曹培英讲座《数学课程标准解读》.ppt

跨跨 越越 断断 层层 走走 出出 误误 区区数学课程标准解读：数学课程标准解读：“十个核心词十个核心词”的实践研究的实践研究曹培英曹培英引言引言义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版）最大的改变：最大的改变：1.1.“双基双基”“四基四基”四基：四基：数学的基础知识、基本技能、基本思想、基数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验本活动经验 意味着：意味着：我国数学教育优良传统得到肯定我国数学教育优良传统得到肯定回归回归“结果结果”与与“过程过程”并重的理念并重的理念引言引言义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011年版）年版）最大的改变：最大的改变：2.2.“六个核心词六个核心词”“十个核心词十个核心词”小学算术小学算术(清末清末)：熟习日用计算：熟习日用计算(两个核心词两个核心词)小学数学小学数学(1978)(1978)：计算能力，初步的逻辑思维：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词四个核心词)义务教育数学义务教育数学(2001)(2001)：数感、符号感、空间观数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力念、统计观念、应用意识、推理能力 义务教育数学义务教育数学(2011)(2011)：数感、符号数感、符号意识意识、空间、空间观念、观念、几何直观几何直观、数据分析数据分析观念、观念、运算能力运算能力、推理、推理能力、能力、模型思想模型思想、应用意识、应用意识、创新意识创新意识一、数感一、数感 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。计等方面的感悟。计等方面的感悟。计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。或表述具体情境中的数量关系。已有研究认为数感是已有研究认为数感是已有研究认为数感是已有研究认为数感是“直觉直觉直觉直觉”、“敏感敏感敏感敏感”、“能力能力能力能力”其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似其实，如同球员的球感，歌手的乐感类似 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉和理解。教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大教学数数、数的基数意义与序数意义、数序与数的大小比较小比较小比较小比较都有助于形成数感。都有助于形成数感。都有助于形成数感。都有助于形成数感。看不到新概念背后的实在之物，就容易看不到新概念背后的实在之物，就容易看不到新概念背后的实在之物，就容易看不到新概念背后的实在之物，就容易（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）（割裂历史）一、数感一、数感 认知偏差：认知偏差：认知偏差：认知偏差：全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索全新概念，从头摸索 实践误区：实践误区：实践误区：实践误区：先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准先估再数，看谁估的准 问题所在：问题所在：问题所在：问题所在：数感、量感不分数感、量感不分数感、量感不分数感、量感不分 以特殊的量为载体以特殊的量为载体以特殊的量为载体以特殊的量为载体 有效案例：有效案例：有效案例：有效案例：首先，数感是数出来的！首先，数感是数出来的！一、数感一、数感 简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。简单、通俗地说，数感就是对于数的感觉与理解。有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？有没有不依赖量的数感？请看读数的例子：请看读数的例子：请看读数的例子：请看读数的例子：30600，30060，30006三万零六百三万零六百 三万零六十三万零六十 三万零六三万零六30000060003000006000 三十亿三十亿三十亿三十亿零零六千六千六千六千67896789由由由由()()()()个千，个千，个千，个千，()()()()个百，个百，个百，个百，()()()()个十和个十和个十和个十和()()()()个一组成个一组成个一组成个一组成.6789=6789=()()()()10001000()()()()100100()()()()1010()()()()967896789读作读作读作读作()()()()千千千千 ()()()()百百百百 ()()()()十十十十 ()()()()；8769 98 87 76 6其次，读数可以也应该读出其次，读数可以也应该读出数感！数感！分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如分数也能读出数感，如“2/32/32/32/3什么意思？什么意思？什么意思？什么意思？”“2/32/32/32/3的意思就是的意思就是的意思就是的意思就是三分之二三分之二三分之二三分之二”3 32 2一、数感一、数感回溯以往相关教学策略：回溯以往相关教学策略：1.1.在数概念教学中培养数感在数概念教学中培养数感个个十十百百千千如如:借助几何直观引入计数单位借助几何直观引入计数单位一、数感一、数感水深水深 60米米20 米米水深水深 20米米海平面海平面0米米 甲湖甲湖 乙湖乙湖(1)(1)(1)(1)看看看看图图图图写数。写数。写数。写数。(数概念直数概念直数概念直数概念直观观观观化的化的化的化的练习练习练习练习)()()()()()()()()()()()()(2)(2)(2)(2)你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗你知道全校做早操，操场上有多少人吗?大约大约大约大约1000100010001000人人人人,想一想想一想想一想想一想,(),(),(),()个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起个这样学校的学生集中在一起,约一万人约一万人约一万人约一万人.（数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）（数概念生活化的练习）(3)(3)(3)(3)读一读，填一填读一读，填一填读一读，填一填读一读，填一填.（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习）（数概念形式化的练习）如前面的填空练习如前面的填空练习如前面的填空练习如前面的填空练习 甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作甲湖水面高度记作0 0 0 0米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作米，甲湖水底高度记作()()()()米；乙湖是堰米；乙湖是堰米；乙湖是堰米；乙湖是堰塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作塞湖，水底高度记作()()()()米，水面高度记作米，水面高度记作米，水面高度记作米，水面高度记作()()()()米。米。米。米。-20-20-20-20+20+20+20+20+80+80+80+80“多多多多样样样样化化化化”旨在旨在旨在旨在“各取所需各取所需各取所需各取所需”，适适适适应应应应不同学生！不同学生！不同学生！不同学生！2332332332332332332.2.2.2.在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感在计算教学中发展数感 如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：如小数乘法计算法则推导：0.150.150.150.153 3 3 3？0.150.150.150.15 3 3 3 3 45 45 45 451 11 1一、数感一、数感小时行小时行小时行小时行6 6 6 6公里，公里，公里，公里，1 1 1 1小时行？小时行？小时行？小时行？1 1 1 1小时行小时行小时行小时行2/32/32/32/3小时行小时行小时行小时行6 6 6 6kmkm 即即即即3 3份中的份中的份中的份中的2 2份是份是份是份是6 6先求先求先求先求1 1份是多少份是多少份是多少份是多少分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：分数除法计算法则推导：数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。数感可以算出来、估出来。小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从小学数学历来重视数感培养，从“自发自发自发自发”走向了走向了走向了走向了“自觉自觉自觉自觉”3 3份是份是份是份是9 9再求再求再求再求3 3份是多少份是多少份是多少份是多少 0.0.0.0.一、数感一、数感3.3.在解决实际问题中激活数感在解决实际问题中激活数感一个典型案例：一个典型案例：一个典型案例：一个典型案例：7215721510801080（米）（米）（米）（米）10801080稍大于稍大于稍大于稍大于10001000；10801080超过超过超过超过20002000的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关的一半，都是真正的数感，与量无关一、数感一、数感总而言之总而言之数感：数感：数感：数感：最朴实的数学素养，最朴实的数学素养，最朴实的数学素养，最朴实的数学素养，就是关于数的感觉与理解。就是关于数的感觉与理解。就是关于数的感觉与理解。就是关于数的感觉与理解。数感可以：数感可以：数感可以：数感可以：数出来数出来数出来数出来读出来读出来读出来读出来算出来算出来算出来算出来估出来估出来估出来估出来用出来用出来用出来用出来 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。达和进行数学思考的重要形式。符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识；符号：指具有某种代表意义的记号、标识；它是意义的载体，精神的外化呈现。它是意义的载体，精神的外化呈现。它是意义的载体，精神的外化呈现。它是意义的载体，精神的外化呈现。数学的符号：数学的符号：数学的符号：数学的符号：“标识标识标识标识”的内容是特殊的；的内容是特殊的；的内容是特殊的；的内容是特殊的；它的它的它的它的“作用作用作用作用”更具特殊性。更具特殊性。更具特殊性。更具特殊性。二、符号意识二、符号意识 培养符号意识的误区主要表现：培养符号意识的误区主要表现：培养符号意识的误区主要表现：培养符号意识的误区主要表现：生活中的符号混同数学符号；生活中的符号混同数学符号；生活中的符号混同数学符号；生活中的符号混同数学符号；规律的表征混同符号意识；规律的表征混同符号意识；规律的表征混同符号意识；规律的表征混同符号意识；一概让学生自创符号。一概让学生自创符号。一概让学生自创符号。一概让学生自创符号。对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！二、符号意识二、符号意识红红红红 绿绿绿绿 红红红红 绿绿绿绿 红红红红 绿绿绿绿 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 只是记号只是记号只是记号只是记号 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识首先是数字符号，如：首先是数字符号，如：首先是数字符号，如：首先是数字符号，如：1 1 怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识首先是数字符号，首先是数字符号，首先是数字符号，首先是数字符号，然后是运算符号然后是运算符号然后是运算符号然后是运算符号，如：如：如：如：数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想，数学符号：被感知的直观形式与内在思想，高度和谐、统一。高度和谐、统一。高度和谐、统一。高度和谐、统一。“再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符再也没有比平行而又等长的短线段更确切的相等符号了号了号了号了”列科尔德列科尔德列科尔德列科尔德 诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。诸如此类，举不胜举。可见：数学符号如同可见：数学符号如同可见：数学符号如同可见：数学符号如同“象形文字象形文字象形文字象形文字”，简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。简洁、生动、形象、传神。符号本身就符号本身就符号本身就符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。具有促进理解，帮助记忆的教学功能。具有促进理解，帮助记忆的教学功能。具有促进理解，帮助记忆的教学功能。任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌！怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？怎样让学生亲近符号，接受、理解符号呢？二、符号意识二、符号意识关系符号，如：关系符号，如：关系符号，如：关系符号，如：首先是数字符号，首先是数字符号，首先是数字符号，首先是数字符号，然后是运算符号然后是运算符号然后是运算符号然后是运算符号，对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“优势优势优势优势”在于简洁吗？在于简洁吗？在于简洁吗？在于简洁吗？二、符号意识二、符号意识(a+b)c=ac+bc c a b“优势优势优势优势”不仅在于不仅在于不仅在于不仅在于“简洁简洁简洁简洁”、还在于、还在于、还在于、还在于“准确准确准确准确”、“无无无无歧义歧义歧义歧义”更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般更在于由特殊到一般 对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：对于小学数学来说：首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！首先是让学生亲近符号，接受、理解符号！其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。其次是让学生感悟符号表达的优势与作用。“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性般性般性般性”你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘你想一个整数，把它乘2 2 2 2加加加加7 7 7 7，再把结果乘，再把结果乘，再把结果乘，再把结果乘3 3 3 3减减减减21212121。告。告。告。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？设：所想的数为设：所想的数为设：所想的数为设：所想的数为x x，则，则，则，则 2 2 2 2x x7 7 7 7二、符号意识二、符号意识 则（则（则（则（)3 3 3 321212121 6 6 6 6x x2121212121212121 6 6 6 6x不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！不引进符号与字母，就没有今天的数学！如：如：如：如：原来的描述原来的描述原来的描述原来的描述 物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。物体的形状、大小、位置关系留在脑中的表象。现在的描述现在的描述现在的描述现在的描述 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物（侧重（侧重（侧重（侧重“界定界定界定界定”，“是什么是什么是什么是什么”）：）：）：）：（侧重（侧重（侧重（侧重“表现表现表现表现”，“怎么样怎么样怎么样怎么样”）：）：）：）：空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质 高高高高谊谊谊谊街街街街 通通通通江江江江街街街街高高谊谊街街红霞街红霞街三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质长方形、一片长方形、一片长方形、一片长方形、一片花瓣旋转花瓣旋转花瓣旋转花瓣旋转三、空间观念三、空间观念实际事物实际事物实际事物实际事物空间观念空间观念空间观念空间观念（联想）（联想）（联想）（联想）图形图形 变换变换名称名称 性质性质6 6 6 6个面、个面、个面、个面、12121212条条条条 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。三、空间观念三、空间观念空间知觉空间知觉空间知觉空间知觉（表象的基础）（表象的基础）空间观念空间观念空间观念空间观念（表象的形成）（表象的形成）空间想象空间想象空间想象空间想象（表象的改造）（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存三种水平既递进发展，又交错共存实物指认实物指认图形指认图形指认剖面指认剖面指认空间观念发展规律空间观念发展规律空间观念发展规律空间观念发展规律例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高例如：指认圆柱高三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点 (1)(1)(1)(1)从感知强成分到感知弱成分从感知强成分到感知弱成分从感知强成分到感知弱成分从感知强成分到感知弱成分 强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性,特殊性特殊性特殊性特殊性 如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点 (1)(1)(1)(1)从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份从感知强成份到感知弱成份 强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性强弱具有相对性,特殊性特殊性特殊性特殊性 如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；如：形状；边的长短是强成分；关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。关系；角的大小是弱成分。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(2)(2)(2)(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系132122垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的垂直、平行概念中的“要素要素要素要素”相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直相交成直角的两条直线互相垂直同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行同一平面内不相交的两条直线互相平行以双杠为例：以双杠为例：以双杠为例：以双杠为例：先讨论平行：先讨论平行：先讨论平行：先讨论平行：再讨论垂直：再讨论垂直：再讨论垂直：再讨论垂直：44 平行平行平行平行 同一平面同一平面同一平面同一平面垂直垂直垂直垂直同一平面同一平面同一平面同一平面两个平面两个平面两个平面两个平面(异面垂直异面垂直异面垂直异面垂直)三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(2)(2)(2)(2)从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系从认识单一要素到认识多要素及其关系 一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长一个包装盒，如果从里面长3.83.8分米，宽分米，宽分米，宽分米，宽2 2分米，容积分米，容积分米，容积分米，容积34.234.2立立立立方分米。小胖想用它来装一件长方分米。小胖想用它来装一件长方分米。小胖想用它来装一件长方分米。小胖想用它来装一件长3.53.5分米，宽分米，宽分米，宽分米，宽1.91.9分米分米分米分米,高高高高4.84.8分分分分米的礼物米的礼物米的礼物米的礼物,是否装得下？是否装得下？是否装得下？是否装得下？3.51.94.83.51.94.831.9231.92 关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系关注长与长、宽与宽、高与高的关系 34.23.8234.23.824.5 4.5 很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小很少想象盒与礼物的实际大小34.2 34.2 4.84.83.83.83.83.82 2 2 24.54.54.54.53.53.53.53.51.91.91.91.94.84.84.84.8答：装得下。答：装得下。答：装得下。答：装得下。三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(3)(3)(3)(3)从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形从熟悉标准图形到熟悉变式图形 图形的认识：图形的认识：图形的认识：图形的认识：标准图形标准图形标准图形标准图形变式图形变式图形变式图形变式图形 “标准标准标准标准”与与与与“变式变式变式变式”是相对的是相对的是相对的是相对的三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(4)(4)(4)(4)从直观辨认图形到语言描述特征从直观辨认图形到语言描述特征 例如：识别梯形例如：识别梯形说出梯形特征说出梯形特征 梯子形状的图形梯子形状的图形只有一组对边平行的四边形只有一组对边平行的四边形 四边形四边形平行平行 （幼儿园）（幼儿园）(小学高年级小学高年级)三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(5)(5)(5)(5)从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言从使用日常语言到使用几何语言 如如如如“高高高高”：生活中的高生活中的高生活中的高生活中的高几何图形的高几何图形的高几何图形的高几何图形的高 身高、树高身高、树高身高、树高身高、树高平行四边形的高平行四边形的高平行四边形的高平行四边形的高 三角形的高三角形的高三角形的高三角形的高 圆柱的高圆柱的高圆柱的高圆柱的高 圆锥的高圆锥的高圆锥的高圆锥的高(平行线间的距离平行线间的距离平行线间的距离平行线间的距离)(点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离)(平行平面的距离平行平面的距离平行平面的距离平行平面的距离)(点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离)三、空间观念三、空间观念小学生空间观念发展的若干特点小学生空间观念发展的若干特点(6)(6)(6)(6)从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念从形成二维空间观念到三维空间观念 三、空间观念三、空间观念（1 1）观察观察：有序观察，选择对象，变换角度：有序观察，选择对象，变换角度（2 2）操作操作：学会画图，动手操作，自我释疑：学会画图，动手操作，自我释疑（3 3）变式变式：变化形状，变化位置，变化大小：变化形状，变化位置，变化大小（4 4）辨析辨析：同中见异，异中求同，精确分化：同中见异，异中求同，精确分化（5 5）结合结合：形象与语言结合，数与形结合：形象与语言结合，数与形结合怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？三、空间观念三、空间观念 加强加强“画图画图”的重要意义：的重要意义：小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；小学阶段，有时间铺垫，却少有作为；初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何初中阶段，内容多，时间紧，凡作公理处理的几何命题，只能一带而过。命题，只能一带而过。命题，只能一带而过。命题，只能一带而过。能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；能力强的学生，能自己在短时间内填补认知空隙；学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。学习困难学生，认识不能一次完成，常常似懂非懂。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。因此，客观上加大了两极分化。怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？例如，画图：例如，画图：过两点画直线过两点画直线过两点画直线过两点画直线过两点画线段过两点画线段过两点画线段过两点画线段过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的平行线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段过直线外一点画已知直线的垂线段三、空间观念三、空间观念怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？感知感知两点确定一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线两点之间线段最短两点之间线段最短两点之间线段最短两点之间线段最短平行公理平行公理平行公理平行公理垂线的唯一性垂线的唯一性垂线的唯一性垂线的唯一性垂直线段最短垂直线段最短垂直线段最短垂直线段最短 三、空间观念三、空间观念 加强加强“操作操作”（动作直观）动作直观）的重要意义：的重要意义：即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作即使高年级，当空间想象受阻时，动手操作实验依然是行之有效的教学对策。实验依然是行之有效的教学对策。如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成如：把一个表面涂色的大正方体木块，切割成27272727个个个个同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小同样大小的小正方体木块。三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？正方体木块各有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？表面无色的有多少个？怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？8；12；62781261 三、空间观念三、空间观念 “操作操作”帮助帮助空间想象的实例：空间想象的实例：一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘一个表面涂色的长方体木块，长、宽、高都是整数厘米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长米，把它切割成若干个棱长1 1 1 1厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。厘米的小正方体木块。如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的如果存在恰有五个面涂色的小正方体，那么这样的小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？小正方体最多有几个？如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4 4 4 4个，那个，那个，那个，那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？么大长方体的长、宽、高各是多少厘米？怎样发展学生的空间观念？怎样发展学生的空间观念？3,2,23,2,24,4,14,4,16,3,16,3,1四、几何直观四、几何直观 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。于探索解决问题的思路，预测结果。案例案例案例案例1 1：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行：团体操原来队伍每行1010人人人人,有有有有5 5行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加行。现在调整成每行增加 3 3人，增加人，增加人，增加人，增加2 2行，现在需要增加多少人？行，现在需要增加多少人？行，现在需要增加多少人？行，现在需要增加多少人？3 3 3 32 2 2 2？(10(10(10(103)(53)(53)(53)(52)2)2)2)105105105105 案例案例案例案例2 2：如图，如图，如图，如图，“”“”与与与与“”“”，哪个面积，哪个面积，哪个面积，哪个面积大大大大?案例案例案例案例3 3：1四、几何直观四、几何直观 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。学习过程中都发挥着重要作用。学习过程中都发挥着重要作用。学习过程中都发挥着重要作用。希尔伯特：希尔伯特：希尔伯特：希尔伯特：“在数学中在数学中在数学中在数学中,象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样象在任何科学研究中那样,有有有有两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向两种倾向。一种是抽象的倾向另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象义，也可以说领会它们生动的形象”。克莱因：克莱因：克莱因：克莱因：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上确的直观上确的直观上确的直观上,数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。数学直观就是对概念、证明的直接把握。”有必要区分两种层次的几何直观：有必要区分两种层次的几何直观：有必要区分两种层次的几何直观：有必要区分两种层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：感性认识阶段、较低层次的几何直观：“直观感知直观感知直观感知直观感知”理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：理性认识阶段、更高层次的几何直观：“直观洞察直观洞察直观洞察直观洞察”四、几何直观四、几何直观案例案例案例案例4 4：两个数的和是：两个数的和是：两个数的和是：两个数的和是1 16 6，这两个数的积最大是多