正弦定理、余弦定理应用举例基础练习-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

第六章6.4.3正弦定理、余弦定理应用举例基础练习-人教A版（2019）必修第二册学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1王之涣登鹳雀楼：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设为地球球心，人的初始位置为点，点是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，“欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，）A5800B6000C6600D700002在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（    ）ABCD3如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离（AB垂直于水平面），研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多，且，则（    ）ABCD4某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（    ）A20米B50米C200米D140米5如图，在中，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM若，则线段PM的最大值为（    ）A2.5BC3D46在中，若，则的面积的最大值为（    ）ABCD7如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，从点测得，已知山高，则山高（单位：）为（    ）ABCD8三角形的三边所对的角为，则下列说法不正确的是（    ）AB若面积为，则周长的最小值为12C当，时，D若，则面积为二、多选题9重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为基座（即在的正下方），在步行街上（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度的是（    ）ABCD10定义运算在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（    ）ABC角B的最大值为D若，则为钝角三角形11三角形的三边所对的角为，则下列说法正确的是（    ）AB若面积为，则周长的最小值为12C当，时，D若，则面积为12在中，所对的边为，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）ABC的最小值为D的最大值为三、填空题13已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为_14如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高_m.15如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高_.16据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_小时四、解答题17已知，如果定义(1)求的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，且，求18已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】设.由已知可推得，进而在中，得出，则有，即可得出答案.【详解】设，弧的长为.由题意可得，.显然，则在中，有，所以.所以，.所以，需要登上楼的层数约为.故选：C.2C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，即，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.3B【分析】设出，通过已知在中由余弦定理得出，过点C作，结合已知得出与即可得出答案.【详解】设，则，则在中由余弦定理可得：，解得：，则，过点C作，研究人员在距D研究所处的观测点C处测得山顶A的仰角为，山脚B的俯角为，则，则，则，故选：B.4D【分析】设山高，结合题意在三角形中求出，然后利用正弦定理即可求解.【详解】设山高，在中，在，所以，在中，所以，在中由正弦定理可得：，也即，所以，故选：.5C【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM的最大值.【详解】由题意，绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则设,则，故选：C.6A【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.【详解】依题意，不妨设，则，由余弦定理得，即，则，故，则，所以，又因为，故，当，即时，取得最大值，此时，能组成三角形所以，即.故选：A.7C【分析】分析出为等腰直角三角形，求出的长，在中，利用正弦定理可求得的长，然后在中可求得的长，即为所求.【详解】在中，因为，则为等腰直角三角形，故，在中，则，由正弦定理可得，在中，又因为，则.故选：C.8C【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】对于A，由，得，得，由正弦定理得，所以，因为，所以，故A说法正确；对于B，因为面积为，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的周长的最小值为.故B说法正确；对于C，当，时，由余弦定理得，所以，得，解得或（舍），故C说法不正确；对于D，若，由正弦定理得，得，所以面积为，因为，所以面积为.故D说法正确.故选：C9ABD【分析】根据正余弦定理的应用，依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，如图，根据，可利用正弦定理求得，从而求得，故A正确；对于选项，根据，利用正弦定理可求得，从而求得，故B正确；对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；对于D选项，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正确.故选：10ACD【分析】由新定义运算得，对于选项A：由正弦定理边化角后知正确；对于选项B：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正确；对于选项D：结合条件可得计算即可判断出为钝角.【详解】由可知，整理可知，由正弦定理可知，从而可知A正确；因为满足，但不满足，故B不正确；B错误；（当且仅当时取“=”），又，B的最大值为，故C正确；由可得，解得，又，从而可得为最大边，角A为钝角，故D正确故选：ACD11ABD【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.12ABD【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.【详解】设边上的高为，则，即，A正确；由余弦定理得：，又，B正确；，；，C错误，D正确.故选：ABD.13【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，因此，由余弦定理得，即有，当且仅当时取等号，从而，而，则，所以周长的取值范围为.故答案为：14600【分析】确定，在中，利用正弦定理计算得到答案.【详解】，则，,，故，在中，由正弦定理得，即，解得，则.故答案为：15【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，从而可求得的值【详解】在中，所以在中，从而，由正弦定理得，因此在中，得故答案为：16#【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案.【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置设台风移动小时后的位置为，则.又，在中，由余弦定理，得，由可得，整理可得，解得，又，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时故答案为：.17(1)，(2)【分析】（1）由辅助角公式化简函数，再由整体法求单调递增区间；（2）分别由余弦定理、正弦定理及和差公式，可建立三个角间的方程，进而解得.【详解】（1） ，由得的单调递增区间是，（2）由（1）知：，解得 ，由余弦定理得：，由正弦定理得：， ， ，在ABC中，解得：或，18(1)；(2)2【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案【详解】（1），所以要使有意义，只需，即，所以，解得所以函数的定义域为，由于，所以，所以函数的值域为；（2）由于，所以，因为，所以，所以即，由锐角可得，所以，由正弦定理可得，因为，所以所以，所以的最大值为2.答案第15页，共11页