2013届高考数学考点回归总复习课件47.ppt

第四十七讲第四十七讲 直线直线 平面垂直的判定及其性质平面垂直的判定及其性质1共 71 页回归课本回归课本2共 71 页1.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角锐角叫做叫做这条直线和这个平面所成的角这条直线和这个平面所成的角.一条直线一条直线垂直垂直于平面于平面,就说就说它们所成的角是直角它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内一条直线和平面平行或在平面内,就就说它们所成的角是说它们所成的角是0的角的角,可见可见,直线和平面所成的角的范直线和平面所成的角的范围是围是3共 71 页(2)直线与平面垂直直线与平面垂直定义定义:如果一条直线如果一条直线l和一个平面和一个平面内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直,那么就说直线那么就说直线l和平面和平面互相垂直互相垂直.判定定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的两条相交直线两条相交直线都都垂直垂直,那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.性质定理性质定理:如果两条直线如果两条直线同垂直于同垂直于一个平面一个平面,那么这两条直那么这两条直线平行线平行.4共 71 页注意注意:(1)定义中的定义中的“任意一条任意一条”与与“所有条所有条”是同义词是同义词,不同不同于于“无数条无数条”.(2)判定定理在应用时判定定理在应用时,一定要明确一定要明确“平面内的两条相交直线平面内的两条相交直线”.(3)直线与平面垂直是直线与平面相交的特例直线与平面垂直是直线与平面相交的特例.5共 71 页2.二面角二面角(1)二面角二面角:从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形所组成的图形,叫做叫做二面角二面角.二面角的平面角二面角的平面角:一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角l的棱的棱l,且与两且与两个半平面的交线分别是射线个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足为垂足,则则AOB叫做二面角叫做二面角l的平面角的平面角.直二面角直二面角:平面角是平面角是直角直角的二面角叫直二面角的二面角叫直二面角.二面角的平面角的范围是二面角的平面角的范围是:0180,当两个半平面重合时当两个半平面重合时,=0;相交时相交时0180;共面时共面时=180.6共 71 页(2)两个平面垂直两个平面垂直两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是直二面角直二面角,就说这两就说这两个平面互相垂直个平面互相垂直.(3)两个平面垂直的判定定理及性质定理两个平面垂直的判定定理及性质定理平面和平面垂直的判定定理平面和平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面如果一个平面经过另一个平面的的一条垂线一条垂线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直.平面和平面垂直的性质定理平面和平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么在一那么在一个平面内个平面内垂直于它们交线垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面.7共 71 页考点陪练考点陪练8共 71 页1.(2010改编题改编题)在三棱锥在三棱锥VABC中中,VA=VC,AB=BC,则下则下列结论一定成立的是列结论一定成立的是()A.VA BC B.AB VCC.VB AC D.VA VB答案答案:C9共 71 页2.(2010改编题改编题)如图如图,AB是是 O的直径的直径,PA垂直于垂直于 O所在的平所在的平面面,C是圆周上不同于是圆周上不同于A,B的任意一点的任意一点,则图中互相垂直的平则图中互相垂直的平面共有面共有()A.4对对 B.3对对C.2对对 D.1对对答案答案:B10共 71 页3.菱形菱形ABCD中中,BAD=60,如图所示沿对角线如图所示沿对角线BD将将BCD向上折起向上折起,使使AC=AB,则二面角则二面角CBDA的余弦值的大小的余弦值的大小为为()答案答案:A11共 71 页4.(2010全国卷全国卷)正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,BB1与平面与平面ACD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为()12共 71 页解析解析:BB1与平面与平面ACD1所成的角等于所成的角等于DD1与平面与平面ACD1所成的所成的角角,在三棱锥在三棱锥DACD1中中,由三条侧棱两两垂直得点由三条侧棱两两垂直得点D在底在底面面ACD1内的射影为等边三角形内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心的垂心即中心H,连接连接D1H,DH,则则DD1H为为DD1与平面与平面ACD1所成的角所成的角,设正方体设正方体棱长为棱长为a,则则cos DD1H=,故选故选D.答案答案:D13共 71 页5.(2010滨州月考滨州月考)对于任意的直线对于任意的直线l与平面与平面,在平面在平面内必有内必有直线直线m,使使m与与l()A.平行平行 B.相交相交C.垂直垂直 D.互为异面直线互为异面直线14共 71 页解析解析:如果如果l,那么那么,内的直线内的直线m不可能与不可能与l异面异面,所以所以,选项选项D不正确不正确.如果如果l与与相交相交,那么那么,内的直线内的直线m不可能与不可能与l平行平行,所以所以,选项选项A不正确不正确.如果如果l,那么那么,内的直线内的直线m不可能与不可能与l相交相交,所以所以,选项选项B不正确不正确.在上述三种情况下在上述三种情况下,内总存在直线内总存在直线m,使得使得m l.答案答案:C15共 71 页类型一类型一线线垂直线线垂直解题准备解题准备:判定直线与直线垂直的方法判定直线与直线垂直的方法:(1)计算两直线所成的角为计算两直线所成的角为90(包括平面角与异面直线所成的包括平面角与异面直线所成的角角).(2)线面垂直的性质线面垂直的性质(若若a,b,则则a b).(3)ab=0a b.16共 71 页【典例典例1】如图如图,=CD,EA,垂足为垂足为A,EB,垂足为垂足为B,求证求证:CD AB.分析分析 要证要证CD AB,只需证只需证CD 平面平面ABE即可即可.17共 71 页 证明证明 =CD,CD,CD.又又EA,CD,EA CD,同理同理EB CD.EAEB=E,CD 平面平面EAB.AB 平面平面EAB,AB CD.18共 71 页 反思感悟反思感悟 证明空间中两直线互相垂直证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线通常先观察两直线是否共面是否共面.若两直线共面若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理如勾股定理,等腰三角形的性质等等腰三角形的性质等.若两直线异面若两直线异面,则转化为则转化为线面垂直进行证明线面垂直进行证明.19共 71 页类型二类型二线面垂直的判定和性质线面垂直的判定和性质解题准备解题准备:1.判定定理可以简单的记为判定定理可以简单的记为“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”,定理中的关键词语是定理中的关键词语是“平面内两条相交直线平面内两条相交直线”和和“都都垂直垂直”.2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也那么另一条也垂直于这个平面垂直于这个平面,即即20共 71 页3.直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的性质:(1)垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)如果一条直线垂直于一个平面如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只过一点有且只有一个平面和已知直线垂直有一个平面和已知直线垂直.(4)如果一条直线与两个平面都垂直如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行那么这两个平面平行.21共 71 页【典例典例2】如图如图,已知已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在的平面所在的平面,M N分别是分别是AB PC的中点的中点,若若PDA=45,求证求证:MN 平面平面PCD.22共 71 页 证明证明 如图如图,取取PD的中点的中点E,连接连接AE,NE.E N分别为分别为PD PC的中点的中点,EN 又又M为为AB的中点的中点,AM EN AM,四边形四边形AMNE为平行四边形为平行四边形.MN AE.PA 平面平面ABCD,PDA=45,PAD为等腰直角三角形为等腰直角三角形.AE PD.23共 71 页又又CD AD,CD PA,ADPA=A,CD 平面平面PAD,而而AE 平面平面PAD,CD AE.又又CDPD=D,AE 平面平面PCD.MN 平面平面PCD.24共 71 页 反思感悟反思感悟 取取PD的中点的中点E,连接连接AE,则有则有MN AE,考虑证明考虑证明AE 平面平面PCD.25共 71 页证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法:(1)利用线面垂直的定义利用线面垂直的定义:证一直线垂直于平面内任一直线证一直线垂直于平面内任一直线,这这条直线垂直于该平面条直线垂直于该平面.(2)用线面垂直的判定定理用线面垂直的判定定理:证一直线与一平面内的两条相交证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直直线都垂直,这条直线与平面垂直这条直线与平面垂直.(3)利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质:两平行线中的一条垂直于平面两平行线中的一条垂直于平面,则另则另一条也垂直于这个平面一条也垂直于这个平面.(4)用面面垂直的性质定理用面面垂直的性质定理:两平面垂直两平面垂直,在一个平面内垂直于在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面交线的直线必垂直于另一个平面.26共 71 页(5)用面面平行的性质定理用面面平行的性质定理:一直线垂直于两平行平面中的一一直线垂直于两平行平面中的一个个,那么它必定垂直于另一个平面那么它必定垂直于另一个平面.(6)用面面垂直的性质用面面垂直的性质:两相交平面同时垂直于第三个平面两相交平面同时垂直于第三个平面,那那么两相交平面的交线垂直于第三个平面么两相交平面的交线垂直于第三个平面.27共 71 页类型三类型三面面垂直的判定和性质面面垂直的判定和性质解题准备解题准备:利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法法:先从现有的直线中寻找平面的垂线先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图若这样的直线在图中存在中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直则可通过线面垂直来证明面面垂直;若这样的直线若这样的直线在图中不存在在图中不存在,则可通过作辅助线来解决则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应而作辅助线则应有理论根据并有利于证明有理论根据并有利于证明,不能随意添加不能随意添加.28共 71 页【典例典例3】如图如图,已知平行六面体已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面的底面为正方形为正方形,O1,O分别为上分别为上,下底面的中心下底面的中心,且且A1在底面在底面ABCD的射影是的射影是O.求证求证:平面平面O1DC 平面平面ABCD.29共 71 页 证明证明 如图如图.连接连接AC,BD,A1C1,B1D1,则则O为为AC,BD的交点的交点,O1为为A1C1,B1D1的交点的交点.由平行六面体的性质知由平行六面体的性质知:A1O1 OC,且且A1O1=OC,四边形四边形A1OCO1为平行四边形为平行四边形,A1O O1C.A1O 平面平面ABCD,O1C 平面平面ABCD.又又O1C 平面平面O1DC,平面平面O1DC 平面平面ABCD.30共 71 页 反思感悟反思感悟 证明面面垂直证明面面垂直,可先证线面垂直可先证线面垂直,即设法先找到其即设法先找到其中一平面的一条垂线中一平面的一条垂线,再证明这条垂线在另一平面内或与另再证明这条垂线在另一平面内或与另一平面内一直线平行一平面内一直线平行.31共 71 页类型四类型四求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角解题准备解题准备:斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角,简称简称“线面角线面角”,它是平面的它是平面的斜线与它在平面内的射影的夹角斜线与它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足几何法一般先定斜足,再作垂线找射影再作垂线找射影,然后通过解直角三然后通过解直角三角形求解角形求解,可以简述为可以简述为“作作(作出线面角作出线面角)证证(证所作为所求证所作为所求)求求(解直角三角形解直角三角形)”.通常通常,通过斜线上某个特殊点作出平通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.32共 71 页【典例典例4】已知三棱柱已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相的侧棱与底面边长都相等等,A1在底面在底面ABC内的射影为内的射影为ABC的中心的中心,则则AB1与底面与底面ABC所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于()33共 71 页34共 71 页答案答案 B35共 71 页 反思感悟反思感悟 求线面角的关键是作出这个角求线面角的关键是作出这个角.而作出这个角就而作出这个角就要过平面斜线上的一点作平面的垂线要过平面斜线上的一点作平面的垂线,一般方法是有直接法一般方法是有直接法和根据面面垂直的性质定理的方法和根据面面垂直的性质定理的方法.36共 71 页类型五类型五二面角二面角解题准备解题准备:二面角大小的求法二面角大小的求法:由于二面角的大小是用它的平由于二面角的大小是用它的平面角的大小度量的面角的大小度量的,因此求解二面角的大小的关键是作出它因此求解二面角的大小的关键是作出它的平面角的平面角,将面面角的计算转化为一个平面上的线线角的计将面面角的计算转化为一个平面上的线线角的计算算.其基本步骤是作其基本步骤是作(作平面角作平面角)证证(证所作即所求证所作即所求)算算(计计算平面角的大小算平面角的大小).37共 71 页作二面角的平面角的常用方法有作二面角的平面角的常用方法有:(1)直接法直接法:根据平面角的概念直接作根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边腰三角形的公共底边,就可以取棱的中心就可以取棱的中心;(2)垂面法垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角;38共 71 页(3)垂线法垂线法:过二面角的一个半平面内一点过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面作另一个半平面的垂线的垂线,再从垂足再从垂足B向二面角的棱作垂线向二面角的棱作垂线,垂足为垂足为C,这样二面这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接连接AC,则则AC也与二面角的棱垂直也与二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其就是二面角的平面角或其补角补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二这是求解二面角的最基本面角的最基本 最重要的方法最重要的方法.39共 71 页【典例典例5】如图如图,已知已知PA垂直于正方形垂直于正方形ABCD所在平面所在平面,且且PA=AB.40共 71 页(1)求平面求平面PDC与平面与平面ABCD所成二面角的大小所成二面角的大小;(2)求二面角求二面角B-PC-D的大小的大小;(3)求二面角求二面角A-PB-C的大小的大小;(4)求平面求平面PAB与平面与平面PCD所成二面角的大小所成二面角的大小.分析分析 根据所求的二面角根据所求的二面角,选择适当的作二面角的方法作出选择适当的作二面角的方法作出二面角二面角,然后求解然后求解.41共 71 页解解 (1)PA 平面平面ABCD.DC 平面平面ABCD,DC PA.由正方形由正方形ABCD,有有DC AD,DC PD(三垂线定理三垂线定理),故故PDA即为平面即为平面PDC与平面与平面ABCD所成二面角的平面角所成二面角的平面角.PA=AB,AB=AD,PAD为等腰直角三角形为等腰直角三角形.PDA=45,即平面即平面PDC与平面与平面ABCD所成二面角的大小为所成二面角的大小为45.42共 71 页(2)在在Rt PCB与与Rt PCD中中,BC=DC,POC=PBC=,PC为为公共边公共边,PCBPCD.在平面在平面PBC内作内作BE PC于点于点E,连接连接DE,则则DE PC.BED即为二面角即为二面角B-PC-D的平面角的平面角,且且BE=DE.又设又设PA=AB=a,则则PB=PD=BE=DE=a43共 71 页又又BD=,在在BDE中中,cos BED=又又0 BED180,BED=120.即二面角即二面角B-PC-D的大小为的大小为120.44共 71 页(3)解法一解法一:PA 平面平面ABCD,BC 平面平面ABCD,PA BC.又又BC AB,且且PAAB=A,BC 平面平面PAB.又又BC 平面平面PBC,平面平面PBC 平面平面PAB.故二面角故二面角A-PB-C为直二面角为直二面角.45共 71 页解法二解法二:BC AB,BC PA,BC 平面平面PAB.点点B为点为点C在平面在平面PAB上的射影上的射影,线段线段PB为为PBC在平面在平面PAB内的射影内的射影.二面角二面角A-PB-C为直二面角为直二面角.46共 71 页(4)PA 平面平面ABCD,PA AD.又又ABCD为正方形为正方形,AD AB.从而有从而有AD 平面平面PAB,同理同理CB 平面平面PAB.PAB是是PCD在平面在平面PAB上的射影上的射影.设平面设平面PAB与平面与平面PCD所成的二面角为所成的二面角为,则则cos=47共 71 页48共 71 页 反思感悟反思感悟 二面角的作法种数较多二面角的作法种数较多,要根据题设条件和所求要根据题设条件和所求,选择最优方法作角选择最优方法作角.在计算中在计算中,适当设棱长为一个字母表示适当设棱长为一个字母表示长度长度,可简化计算步骤可简化计算步骤.49共 71 页类型六类型六线面垂直中的探索性问题线面垂直中的探索性问题解题准备解题准备:立体几何中的开放题在近几年的各地高考试题中是立体几何中的开放题在近几年的各地高考试题中是出现较多的出现较多的,开放题很好地考查了学生发散思维和探究学习开放题很好地考查了学生发散思维和探究学习的能力的能力,解题中常规作法一是根据对题目的综合分析和观察解题中常规作法一是根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置猜想出点或线的位置,再加以证明再加以证明,二是假设二是假设所求的点或线存在所求的点或线存在,并用设定的参数表示出来并用设定的参数表示出来,再根据其满足再根据其满足的条件确定参数的条件确定参数.50共 71 页【典例典例6】如图如图,四棱锥四棱锥PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB=60的菱形的菱形,侧面侧面PAD为正三角形为正三角形,其所在平面垂直其所在平面垂直于底面于底面ABCD.(1)求证求证:AD PB;(2)若若E为为BC边的中点边的中点,能否在棱能否在棱PC上找到一点上找到一点F,使平面使平面DEF 平面平面ABCD,并证明你的结论并证明你的结论.51共 71 页 解解 (1)证明证明:取取AD的中点的中点G,连接连接PG,BG,BD.52共 71 页PAD为等边三角形为等边三角形,PG AD,又又平面平面PAD 平面平面ABCD,PG 平面平面ABCD.在在ABD中中,A=60,AD=AB,ABD为等边三角形为等边三角形,BG AD,AD 平面平面PBG,AD PB.53共 71 页(2)连接连接CG,DE,且且CG与与DE相交于相交于H点点,在在PGC中作中作HF PG,交交PC于于F点点,连接连接DF,FH 平面平面ABCD,平面平面DHF 平面平面ABCD.H是是CG的中点的中点,F是是PC的中点的中点,在在PC上存在一点上存在一点F,即为即为PC的中点的中点,使得平面使得平面DEF 平面平面ABCD.54共 71 页 反思感悟反思感悟 近年来开放型问题不断在高考试题中出现近年来开放型问题不断在高考试题中出现,这说这说明高考对学生的能力要求越来越高明高考对学生的能力要求越来越高,这也符合新课标的理念这也符合新课标的理念,因而在复习过程中要善于对问题进行探究因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结立体几何中结合垂直关系合垂直关系,设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向向.55共 71 页错源一错源一抓不住线面垂直的本质抓不住线面垂直的本质【典例典例1】给出下面四个命题给出下面四个命题:(1)若一直线垂直于平面内的若一直线垂直于平面内的两条直线两条直线,则这条直线垂直于这个平面则这条直线垂直于这个平面;(2)若一直线垂直于若一直线垂直于平面内的无数条直线平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面则这条直线垂直于这个平面;(3)若一若一直线垂直于平面内的任意一条直线直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个则这条直线垂直于这个平面平面;(4)若一直线垂直于梯形的两腰所在直线若一直线垂直于梯形的两腰所在直线,则这条直线则这条直线垂直于梯形所在平面垂直于梯形所在平面.其中正确的命题共有其中正确的命题共有()A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个56共 71 页 错解错解 C (2)(3)(4)正确正确).剖析剖析 错解对于线面垂直的概念理解不到位错解对于线面垂直的概念理解不到位,没有抓住概念没有抓住概念的本质的本质.正解正解 B (3)(4)正确正确).57共 71 页错源二错源二使用判定定理时忽视条件而致误使用判定定理时忽视条件而致误【典例典例2】如图如图,a b,点点P在在a,b所确定的平面外所确定的平面外,PA a于于A,AB b于于B.求证求证:PB b.错证错证 因为因为a b,所以所以a,b确定一平面确定一平面,因为因为PA a,a b,所以所以PA b,所以所以PA,所以所以PB b.58共 71 页 剖析剖析 本证法的错因在于没有正确使用线面垂直的判定定本证法的错因在于没有正确使用线面垂直的判定定理理,由由PA a,PA b得得PA,而忽略了而忽略了ab.证明证明 因为因为PA a,a b,所以所以PA b,又因为又因为AB b,PAAB=A,所以所以b 平面平面PAB,故故PB b.59共 71 页错源三错源三防止主观臆断的失误防止主观臆断的失误【典例典例3】如图如图,四棱锥四棱锥SABCD中中,底面底面ABCD为平行四边为平行四边形形,侧面侧面SBC 底面底面ABCD.已知已知ABC=45,SA=SB.求证求证:SA BC.60共 71 页 错解错解 作作SO BC,垂足为垂足为O.因为侧面因为侧面SBC 底面底面ABCD,侧面侧面SBC底面底面ABCD=BC,所以所以SO 底面底面ABCD.又又SO 面面SAO,所以面所以面SAO 底面底面ABCD.因为因为SA 面面SAO,BC 底面底面ABCD,所以所以SA BC.61共 71 页 剖析剖析 错误原因在于解答到最后时无中生有地造了一个判错误原因在于解答到最后时无中生有地造了一个判定定理定定理:如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么一个平面中任意一条直线那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.因这个结论是错因这个结论是错误的误的,故而出错故而出错.62共 71 页正解正解 作作SO BC,垂足为垂足为O,连接连接AO.由侧面由侧面SBC 底面底面ABCD得得SO 底面底面ABCD.因为因为SA=SB,所所以以AO=BO.又又ABC=45,故故AOB为等腰直角三角形为等腰直角三角形,AO BO.因为因为SO 平面平面SAO,AO 平面平面SAO,SOAO=O,所以所以BC 平面平面SAO.又又SA 平面平面SAO,所以所以SA BC.63共 71 页技法一技法一快速解题快速解题(利用三余弦公式利用三余弦公式)【典例典例1】如图如图,过过BOC的顶点的顶点O作该角所在平面的斜线作该角所在平面的斜线,使使AOB=AOC=60,若若OA=OB=OC=1,BC=,求求OA与平面与平面BOC所成的角所成的角.64共 71 页 快解快解 由题设易知由题设易知BOC是等腰是等腰Rt,BOC=90.由于由于AOB=AOC=60,故故OA在平面在平面BOC内的射影是内的射影是BOC的平分线的平分线,则则BOD=45,故故cos AOD=,AOD=45即即OA与平面与平面BOC所成角为所成角为45.另解切入点另解切入点 OB=OC=1,BC=,BOC是等腰是等腰Rt,可以可以证明证明ABC也是等腰直角三角形也是等腰直角三角形.65共 71 页 分析分析 BOC与与ABC都是等腰都是等腰Rt,取其公共斜边的中点取其公共斜边的中点D,连接连接OD AD,则平面则平面AOD 平面平面BOC.在在AOD内求内求A到到OD的距离或直接求的距离或直接求AOD即可即可.66共 71 页 解解 OA=OB=OC=1,AOB=AOC=60AOB和和AOC是全等三角形是全等三角形,则则AB=AC=1.又又BC=,故故ABC和和BOC都是等腰都是等腰Rt.取取BC的中点的中点D,连接连接OD、AD,则则OD BC,AD BC,易求得易求得AD=OD=67共 71 页在在AOD中中,OD2+AD2=1=OA2,故故AD OD,从而从而AD 平面平面BOC,AOD即即OA与平面与平面BOC所成的角所成的角.cos AOD=,AOD=45.即即OA与平面与平面BOC成成45角角.68共 71 页 方法与技巧方法与技巧 这是常规解法这是常规解法,而快解是利用公式而快解是利用公式cos=cos1cos2.其中其中=AOB,1=AOD,2=BOD.得分主要步骤得分主要步骤 证明证明BOC和和ABC是等腰是等腰Rt,求求OD AD.由勾股定理由勾股定理,证明证明AOD是是Rt,或直接由平面或直接由平面AOD 平面平面BOC,得到得到AOD就是就是OA与平面与平面BOC所成的角所成的角,这样要简这样要简捷捷.易丢分原因易丢分原因 在证明在证明AOD是是Rt 后后,要说明要说明ADO是直角是直角或或AD OD,否则不能说明否则不能说明AD 平面平面BOC,就不能把就不能把AOD看作直线看作直线OA与平面与平面BOC所成的角所成的角.69共 71 页技法二技法二垂直证明中的垂直证明中的“垂直链垂直链”【典例典例2】如图所示如图所示,四边形四边形ABCD为正方形为正方形,SA垂直于四边垂直于四边形形ABCD所在的平面所在的平面,过过A且垂直于且垂直于SC的平面分别交的平面分别交SB、SC、SD于于E、F、G.求证求证:AE SB,AG SD.70共 71 页 证明证明 SA 平面平面ABCD,BC 平面平面ABCD,SA BC.又又BC AB,SAAB=A,BC 平面平面SAB.AE 平面平面SAB,BC AE.SC 平面平面AEFG,AE 平面平面AEFG,SC AE.又又BCSC=C,AE 平面平面SBC.AE SB.同理可证同理可证AG SD.71共 71 页