2020届河北省武邑中学高三上学期期末考试数学(理)试题17.pdf

页 1 第 河北武邑中学 2019-2020学年高三上学期期末考试 数学理科试卷 试卷满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1 2020i ()A1 B1 Ci Di 2 设i为虚数单位，复数12ii的实部为（）A.2 B.-2 C.3 D.-3 3.若向量,)()3,(Rxxa，则“4x”是“5a”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中，在区间（0，）上单调递增的是（）A.B.C.xy21log D.5.已知)cos(2)2cos(，且31)tan(，则tan的值为（）.A 7.B 7.C 1 .D1 6.将函数 sin 20f xx 的图象向右平移4个单位长度后得到函数 sin 26g xx的图象，则函数 fx的一个单调减区间为()A 5,12 12 B 5,66 C 5,36 D 2,63 7.如图，在平行四边形ABCD中,11,33AEAB CFCD G为EF的中点，则DG（）页 2 第 A 1122ABAD B1122ADAB C.1133ABAD D1133ADAB 8.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A 3 B13 C.12 D2 9.公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以 O 为圆心的大圆直径为 4,以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A 384 B684 C.342 D642 10设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与椭圆在 x轴上方部分交于 M、N 两点，则|FMFNFA等于（）A 22aab B22aab C222aab D222aab 页 3 第 11.已知函数21181,2,log2)(21 xxxxfx，若)()(babfaf，则ab的最小值为 A.22 B.21 C.42 D.35 12.已知双曲线C：)0,0(12222babyax，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间.已知O为原点，且aOA35|，则|FCFA A.45 B.34 C.23 D.25 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡横线上。13.数列 na满足11,a 前n项和为nS，且),2(2*NnnaSnn，则 na的 通项公式na 14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足2121nnaa，所有的偶数项满足222nnaa；任意相邻的两项21na，2na满足21na2na.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1 2 3 4 5 6，“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（）若2(1)nnann，则数列 na “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15已知抛物线24Cyx：的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于A B,两点，若4AF，则AOB的面积为 16.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右顶点为A,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点,P Q.若60PAQ,且3OQOP（其中O为原点），则 双曲线C的离心率为 页 4 第 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 70 分 17.(本小题满分 12 分)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2(sincoscossin)sinACACA sinC.求证：a、b、c成等差数列；若7c，23C，求b和sin2B的值.18.（本小题满分 12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 99 站或第 100站时，游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为nP.（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望；（2）证明：)982(2111npppPnnnn；并求99P,100P的值.19.（本小题满分 12 分）如 图，在 三 棱 柱111 ABCABC中，侧 棱1AA 底 面ABC,底 面ABC是 正 三 角形,1111113,33ABAAAEAB C FAC(1)求证:1/AE平面BCF;(2)求直线1AA与平面BCF所成角的正弦值.页 5 第 20.(本小题满分 12 分)近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10 C的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25(1)请将下面的列联表补充完整;患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 25 女 20 合计 100(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X,求X的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中.nabcd 21.（本小题满分 12 分）已知函数 cossinxf xexxx，sin2xg xxe，其中e是自然对数的底数 （1）12,0,0,22xx，使得不等式12()()f xmg x成立，试求实数m的取 页 6 第 值范围；（2）若1x ，求证：()()0f xg x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点 M(2，4)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos ，（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且|MA|MB|40，求倾斜角 的值 23.选修 4-5:不等式选讲 （本小题满分10 分）已知函数 11xxxf（1）解不等式：2xf；（2）设函数 xf的最小值为m，若a，b均为正数，且mba41，求ba的最小值 页 7 第 高三数学参考答案 1-5 ABDCB 6-10 AADBA 11-12 BB 13.2,21,12nnann 14是；是 15(1 0),；433 16.72 17.解：（1）因为2 sincoscossinsinsinACACAC，所以2 s i ns i ns i nACAC.1分 由于在ABC中，+=A CB，所以s i ns i nACB，所以2sinsinsinBAC.3分 由正弦定理s i ns i ns i nabcABC，得2bac.所以,a b c成等差数列.5分（2）在ABC中，27,3cC，由余弦定理，得 222272cos3abab,即22+49abab.7分 由（1）知27ab，所以2227+2749bbbb，解得5b.9分 由正弦定理，得2sin5 33sin14bBc.在ABC中，因为于2=3C，所以0,2B，所以225 311cos1 sin11414BB.10 分 页 8 第 所以55 3sin22sincos98BBB.12 分 18.解：（1）81216,8321583214,812136,54,333233133XPCXPCXPXPX，可取 分布列如下：X 3 4 5 6 P 81 83 83 81 29816835834813EX.6 分（2）易知棋子先跳到第2n站，再掷出反面，其概率为212nP；棋子先跳到第1n站，再掷出正面，其概 率 为112nP，因 此 有1212nnnPPP，即11212nnnnPPPP，也 即982)(21-11nPPPPnnnn.故数列11nnPPn是首项为11nnPPn 1011122PP ，公比为12的等比数列.因此有 11101122nnnnnPPPP，由此得到 999899100111211122232P ，999899989921132,21PPP则又 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有10098991111232PP.12 分 19.解:(1)证明:在线段BC上取一点G.使13CGBC.连结.EG FG.在ABC中.因为11,33AEAB CGBC 所以22,33BEAB BGBC 所以23BEBGABBC 所以，/EGAC且23EGAC 因为111111,/3C FAC ACAC.页 9 第 所以111122/33AFACACAFAC且 所以1/EGAF且1EGAF 故四边形1A FGE为平行四边形,所以1/A EFG 又1AE 平面,BCF FG 平面BCF.所以1/AE平面BCF.(2)以B为坐标原点，,Bx BC BB所在直线分别为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC是正三角形，13.ABAAAE11.3ABC F 1113AC 所以点 3 50.0.0.0.3.0.,32()2BCF 则3 50.3.0.,322BCBF 设平面BCF的法向量为,nx y z.由,0,3,003 535,3302222n BCx y zn BFx y zxyz 页 10 第 令3z .得平面BCF的一个法向量为6.0.3.n 又10,0,3AA 设直线1AA与平面 BCF所成角的大小为.则0,0,36,0,313sin13339AA nAA n 所以直线1AA与平面BCF所成角的正弦值为1313 20.解：(1)列联表补充如下;患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 20 25 45 女 20 35 55 合计 40 60 100 2计2K算的观测值为 22n adbcKabcdacbd210020 3520 250.67342.70640 60 45 55 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)根据题意,X的值可能为0,1,2.则121512222020153180,119095CCP XP XCC2222012190CP XC 故X的分布列如下：X 0 1 2 P 153190 1895 1190 故X的数学期望：1531811012190951905E X 21.解：（1）由题意，12,0,0,22xx，使得不等式12()()f xmg x成立，等价于1 max2max()()f xmg x 1 分 (cossin)(sincos)()cos(1)sinxxxfxexxxxxexxex，当,02x 时，0fx，故()f x在区间0,2上单调递增，页 11 第 所以0 x 时，f x取得最大值 1即 max()1f x 3 分 又当0,2x时，cos2xgxxe，sin20 xgxxe 所以 gx在0,2上单调递减，所以 0120gxg，故 g x在区间0,2上单调递减，因此，0 x 时，max()(0)2g xg 所以12m，则 21m 实数m的取值范围是21,6 分（2）当1x 时，要证 0f xg x，只要证e cossinsin2e0 xxxxxx，即证ecos21 sinxxxx，由于cos20,10 xx，只要证esin1cos2xxxx 7 分 下面证明1x 时，不等式ecos1sin2xxxx成立 令 e11xh xxx，则 22e1ee11xxxxxh xxx，当1,0 x 时，0h x，h x单调递减；当0,x时，0h x，h x单调递增 所以当且仅当0 x 时，h x取最小值为 1 9 分 法一：sincos2xkx，则cos2sinkxkx，即sincos2xkxk，即22sin()1kxk，由三角函数的有界性，2211kk，即11k，所以max1k，而 min01h xh，但当0 x 时，010kh；0 x 时，1h xk 所以，maxminesin1cos2xxxx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当1x 时，0f xg x成立 12 分 法二：令sin()cos2xxx，其可看作点cos,sinAxx与点2,0B 连线的斜率k，所以直线AB的方程为：2yk x，由于点A在圆221xy上，所以直线AB与圆221xy相交或相切，当直线AB与圆221xy相切且切点在第二象限时，页 12 第 直线AB取得斜率k的最大值为1而当0 x 时，(0)010h；0 x 时，1h xk 所以，minmax()()h xx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当1x 时，0f xg x成立 12 分 法三：令sin()cos2xxx，则212cos()(cos2)xxx，当32,()4xkkN时，()x取得最大值 1，而 min01h xh，但当0 x 时，0010h；0 x 时，1h xk 所以，minmax()()h xx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当1x 时，0f xg x成立 12 分 22.解：（1）因为 l 的倾斜角为 ，l 过点 M(2，4)，所以直线 l 的参数方程是 x2tcos ，y4tsin(t 是参数)因为 sin2 2cos ，所以 2sin2 2 cos ，由 cos x，sin y 得曲线 C 的直角坐标方程是 y22x （5 分）（2）把 l 的参数方程代入 y22x，得 t2sin2 (2cos 8sin )t200 当(2cos 8sin )280sin2 时，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则|MA|MB|t1t2|20sin2 由20sin2 40，0 ，0，得 4 （10 分）23.【详解】（）或 或,不等式解集为.（）,又,当且仅当 即时取等号,所以.