多元函数微分法及其应用(IV).ppt

高 等 数 学 （二）广东水利电力职业技术学院 数学教学部张静华高等数学（二）第九章 多元函数微分法及其应用第十章 二重积分第十章 三重积分第十一章 曲线积分第十二章 无穷级数第十一章 曲面积分目录第一节第一节 多元函数基本的概念多元函数基本的概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法区域通常可用含有点的坐标区域通常可用含有点的坐标 的的一、多元函数的概念一、多元函数的概念第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 平面区域平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边包含边界的区域称为闭区域；界的区域称为闭区域；一片的图形。一片的图形。所分边界的区域称为半开区域。所分边界的区域称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，在平面上建立了直角坐标系后，一个或几个不等式来表示。一个或几个不等式来表示。xyo开区域（开圆）开区域（开圆）例如：例如：不包含边界的区域称为开区域；不包含边界的区域称为开区域；只包含部只包含部xyo闭区域（闭圆）闭区域（闭圆）xyo开区域开区域例1对于区域对于区域 D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使使 D 全部包含在这圆内，则称全部包含在这圆内，则称 D 为为有界区域有界区域，否则称为，否则称为无界区无界区xyo半开区域半开区域例2域域。邻域邻域设设是是 xOy 平面上的一点，平面上的一点，是某一正数，与点是某一正数，与点的距的距离小于离小于的点的点所成的集合，称为点所成的集合，称为点的的邻域，记作邻域，记作在几何上，在几何上，是是 xOy 平面上以点平面上以点为圆心，为圆心，为为半径的圆内的点所成的集合。半径的圆内的点所成的集合。x0yx0y 二元函数的概念二元函数的概念定义：定义：设设 D 是是 x O y 面上的一个点集，对任意的点面上的一个点集，对任意的点，变量变量 z 按照某个对应关系按照某个对应关系 f 总有唯一确定的数值与之对应，则称总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 是是 x，y 的二元函数，记为的二元函数，记为称称 x，y 为自变量，为自变量，z 为因变量，点集为因变量，点集 D 称为该函数的定义域，数称为该函数的定义域，数集集称为该函数的值域。称为该函数的值域。函数函数在点在点处的函数值，记为处的函数值，记为，二元函数定义域的求法二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数对由解析式给出的函数，它的定义域是使函数表，它的定义域是使函数表达式有意义的点达式有意义的点的全体，可用不等式或不等式组表示；的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。的范围。例例1：求下列函数的定义域并用图形表示：求下列函数的定义域并用图形表示 解：解：要使该函数的表达式有意义，必须有要使该函数的表达式有意义，必须有，即，即故所求函数的定义域是故所求函数的定义域是xyo2例1（1）解：解：要使该函数的表达式有意义，必须有要使该函数的表达式有意义，必须有xyo1212例1（2），即，即 解：解：定义域为定义域为xyo例1（3）例例2：二元函数二元函数，则，则；若若，则，则.例例3：设设，求，求解：解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对 f中的表达式作变量替换。中的表达式作变量替换。令令，则，则从而从而，所以，所以例例4：设设，求，求解：解：首先应首先应 求出函求出函 数数 表表 达达 式式求求 函函 数数 表表 达达 的另一个的另一个常用的方法常用的方法 是是 将等将等 号号 右右 边的表边的表 达达 式式 用用 f 中的中的 表表 达达 式式来来表示。表示。则则 二元函数的几何意义二元函数的几何意义设二元函数设二元函数的定义域为的定义域为 D，对，对，空间中的点，空间中的点构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数函数的图象。的图象。xyz0 xyMD二、二元函数的极限二、二元函数的极限定义：定义：在点在点的某一去心邻域内的某一去心邻域内有定义，有定义，是该邻域内的任意一点，是该邻域内的任意一点，沿任沿任意路径无限趋近于点意路径无限趋近于点时，时，无限地趋近于无限地趋近于一个确定的常数一个确定的常数 A，时，函数时，函数以以 A 为极限，记为为极限，记为或或注意：注意：定义中的点定义中的点时，是指点时，是指点 P 可可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于以沿任何方向、任何途径无限地趋近于，而一元函数极限中的，而一元函数极限中的是指是指 x 沿沿 x 轴无限趋近于轴无限趋近于；如果点如果点 P 只取只取 某某 些些 特殊方式特殊方式，函数，函数 值逼值逼 近近 某某 一一 确定值，确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点并不能断定函数的极限一定存在；而当点 P 沿不同方式趋于点沿不同方式趋于点时，函数值逼近不同的值，则极限时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。不存在。设函数设函数如果当点如果当点相应的函数值相应的函数值则称当则称当例例5：讨论二元函数讨论二元函数当当时的极限。时的极限。解：解：由于由于例5练习：练习：问问 是否存在？是否存在？练习解：解：因为因为所以所以 不存在。不存在。念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。叙述，仅在后面举例说明。说明三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义：定义：设二元函数设二元函数在点在点的某一邻域内的某一邻域内有定义，如果有定义，如果则称函数则称函数在点在点连续。连续。如果二元函数如果二元函数在区域在区域 D 上的每一点都连续，则称上的每一点都连续，则称函数函数在在 D 上连续。上连续。区域区域 D 上连续的二元函数的图象上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。是一张不间断、无裂缝的曲面。二元函数连续函数的性质二元函数连续函数的性质如果二元函数如果二元函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则该函上连续，则该函数在数在 D 上一定能取到最大值和最小值。上一定能取到最大值和最小值。由常数、由常数、x 或或 y 的基本初等函数，经过有限次的四则运算的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。四、求二元函数极限的常用方法四、求二元函数极限的常用方法：例：例6 利用二元初等函数的连续性利用二元初等函数的连续性例例6：求求解：解：函数函数 是初等函数，它的定义域是是初等函数，它的定义域是 R2，根据初等函数的连续性知，函数在点根据初等函数的连续性知，函数在点 处连续，因此处连续，因此 通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例例7：求求原式原式例例8：求求解：解：解：解：，原式，原式例7、8例例9：求求解：解：原式原式例9 若事先已肯定若事先已肯定在点在点 P0 处极限存在，则可使处极限存在，则可使P 沿一殊途径趋于沿一殊途径趋于 P0 而求出其极限。而求出其极限。例例10：（A）e （B）0 （C）y （D）1解：解：原式原式例10第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的概念及其计算一、偏导数的概念及其计算 偏导数的定义偏导数的定义设函数设函数在点在点的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，得到一个一元函数得到一个一元函数.若自变量若自变量 x 有增量有增量，相应地函，相应地函数数 z 有关于有关于 x 的增量（称为偏增量）的增量（称为偏增量）如果如果存在，存在，在点在点处对处对 x 的偏导数，的偏导数，或或等四式中的某一式。等四式中的某一式。固定固定则称此极限值为函数则称此极限值为函数记作记作偏导数的定义同理，函数同理，函数在点在点处对处对 y 的偏导数定义为的偏导数定义为记作记作或或偏导数的定义（续1）如果函数如果函数在区域在区域 D 内每一点内每一点处对处对 x 的偏导数的偏导数都存在，那么这样的偏导数是都存在，那么这样的偏导数是 x、y 的函数，称为函数的函数，称为函数对自变量对自变量 x 的偏导函数（简称偏导数），记作的偏导函数（简称偏导数），记作或或类似地可以定义函数类似地可以定义函数对自变量对自变量 y 的偏导数，记作的偏导数，记作或或显然，显然，偏导数的定义（续2）例例1：设设 求求例1解：解：练习（练习（2011专插本）专插本）设设 则则练习A.-1 B.0 C.1 D.2解：解：偏导数的求法偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数，并的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数不需要新的方法。对二元函数的某一个自变量（如的某一个自变量（如 x）求）求偏导数时，只要把另一个自变量（偏导数时，只要把另一个自变量（如如 y）看作常数）看作常数，而对该自变，而对该自变量量 x 用一元函数的求导方法求得结果。用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。例例2：求函数求函数在点在点处的偏导数。处的偏导数。解：解：因为因为所以所以例2例例3：设设，求，求分析：分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。数在一点的偏导数定义，求数在一点的偏导数定义，求，可以，可以 先先 把把 y 的的 值值 代代 入求得入求得，然后求，然后求关于关于 x 在在处的导数。处的导数。解：解：，则，则所以所以此外，由函此外，由函例例4：求函数求函数在点在点处的偏导数。处的偏导数。解：解：因为因为例4所以所以因为因为所以所以例例5：求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数.解：解：u例5（1）解：解：例5（2）解法一：解法一：例5（3）解法一解法二：解法二：例5（3）解法二解：解：例5（4）解：解：由由 ，得，得例5（5）例例6：设设 满足满足分析：分析：实质上这是一元函数的积分问题。当实质上这是一元函数的积分问题。当 y 任意给定时，求任意给定时，求例6求求就是就是 x 的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y 的任意函数，要由的任意函数，要由 定出这个任意函数。定出这个任意函数。解：解：将等式将等式 两边对两边对 x 求积分，得求积分，得例6（续）其中其中 为待定函数。为待定函数。由由 式，得式，得故故因此，因此，例例7：理想气体的状态方程为理想气体的状态方程为 P V=R T，其中，其中 R 为常数，求证：为常数，求证：证：证：由状态方程可得由状态方程可得从而从而故故注意：注意：对对 一元一元 函数函数 来说，来说，既可看作导数既可看作导数 的整的整 体记号，也可理体记号，也可理解为解为“微商微商”。但对二元函数而言，。但对二元函数而言，则只能看成整体则只能看成整体记号，不能理解为记号，不能理解为之商。之商。例7 偏导数存在与函数连续性偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。例如，函数例如，函数在点在点处两个偏导数均存在，处两个偏导数均存在，事实上事实上（见见7.1 例例5）偏导数存在与函数连续性（续）偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数又如，函数在点在点处是连续的（圆锥、无处是连续的（圆锥、无裂缝），裂缝），的偏导数不存在。的偏导数不存在。但在点但在点x o y z 偏导数的几何意义偏导数的几何意义x o y z y0 x0 设曲面的方程为设曲面的方程为 ，M0 是该曲面上的一是该曲面上的一点，过点点，过点 M0作平面作平面 ，截，截此平面得一条曲线，其方程此平面得一条曲线，其方程 为为则偏导数则偏导数 表示上述表示上述曲线在点曲线在点 M0 处的切线处的切线 M0Tx 对对x 轴正向的斜率。同理，偏导轴正向的斜率。同理，偏导数数 就是曲面被平面就是曲面被平面 所截得的曲线在点所截得的曲线在点 M0 处的处的的切线的切线 M0Ty 对对 y 轴正向的斜率。轴正向的斜率。Tx .Ty 例8例例8：求曲线求曲线 在点在点 处的切线与处的切线与 x 轴轴正向所成的倾角。正向所成的倾角。解：解：所给的曲线是曲面所给的曲线是曲面 与平面与平面 的交线，的交线，所以所以根据偏导数的几何意义，该曲线在点根据偏导数的几何意义，该曲线在点 处的切线关于处的切线关于x 轴的斜率为轴的斜率为二、高阶偏导数二、高阶偏导数在区域在区域 D 内具有偏导数内具有偏导数那么，在那么，在 D 内内都是都是 x、y 的函数。的函数。个函数的偏导数也个函数的偏导数也 存在，则称它们是函数存在，则称它们是函数的二阶偏的二阶偏、设函数设函数如果这两如果这两导数。导数。对不同自变量的对不同自变量的二阶偏导数，称二阶偏导数，称为为二阶混合偏导二阶混合偏导数。数。二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数二阶偏导数的记号类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至四阶直至 n 阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为为高阶偏导数。高阶偏导数。二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。元以上的函数。高阶偏导数例例9：求函数求函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。解：解：因为因为例9所以所以例例10：求函数求函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。解：解：因为因为例10所以所以定理从上例的解中可以看到，函数从上例的解中可以看到，函数 的两个混合的两个混合 偏导数偏导数 、虽然对虽然对 x 和和 y 的求导次序不同，但它们的求导次序不同，但它们是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数 是是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函对初等函 数数 的的 混混 合偏导数合偏导数 而言，一而言，一 般般 都都 是是 连续的，这是连续的，这是就与求导次序无关，因此有就与求导次序无关，因此有练习：练习：练习解：解：设设 设设练习（续）解：解：设设第三节第三节 全微分全微分一、全微分的概念一、全微分的概念（全增量）（全增量）二元函数的全增量二元函数的全增量设设，记，记，称为二元，称为二元函数函数的全增量。的全增量。x：x y：y z：设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，且的某个邻域内有定义，且 称函数称函数 在在 处可微，并称处可微，并称 为为 全微分的定义全微分的定义、存在。如果存在。如果函数函数 在点在点 处的全微分，记为处的全微分，记为 ，即，即全微分的定义，则，则由于由于 x、y 都是自变量，所以都是自变量，所以则则如果函数如果函数在区域在区域 D 内每一点处都可微，则称该函内每一点处都可微，则称该函数在区域数在区域 D 内可微。内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若如：若存在全微分，则有存在全微分，则有全微分的概念（续）例例1：求函数求函数 的全微分。的全微分。解：解：因为因为例1故所求的全微分故所求的全微分例2例例2：求函数求函数 在点在点 处的全微分。处的全微分。解：解：因为因为所以，所以，故所求全微分故所求全微分例3例例3：设设 ，求，求解：解：令令，则，则从而从而即即由由，得，得，从而，从而例3（续）由由，得，得所以，所以，例4例例4：已知已知 ，求，求 解：解：例例5：求函数求函数 在点在点 处，当处，当时的全增量及全微分的值时的全增量及全微分的值.解：解：全增量全增量x：2 2.02y：-1 -1.01z：f(2,-1)f(2.02,-1.01)例5全微分全微分误差误差二、可微、可导、连续的相互关系二、可微、可导、连续的相互关系在点在点连续连续在点在点可微可微在点在点连续连续在点在点处处均存在均存在关于二元函数的可微性有如下结果：关于二元函数的可微性有如下结果：设函数设函数，则，则（证明略）（证明略）例6例例6：考察函数考察函数 在点在点 处偏导数是否处偏导数是否存在？是否可微？存在？是否可微？解：解：因为因为所以，所以，同理，同理，即即 在点在点 处的两个偏导数存在。处的两个偏导数存在。而而因为因为所以函数所以函数 在点在点 处不可微。处不可微。例6（续）的偏导数在的偏导数在 的邻域内均存在，但在的邻域内均存在，但在 处它的偏导数处它的偏导数练习练习：练习：试证函数试证函数不连续，而函数不连续，而函数 却在却在 处可微。处可微。第四节第四节 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法定理：定理：设函数设函数复合而复合而，其复合关系图如下：，其复合关系图如下：若若都在点都在点具有对具有对 的偏导数，的偏导数，在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，函数函数点点的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：得复合函数得复合函数一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则则复合函数则复合函数 在在一、多元复合函数求导法则 设设，则，则是是 x 的一元函数。的一元函数。则则其复合关系图如下：其复合关系图如下：多元复合函数求导法则（续1）设由设由得复合函数得复合函数其复合关系图如下：其复合关系图如下：则则多元复合函数求导法则（续2）例例1：设设解：解：例1例例2：设设解：解：例2例例3：设设解：解：例3例例4：设函数设函数解：解：例4例例5：设设解：解：令令，则则例5例例6：设设解：解：例6例例7：设设 ，且，且 f 和和 g 具有一阶连续偏导具有一阶连续偏导例7数，求数，求解：解：例例8（2012广东专插本）广东专插本）设函数设函数 f(u)可微，且可微，且 ，则，则例8在点在点 处的全微分处的全微分 .解：解：令令，则，则例例9：设设，其中，其中为可导函数，证明：为可导函数，证明：证：证：令令，则，则例9例9（续）则则练习：练习：设设，其中，其中为可导函数，求为可导函数，求证：证：令令，则，则练习1例例10：设设 ，f 具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求和和解：解：令令 ，则，则其中，其中，仍是含有中间变量仍是含有中间变量 u 和和例10其中，其中，仍是含有中间变量仍是含有中间变量 u 和和v 的复合函数。其复合关系图：的复合函数。其复合关系图：将上式两边对将上式两边对 x 求偏导，并应用四则运算求导法则，得求偏导，并应用四则运算求导法则，得例10（续1）例10（续2）类似地可得类似地可得例10（续3）练习练习 设设解：解：令令则则练习2练习2（续1）练习2（续2）定一个可导隐函数定一个可导隐函数 ，则一元隐函数的求导公式为：，则一元隐函数的求导公式为：二、隐函数的求导公式二、隐函数的求导公式1、由方程、由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的求导公式的求导公式设函数设函数 可微，可微，由方程，由方程 确确一元隐函数求导公式的证明事实上，在方程事实上，在方程 的两边对的两边对 x 求全导数，得求全导数，得由于由于，则由上式可解出，则由上式可解出，即，即设函数设函数，则一元隐函数的求导公式为：，则一元隐函数的求导公式为：确定一个可导隐函数确定一个可导隐函数例例1：设设解：解：令令，则，则从而从而可微，可微，由方程，由方程例1例例2：设设 具有连续的偏导数，又函数具有连续的偏导数，又函数 及及分析：分析：复合关系图复合关系图例2分别由分别由 和和 确定，求确定，求解：解：首先首先（）下面分别求下面分别求 和和例2（续）由由 两边对两边对 x 求导，得求导，得又由又由 两边对两边对 x 求导，得求导，得把把 、代入（）式，得代入（）式，得设函数设函数 可微，可微，由方程由方程确确 定定 一一 个可求偏个可求偏 导数导数 的的 二二 元元 隐函数隐函数 ，则，则二元隐函数求导公式2、由方程、由方程 所确定的二元隐函数所确定的二元隐函数 的求导公式的求导公式例例3：设设解：解：令令，则，则例3由方程由方程 确定了函数确定了函数 ，则，则例例4（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）例4解：解：例例5：设设 有连续偏导数，且有连续偏导数，且 由方程由方程例5所确定，求所确定，求分析：分析：复合关系图复合关系图所以，所以，又又下面求下面求 和和例5（续1）设设，则，则从而从而则则所以所以例5（续2）第七节第七节 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值一、多元函数的极值一、多元函数的极值在点在点的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，对该邻域内异于对该邻域内异于的任意一点的任意一点，都有，都有则称则称为函数为函数的极大（的极大（小小）值，称点）值，称点为函为函数数 的的 极大（极大（小小）值）值 点点。函。函 数的数的 极大值极大值、极小值、极小值 统称为函统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。定义：定义：设函数设函数定理定理 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数 在点在点 处处具有偏导数，且在点具有偏导数，且在点 处有极值，则在该点的偏导数处有极值，则在该点的偏导数 必为零，即必为零，即定理1使二元函数的两个一阶偏导数同时为零的点叫做该函数的使二元函数的两个一阶偏导数同时为零的点叫做该函数的驻点。即若点驻点。即若点 为函数为函数 的驻点，则的驻点，则定理定理 2（充分条件）（充分条件）设设为函数为函数的驻点，的驻点，且在点且在点的某邻域内，的某邻域内，具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，若令若令，则，则 时，函数时，函数有极值，且有极值，且时，有极大值，时，有极大值，时，有极小值；时，有极小值；时，函数时，函数没有极值；没有极值；时，函数可能有极值，也可能没有极值。时，函数可能有极值，也可能没有极值。定理2例例1：求函数求函数 的极值。的极值。解：解：由由得驻点得驻点因为在点因为在点 处：处：所以，函数在点所以，函数在点 处没有极值。处没有极值。例1由由 又知，函数在点又知，函数在点 处有极大值，极大值为处有极大值，极大值为因为在点因为在点 处：处：所以，函数在点所以，函数在点 处有极值，且处有极值，且例1（续）二、多元函数的最值二、多元函数的最值在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大值和最小值，值和最小值，在闭区域的边界上取得。在闭区域的边界上取得。区域内部的点取得，区域内部的点取得，得，得，域域 D 上的最值的方法是：上的最值的方法是：函数在函数在 D 的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；最大（小）者就是二元函数在最大（小）者就是二元函数在 D 上的最大（小）值。上的最大（小）值。道函数道函数的最大值（最小值）一定在的最大值（最小值）一定在 D 的内部取得，的内部取得，在在 D 内只有一个驻点，内只有一个驻点，在在 D 上的最大值（最小值）。上的最大值（最小值）。法由于要求出法由于要求出在在 D 的边界上的最大值和最小值，所以往往的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知其最大值和最小值可能在闭区域内部取得，也可能其最大值和最小值可能在闭区域内部取得，也可能如果二元可微函数的最大值和最小值在如果二元可微函数的最大值和最小值在则该点必是函数的驻点；则该点必是函数的驻点；如果是在边界上取如果是在边界上取它一定也是边界上的最值点。它一定也是边界上的最值点。因此，求二元函数在有界闭区因此，求二元函数在有界闭区首先求出函数在首先求出函数在 D 内各驻点的函数值及内各驻点的函数值及其次比较这些值的大小，其次比较这些值的大小，但是这种做但是这种做而函数而函数那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数例例 2：要要 造造 一一 个容个容 积积 为为 3 2 m3 的无盖长方体水池，应该如何设计的无盖长方体水池，应该如何设计水池的尺寸，才能使水池的表面积最小。水池的尺寸，才能使水池的表面积最小。解解 设长方体水池的长、宽、高分别为设长方体水池的长、宽、高分别为 x、y、z，依题意，有依题意，有故故所以，无盖长方体水池的表面积为所以，无盖长方体水池的表面积为例2无盖长方体水池的表面积为无盖长方体水池的表面积为令令解得解得从而从而例2（续）根据题意可知，容积为根据题意可知，容积为 32 m3 的无盖长方体水池的表面积的的无盖长方体水池的表面积的最小值一定存在。又函数在开区域最小值一定存在。又函数在开区域 D：内只有唯一内只有唯一的驻点的驻点，因此可断定当，因此可断定当时，时，A 取得最小值，取得最小值，就是说，当水池的长为就是说，当水池的长为 4 m，宽为，宽为 4 m，高为，高为 2 m 时，水池的表时，水池的表面积最小。面积最小。例例 3：在曲面在曲面上求一点，使它到上求一点，使它到原点的距离最短。原点的距离最短。解：解：设点设点 P(x,y,z )，它到原点的距离为，它到原点的距离为 d，则，则又又，所以所以令令，得驻点，得驻点(0,0)（唯一）（唯一），从而，从而 z =1依依 题题 意知，曲面上意知，曲面上 必必 存存 在在 到到 原点原点 距离最距离最 近的点，近的点，或或故故 所求所求 的点为的点为例3结束知，如果函数知，如果函数 在点在点 可微分，那么可微分，那么 这函数在该这函数在该证明可微必连续在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由全微分的定义可存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由全微分的定义可点必定连续。点必定连续。，从而，从而，可，可得得因此函数因此函数 在点在点 处连续。处连续。事实上，由事实上，由