2020年高考全国2卷理科数学带答案解析168.pdf

2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。112i12i A43i55 B43i55 C34i55 D34i55 2已知集合22(,)|3,Ax yxyxyZZ，则A中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 3函数2ee()xxf xx的图象大致为 4已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aab A4 B3 C2 D0 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx B3yx C22yx D32yx 6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB A4 2 B30 C29 D2 5 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 7 为计算11111123499100S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A1ii B2ii C3ii D4ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A112 B114 C115 D118 9在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22 10若()cossinf xxx在,a a是减函数，则a的最大值是 A4 B2 C34 D 11已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50 B0 C2 D50 12已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120FF P，则C的离心率为 A23 B12 C13 D14 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_ 14若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx则zxy的最大值为_ 15已知sincos1，cossin0，则sin()_ 开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi11TTi结束是否 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 16 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值 18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：30.413.5yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 20（12 分）2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 21（12 分）已知函数2()exf xax（1）若1a，证明：当0 x时，()1f x；（2）若()f x在(0,)只有一个零点，求a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xy（为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtyt（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f xxax（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x，求a的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2A 3B 4B 5A 6A PAOCBM 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题 132yx 149 1512 1640 2 三、解答题 17解：（1）设na的公差为d，由题意得13315ad 由17a 得d=2 所以na的通项公式为29nan（2）由（1）得228(4)16nSnnn 所以当n=4 时，nS取得最小值，最小值为 16 18解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5 19226.1y (亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 9917.59256.5y(亿元)（2）利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt 上下 这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型9917.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)yk xk 设1221(,),(,)AyxyxB，由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk 216160k，故122224kxkx 所以122244|(1)(1)xkABAFBFkx 由题设知22448kk，解得1k （舍去），1k 因此l的方程为1yx（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则 00220005,(1)(1)16.2yxyxx 解得003,2xy或0011,6.xy 因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy 20解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC 由222OPOBPB知POOB 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 由,OPOB OPAC知PO 平面ABC（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAP取平面PAC的法向量(2,0,0)OB 设(,2,0)(02)M aaa，则(,4,0)AMaa 设平面PAM的法向量为(,)x y zn 由0,0APAMnn得22 30(4)0yzaxa y，可取(3(4),3,)aaan，所以2222 3(4)cos,2 3(4)3aOBaaan由已知得3|cos,|2OBn 所以2222 3|4|3=22 3(4)3aaaa解得4a （舍去），43a 所以8 3 4 34(,)333 n又(0,2,2 3)PC，所以3cos,4PCn 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 21解：（1）当1a 时，()1f x 等价于2(1)e10 xx 设函数2()(1)e1xg xx，则22()(21)e(1)exxg xxxx 当1x 时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减 而(0)0g，故当0 x 时，()0g x，即()1f x （2）设函数2()1exh xax ()f x在(0,)只有一个零点当且仅当()h x在(0,)只有一个零点（i）当0a 时，()0h x，()h x没有零点；（ii）当0a 时，()(2)exh xax x 当(0,2)x时，()0h x；当(2,)x时，()0h x 所以()h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增 故24(2)1eah 是()h x在0,)的最小值 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 若(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)没有零点；若(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)只有一个零点；若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()h x在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0 x 时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa 故()h x在(2,4)a有一个零点，因此()h x在(0,)有两个零点 综上，()f x在(0,)只有一个零点时，2e4a 22 解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy 当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt 又由得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k 23解：（1）当1a 时，24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 可得()0f x 的解集为|23xx （2）()1f x 等价于|2|4xax 而|2|2|xaxa，且当2x 时等号成立故()1f x 等价于|2|4a 由|2|4a可得6a 或2a，所以a的取值范围是(,62,)21（12 分）已知函数2()exf xax（1）若1a，证明：当0 x 时，()1f x；（2）若()f x在(0,)只有一个零点，求a 解：（1）()e2xfxx，()e2xfx 当ln2x 时，()0fx，当ln2x 时，()0fx，所以()fx在(,ln2)单调递减，在(ln2,)单调递增，故()(ln 2)22ln 20fxf，()f x在(,)单调递增 因为0 x，所以()(0)1f xf（2）当0 x 时，设2e()xg xax，则2()()f xx g x，()f x在(0,)只有一个零点等价于()g x在(0,)只有一个零点 3e(2)()xxg xx，当02x时，()0g x，当2x 时，()0g x，所以()g x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增，故2e()(2)4g xga 若2e4a，则()0g x，()g x在(0,)没有零点 若2e4a，则()0g x，()g x在(0,)有唯一零点2x 若2e4a，因为(2)0g，由（1）知当0 x 时，2e1xx，22e1()1xg xaaxx，2020 年高考全国 2 卷理科数学带答案解析 故存在11(0,)(0,2)1xa，使1()0g x 4422ee(4)1616aagaaaaa 2exx，