定积分在几何中的应用(IV).ppt
1.7 1.7 定积分的简单应用定积分的简单应用 1.7.1 1.7.1 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 问题提出问题提出 1.1.定积分定积分 的含义及的含义及其几何意其几何意义分别是什么义分别是什么x xy yab byf(x)O O 2.2.微积分基本定理是什么？微积分基本定理是什么？如果如果f(x)是区间是区间a，b上的连续函数，上的连续函数，并且并且 ，则，则 .3.3.用定积分可以表示曲边梯形的面用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问可以解决平面几何中曲边图形的面积问题题.探究（一）：探究（一）：曲线曲线y2 2x与与yx2 2所围成图所围成图 形的面积形的面积 思考思考1：曲线曲线y2 2x与与yx2 2所围成的图形所围成的图形是什么？其交点坐标是什么？是什么？其交点坐标是什么？1 11 1x xy yO Oy y2 2x xy yx x2 2(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)思考思考2 2：如何将该图形的面积转化为曲边如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？梯形的面积？x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 2S SS S曲边梯形曲边梯形OABCOABCS S曲边梯形曲边梯形OADC.OADC.思考思考3 3：该图形的面积用定积分怎样表示该图形的面积用定积分怎样表示？x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 2思考思考4 4：利用微积分基本定理计算，该图利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？形的面积等于多少？x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 2探究（二）：探究（二）：直线直线yx4 4与曲线与曲线 及及x轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积 思考思考1 1：直线直线yx4 4与曲线与曲线 及及 x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标是什么？是什么？8 84 44 4x xy yO Oy yx x4 4(8,4)(8,4)(0,0)(0,0)(4,0)(4,0)x xy yO O4 48 8y yx x4 44 4A AB BC CD D思考思考2 2：如何将该图形的面积转化为曲边如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？梯形的面积？S SS S曲边梯形曲边梯形OABCOABCS S三角形三角形ABD.ABD.思考思考3 3：该图形的面积用定积分怎样表该图形的面积用定积分怎样表示？示？x xy yO O4 48 8y yx x4 44 4A AB BC CD D思考思考4 4：利用微积分基本定理计算，该图利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？形的面积等于多少？x xy yO O4 48 8y yx x4 44 4A AB BC CD D理论迁移理论迁移 例例1 1 计算由直线计算由直线y y2 2x x，和曲线和曲线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.x xy yO O3 32 2y y2 2x x1 1A AB B1 11 1 例例2 2 如图，直线如图，直线yk kx将抛物线将抛物线 yxx2 2与与x轴所围成的平面图形分成轴所围成的平面图形分成 面积相面积相等的两部分，求实数等的两部分，求实数k k的值的值.x xy yO Oy ykxkxyxx21 11 1k k小结作业小结作业 1.1.定定积分在几何中的分在几何中的应用，主要用用，主要用于求平面曲于求平面曲边图形的面形的面积.解解题时，一般，一般先要画出草先要画出草图，再根据，再根据图形确定被形确定被积函函数以及数以及积分的上、下限分的上、下限.2.2.定定积分只能用于求曲分只能用于求曲边梯形的面梯形的面积，对于非于非规则曲曲边梯形，一般要将其梯形，一般要将其分割或分割或补形形为规则曲曲边梯形，再利用定梯形，再利用定积分的和与差求面分的和与差求面积.对于分割或于分割或补形中形中的多的多边形的面形的面积，可直接利用相关面，可直接利用相关面积公式求解公式求解.3.3.位于位于x x轴下方的曲下方的曲边梯形的面梯形的面积，等于相等于相应定定积分的相反数分的相反数.一般地，一般地，设由由直直线xa，xb(ab)，y0 0和曲和曲线yf(x)所所围成的曲成的曲边梯形的面梯形的面积为S S，则.x xy yab byf(x)O Oy|f(x)|)|作业：作业：P58P58练习：练习：（1 1），（），（2 2）.P60P60习题习题1.7B1.7B组：组：1 1，2 2，3.3.
