠点数、故障回数 纳期遵守率、纳期延迟日数、作业时间、工作效率、待工时间 损失金额、劳务费、办公经费 灾害件数、无灾害记录日数 出勤率、欠勤率、参加率、提案件数、发表件数、表彰件数 横轴 现象 机械、设备 作业者 作业方法 原材料 不良项目、欠点内容、不良位置 机械、设备机号、工夹具、计测器 男女、年龄、经验年数、所属部门 作业条件、一定时间内的作业量 批号、厂家、成分 月、周、季度、小时、午前、午后 时间 步骤 5 柱状图的作成 柱状图中“其他”项放置最右端，各项目之间无间隔。“其他”项不论它有多大，应放在最右端作为最后一个项目，并且作为检讨的对象 步骤 6 累积曲线的作成 累积的值在各个柱状图的右上部打点，然后用直线连接这些点，做出折线，折线的起始点为 0。折线即为帕累托图的累积曲线 步骤 7 累积比率的作成 在帕累托图的右侧作纵轴，与左侧轴相应的建立右纵轴的起点（0）、终点（100%），将 0-100%的长度进行等分，并记录刻度，例如：20%可以五等分，10%可以十等分。而即使数据比率的合计值超过 100%（累积为%，四舍五入的原因），但仍以 100%为准记录纵轴。终点（100%）的确定：从左侧纵轴的数据合计数点引出横轴平行线（即垂直与左侧纵轴），其必与左侧纵轴相交，即其相交点位右纵轴 100%点 数据的修约口决：“五下舍五上入，整五偶舍奇入”，即 4 以下舍去，6 以上入1 的原则，数字是五时，要看其前的数字而定，若是偶数则舍去，若是奇数则入 1。例：等分有以下两种方法（1）根据 0-100%的测量长度，然后进行等分；（2）从 0 点引辅助线 OA，以 1cm 为间隔，OA 画 10cm 长，辅助线 OA 十等分。将 A 点与右纵轴 100%点连结，以该线做出各等分点的平行线与右纵轴交并打点，这些点即为右纵轴的等分点。(辅助线及点须用铅笔画出，作完后应清除)下表举例说明通过计算求出各分类项目比率与累积比率值 分类项目 比率 累积比率 脏污 涂装 伤痕 镀层 变形 其他 96 合计 脏污不良的比率：脏污不良件数/总件数10031/74100=涂装不良比率:脏污不良件数/总件数10018/74100=涂装不良累积比率:脏污不良的比率+涂装不良的比率=+=检查台数期间:作成日:10 月 1 日 步骤 8 记入必要事项(1)帕累托图表表题在图表的下部记入(2)记入数据的收集时间(3)记入数据的合计值;例:件数 n=;金额=元(4)记入作成日期 三、帕累托图的应用有观察判断方法 帕累托图是针对不良损失金额、投诉件数、错误件数等问题点按原因、现象、工程、品种分类，并根据数据的大小顺序来进行排列的图表 图表可以告诉我们这样的一些信息：整体上观察不良及错误有多少 它们是怎样的顺序 根据以上两项，可以推测如果哪一项目降低多少，会给整体效果造成怎样的影响 因此，图表横轴的分类项目最好是按容易改善的原因分类，从记录数据时就考虑到这一点易取得明显的效果。另外，纵轴应尽量体现特征值（量化）。很多时候，金额与件数也可以放在一起一同检讨 例：（1）决定采取相应对策的顺序 在排列图上，通常将曲线的累积百分数分为三级，则相应的也就将因素分为三类：A 类因素：频率由 0-80%，这一区间影响产品质量的因素，是主要影响因素；B 类因素：频率由 80-90%，这一区间影响产品质量的因素，是次要影响因素；C 类因素：频率由 90-100%，这一区间的因素，是影响产品质量的一般因素。（2）通过图表确认报告、记录的改善效果（3）获取信息，调查不良故障的原因；（4）明确问题点的内容 例如：同样的不良，有些修理后 OK，有些降为二极品，有些废弃，因此，其损金的金额是不一样的，在这种情况下做成金额损失帕累托图将会使不良内容和其影响程度更加清楚明了。（5）帕累托图中柱状图的表示比较平坦，可以考虑改变纵轴、横轴的内容。从金额上发现不了问题，可以用件数表示，反之亦然。（6）帕累托图中“其他”项过高，可以重新考虑分类项目的内容 应用帕累托图确认改善前后的效果时，改善前及改善后的帕累托图应水平排列且站在同一水平线上，并注明改善取得的效果，以使图表易懂，观察直观。检查表 检查表用于多种目的，是一种预先设计的适当的规格用纸，以便于数据简单记录、提取及整理，且能够对检查、确认项目进行毫无遗漏的核对、检查。因此，设计合适的检查表可以将必要的数据整理归纳出来，收集情报并且有条不紊的对需检查确认的项目进行毫无遗漏的点检核对。利用检查表可以迅速地将繁琐数据记录在纸上，方便的知道问题是什么，缺陷集中在什么地方，另外在作直方图、帕累托图时也经常使用检查表。一、检查表的种类及使用 检查表按其使用的不同大致可分为：1 记录用检查表 记录用检查表是将数据以项目、位置等分类，并在其图表上记录数据或用记号等，能够一目了然的知道，记录完整后的数据大体集中在哪个项目上，是怎样分布的。记录用检查表又可分为如下：1）不良项目调查用检查表 用于调查何种不良项目属于多发。制品名 C2730 检查日期 2000101 工程 最终检查 检查者名 黎明 检查总数 C2420 批量番号 59A 种类 检查结果 小计 表面伤痕 nnn maxmax假定区间数数据最小值数据最大值XX2测定单位212测定单位2区间的上侧界限值区间的下侧界限值区间的中心值 uX X 区间数区间的境界值区间的中心值频数分布记号频数1169.5172.517112172.5175.517433175.5178.517774178.5181.5180155181.5184.5183206184.5187.5186237187.5190.5189188190.5193.519279193.5196.51954区间境界 管理图来分析工程是否处于稳定状态。其特点是用全数连续取样的方法来获得数据，通过分层等方法，找出不稳定的原因，采取相应的改善措施。管理用管理图。用来控制异常原因出现的管理图。其特点是在进行管理时，按规定的取样方式取样，通过测量和计算，在管理图上打点。当有点子出界或异常（须通过管理图点子的判断），说明工程质量不稳定，要找出原因，采取措施，消除异常因素的影响，使工程处于稳定的正常管理状态。管理用管理图常常应用在制造现场。目前公司各部门已对工程内需管理的质量特征值按作业标准书的要求广泛采用管理图用管理图来管理工程。按统计量分类，可分为计量管理图和计数值管理图。名称 记号 计量值 平均值与极差的管理图 管理图 中心值与极差的管理图 管理图 单值管理图 X 管理图 计数值 不良品率管理图 P 管理图 不良品个数管理图 Pn管理图 缺陷数目管理图 C 管理图 每单位的缺陷数目管理图 U 管理图 两类常用管理图简单汇总 管理图的种类 中心线 管理界限线 适用场合 平 均 值 和极 差 管 理图 平 均 值管理图 使用于管理将质量以长度、力度等计量表示的场合，得到大量的信息 极 差 管理图 不 良 率 管理图 P 管理图 群的大小不定时，用于将质量以不良率进行管理的场合 下面结合实例讲述平均值与极差管理图的作成方法：平均值用来分析和管理平均值的变化或群间的波动；极差图主要用来分析和管理群内散差的变化。三、管理图的作成方法 手顺 1：采集数据 手顺 2：决定群的数目 通常以 n=25 个左右分成一组，也有 10 个的情形。手顺 3：计算每群的平均值 手顺 4：计算每群的极差 R R=minmaxXX=（每群数据的最大值）（每群数据的最小值）手顺 5：计算总平均 即各群的极差的合计/群的数目 手顺 6：计算极差的平均值 即各群的极差的合计/群的数目 手顺 7：计算管理线 X管理图管理线 中心线：XCL 上部管理界限线：RAXUCL2 下部管理界限线：RAXUCL2 R 管理图管理线 中心线：RCL 上部管理界限线：RDUCL4 下部管理界限线：RDLCL3 R 管理图中，6n以下时，可不考虑下部管理界限线。管理图用系数表：手顺 8：画管理图 平均值管理图上点子打圆点，R 管理图上点子打点。凡是超出界限这均圈起来，以示区别。四、管理图上界定上下界限的原则 管理图中采用三倍标准偏差来确定控制界限，即“3”原则。其原理阐述如下：“3”范围几乎 100%描述了质量特征值的总体分布规律，“3”原则与无关，无论大小，在“3”内都包含了%的质量特征值。五、管理图的演变过程、原理及判断标准 详细资料请参阅添附资料。1、判异原则：1）点出界就判异(虽不是 100%正确,但有%的正确率)2）界内点排列不随机判异 点子屡屡接近控制界限 连续 3 个点中至少有 2 个点接近控制界限（常用）连续 7 个点中至少有 3 个点接近控制界限 连续 10 个点中至少有 4 个点接近控制界限 间断链（间断链指链中个别点子跳到另一侧 连续 11 点中至少 10 点在一侧 连续 14 点中至少 12 点在一侧 连续 16 点中至少 14 点在一侧 连续 20 点中至少 16 点在一侧 点子集中在中心线附近（造成此现象的可能性：弄虚作假；分层不够）点子作周期性变化(造成此现象的可能性:操作人员疲劳;原材料有问题)惫 2、判稳原则：1）连续 25 个点中界外点为 0 2）连续 35 个点中界外点为1（虽然稳态但仍要执行下列 26 个字）3）连续 100 个点中界外点为2 虽然稳态但仍要执行下列 26 个字）3、控制图的作用：及时告警。只是在描描点子是不可能起到作用的，只是劳民伤财。所以 26 个必需牢记：点出界就判异，量出异因，采取措施，保证消除，不再出现，纳入标准。六、管理图的操作步骤 详细资料请参阅添附资料。说明：由操作步骤可知实际作成时应先由 R 图做起，达到统计稳态后，再转入均值控制图，满足统计稳态和技术稳态的要求。七、控制图是如何贯彻预防原则 1）应用控制图对生产过程进行监控，一有异常发生即可在图上显示现来，立即检查并及时采取措施加以消除，避免了大量不合格品的出现，达到预防的作用 2）在现场控制图上点子超出控制界限显示异常的较多，此时一定要：查出真因、采取措施、保证消除、不再出现、纳入标准。这样每次循环，就可消除一个异因，达到一种新的状态这样就起到了预防的作用 另外，稳态是生产过程中追求的目标，因为在稳态下生产，对产品质量有完全的把握，产品质量特性值落在控制界限内的可能性是%,同时生产也是最经济的,所生产的不合格品最少 工程（工序）能力 产品质量受到生产过程状态的影响，而生产过程状态受到“5M1E”的影响，当“5M1E”受到完善的管理和控制时，通常已经消除了系统性的原因的影响，仅存在偶然性因素的影响。这时，可以用工序能力指数反映工序的实际加工能力。工序能力指数就是表示工序能力满足产品质量标准的程度的评价指标。而产品质量指标通常指产品规格、工艺规范、公差等。一、pC值的计算（1）双向公差要求时，当实际分布中心与公差中心重合时：（S 为标准偏差）（2）STTSTCLUp66（3）双向公差要求时，当实际分布中心与公差中心不重合时，要对pC进行修正，修正的工序能力指数记作pkC。（4）)1(6)1(kSTTkCCLUppk（5）其中，k 称为修正系数，且（6）2/Tk公差中心实际分布中心 （7）这里，实际分布中心是已知的，而2LUTT 公差中心（8）公差带LUTTT（9）单向公差要求时，有两种情况，一种只有上限要求，另一种只有下限要求。（10）SXTCUp3（11）STXCLp3 下面结合实例及管理图，讲述工程能力的具体求法。二、工程能力指数等级评价 等级 pC（或pkC）值 工程能力有无的判断 处置 S 级 pC 工程能力过分制品的变化幅度即使较充足 大也不用担心，考虑管理方法的简单化或低减成本的方法 A 级（上级）pC 工程能力足够 理想的状态,应维持 B级（中级）pC 工程能力刚好 实施工程管理,保持管理状态，pC值接近于1就会有不良品的产生，要采取对策进行处置 C 级（下级）pC 工程能力不足 发生不良品，有必要进行全数选别，有必要进行工程管理及改善 D 级（劣等）pC 工程能力严重不足 品质状态不满足，要实施品质改善,查明原因，作出必要的应急对策，并要再检讨规格 实践证明,工程能力指数不同，T 与标准偏差的关系不同，其相应的不合格率不同。工程能力指数 T 与标准偏差的关系不同，其相应的合格率也不同 pC T10 P%pC 10T8%P%pC 8T6%P%pC 6T4%P%pC T4 P%思考题：工程能力指数可以是负值吗请简述你的看法。散布图 散布图是用来表示一组成对的数据之间是否有相关性。这种成对的数据或许是特性-要因、特性-特性、要因-要因的关系。在我们的生活及工作中，许多现象和原因，有些呈规则形的关连，有些呈不规则形的关连。例如：物价的高低或消费支出水平有关连；油的粘度与温度的高低有关系；汽车的运转数与出力有关系；等等。我们要了解它，必须藉助统计方法来判断它们之间的关系。下面我们列出了 5种散布图，分别是：（1）正相关（回转数与出力）（2）负相关（有的粘度与温度）（3）不相关（气压与温度）（4）弱正相关（身高与体重）（5）弱负相关（温度与步伐）散布图的类型可见下列五图。散布图的绘制程序如下：1 收集资料（至少30 组以上）2 找出数据中的最大值和最小值。3 准备坐标纸，画出纵轴、横轴的刻度，计算组距。通常，纵轴代表结果，横轴代表原因。组距的计算应以数据中的最大值减最小值再除以所需社定的组数求得。4 将各组对应数标示在坐标上。5 须 填 上 资 料 的 收 集 地 点、时 间、测 定 方 法、制 作 者 等 项 目。12232.52.333.1（a)正相关3.53（相关性强）444.54.21.52.11.62.52.12.12.22.83.33.33.43.5回转数出力 练习：有一工件的加工数如下：请做控制图，并判定计算工程能力 群号 尺寸 平均值 极差 备注 NO X1 X2 X3 X4 X5 X R 1 38 30 38 14 24 2 30 25 30 30 25 3 18 13 25 26 28 4 25 25 25 25 27 5 23 27 27 27 23 6 30 20 24 25 29 7 20 25 30 26 23 8 29 28 30 35 30 9 22 18 22 25 25 10 25 38 22 15 18 11 29 28 20 18 28 12 18 20 18 28 28 13 24 22 23 15 19 14 20 22 27 23 25 15 22 23 29 31 22 16 22 25 30 26 18 17 20 29 30 25 22 18 38 25 24 30 35 19 20 27 22 30 30 20 27 35 31 22 22 合计 X R X 管理图 中心线：CL=X 上限管理界限：UCL=X+A2R 下限管理界限：LCL=X-A2R R 管理图 中心线：CL=R 上限管理界限：UCL=D4R 下限管理界限：LCL=D3R 标准偏差：=Rd2