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全国中学生物理全国中学生物理竞赛辅导3静静 力力 学学1.如图如图1所示，长为所示，长为2m的匀质杆的匀质杆AB的的A端用细线端用细线AD拉住，拉住，固定于墙上固定于墙上D处，杆处，杆的的B端搁于光滑墙壁端搁于光滑墙壁上，上，DB1m，若杆，若杆能平衡，试求细线能平衡，试求细线AD的长度的长度.图图1ABD22.如图如图2所示，放在水平所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径接触，大、小圆柱的半径分别为分别为R和和r，大圆柱体上，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的静摩擦因，设各接触处的静摩擦因数都是数都是，为使大圆柱体，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问能翻过小圆柱体，问应应满足什么条件？满足什么条件？FA图图233.如图如图3所示，三个完全所示，三个完全一样的小球，重量均为一样的小球，重量均为G，半径为，半径为 R10cm，匀，匀质木板质木板AB长为长为l=100cm，重量为，重量为2G，板端，板端A用用光滑铰链固定在墙壁上，光滑铰链固定在墙壁上，板板B端用水平细线端用水平细线BC拉拉住，设各接触处均无摩住，设各接触处均无摩擦，试求水平细线中的擦，试求水平细线中的张力张力.图图3BA30C44.如图如图4所示，一长为所示，一长为L的轻梯靠在墙上，梯的轻梯靠在墙上，梯与竖直墙壁的夹角为与竖直墙壁的夹角为，梯与地面，梯与墙，梯与地面，梯与墙壁之间的摩擦系数都壁之间的摩擦系数都是是，一重为，一重为G的人沿的人沿梯而上，问这人离梯梯而上，问这人离梯下端的距离下端的距离d最大是多最大是多少时梯仍能保持平衡少时梯仍能保持平衡？BA图图45CAB图图55.如图如图5所示，一长为所示，一长为l重为重为W0的均匀水平杆的均匀水平杆AB的的A端端顶在竖直粗糙的墙壁上，杆顶在竖直粗糙的墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为端与墙壁的静摩擦系数为，B端用一强度足够而不可端用一强度足够而不可伸长的绳子悬挂，绳的另一伸长的绳子悬挂，绳的另一端固定在墙壁的端固定在墙壁的C点，绳与杆的夹角为点，绳与杆的夹角为，(1)求能保持平衡时，求能保持平衡时，与与满足的条件；满足的条件；(2)杆平衡时，杆上有一点杆平衡时，杆上有一点P存在，若在存在，若在A点与点与P点间任一点悬挂一重物，点间任一点悬挂一重物，则当重物的重量则当重物的重量W足够大时总可以使平衡破足够大时总可以使平衡破坏，而在坏，而在P点与点与B点之间任一点悬挂任意重的点之间任一点悬挂任意重的重物，都不可能使平衡破坏，求出这一重物，都不可能使平衡破坏，求出这一P点与点与A点的距离点的距离.66.半径为半径为r，质量为，质量为m 的三个相同的球放在水的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为平桌面上，两两相互接触，用一个高为1.5r 的的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触球与圆筒壁之间均保持无形变接触.现取一质量现取一质量也为也为m、半径为、半径为R的第四个球，放在三球的上方的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为，问因数为，问R取何值时，用手轻轻竖直向上提取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？起圆筒即能将四个球也一起提起来？77.如图如图6所示，边长为所示，边长为a的均匀立方体对的均匀立方体对称地放在一个半径为称地放在一个半径为r的半圆柱面顶部，的半圆柱面顶部，假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体下假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件是滑，试证明这立方体稳定平衡的条件是:图68 8.如图如图7所示，质量一样的两个小木块由一根所示，质量一样的两个小木块由一根不可伸长的轻绳相连放在倾角为不可伸长的轻绳相连放在倾角为 的斜面上，的斜面上，两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为 1和和 2，且，且 1 2,tan ，求绳子与斜面上，求绳子与斜面上最大倾斜线最大倾斜线AB之间的夹角之间的夹角 应满足什么条件，应满足什么条件，两木块才能在斜面保持静止？两木块才能在斜面保持静止？图图7 B1 2A99.长方形风筝如图长方形风筝如图8所示，其宽度所示，其宽度a40cm,长度长度b40cm,质量质量M200g（其中包括以细绳吊挂的纸球（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴尾巴”的质量的质量M20g，纸球，纸球可当作质点），可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，为三根绑绳，AO=BO，C为底边的为底边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风筝时，中点，绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度v持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表面，量值持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表面，量值为为pkvsin，k=8Ns/m3,为风筝平面与水平面的夹角，风筝表为风筝平面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g=10m/s2，放飞场地为足够大的水平地面，试求：，放飞场地为足够大的水平地面，试求：(1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度使风筝面与水平面成任意角度 .(2)若放风若放风筝者持牵绳奔跑速度为筝者持牵绳奔跑速度为v=3m/s，调整绑绳，调整绑绳CO的长度等于的长度等于b，为使风筝能水平稳定飞行，为使风筝能水平稳定飞行，AO与与BO的长度应等于多少？的长度应等于多少？DABCabO图图8M1010.有一半径为有一半径为R的圆柱体的圆柱体A，静，静止在水平地面上，并与竖直墙壁止在水平地面上，并与竖直墙壁相接触，现有另一质量与相接触，现有另一质量与A相同、相同、半径为半径为r的较细圆柱体的较细圆柱体B，用手扶，用手扶着圆柱着圆柱A，将，将B放在放在A的上面，并的上面，并使之与竖直墙壁接触，如图使之与竖直墙壁接触，如图10所所示，然后放手示，然后放手.已知圆柱已知圆柱A与地面与地面的摩擦系数为的摩擦系数为0.20，两圆柱之间，两圆柱之间的静摩擦系数为的静摩擦系数为0.30，若放手后，若放手后两圆柱能保持图示的平衡，问圆两圆柱能保持图示的平衡，问圆柱柱B与墙壁的静摩擦系数和圆柱与墙壁的静摩擦系数和圆柱B的半径的半径r的值各应满足什么条件的值各应满足什么条件？图图10AB11例例1 1 解：解：图图1ABD1m以杆为研究对象，作出其受力图（如图）以杆为研究对象，作出其受力图（如图）.由于杆处于平衡状态，所以它所受的三由于杆处于平衡状态，所以它所受的三个力的作用线必相交于个力的作用线必相交于AD线上的同一线上的同一点点O.由几何关系得由几何关系得GNCTO12例例2 2 解：解：FA图图1系统的受力情况如图所示系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力力作用：拉力F，重力，重力G1，小圆柱对，小圆柱对它的作用力它的作用力R1.由于这三个力平衡，由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点所以它们的作用线必相交于一点,这这点就是点就是A点点.角不大于最大摩擦角角不大于最大摩擦角(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形必组成一个闭合三角形.即有即有BDCO1O2G1G2R1R2R113G2R2R1图图2如图如图2所示，同样应该有所示，同样应该有所以由上面三式得所以由上面三式得由图由图2 知知由图由图1得得所以所以于是于是BDCO1O2G1G2R1R2R1FA图图114例例3 3 解：解：图图1BA30C首先，把三个球为整体作首先，把三个球为整体作为研究对象，其受力情况如图为研究对象，其受力情况如图2所所示示,三力作用线必共点三力作用线必共点.由平衡条件得由平衡条件得对对O2轴：轴：由以上三式可解得由以上三式可解得NN13G图图2DO2x O1EAB15AB板受力情况如图板受力情况如图3所示，所示，EABTN2GC板板DNAxNAy图图3NN13G图图2DO2x O1EAB16EABTN2GC板板DNAxNAy图图3对对A轴有轴有可解得可解得17例例4 4 解：解：BA图图1平衡时，梯与人组成的系统的平衡时，梯与人组成的系统的受力情况如图受力情况如图2所示所示.三力的作用线必相三力的作用线必相交于一点交于一点C，而且，而且RA，RB与法线的夹角与法线的夹角必不大于最大静摩擦角必不大于最大静摩擦角 .临界平衡时，在临界平衡时，在BCD和和ACD中中利用正弦定理可得利用正弦定理可得ABDCRARBGd图图218即即ABDCRARBGd图图2又又由以上三式可解得由以上三式可解得19CAB图图1例例5 5 解：解：(1)AB杆受力情况如图杆受力情况如图所示，三力的作用线必相交于所示，三力的作用线必相交于BC绳上的一点绳上的一点O.TRW0OO1 因为因为W0的作用点的作用点O1是是AB的中的中点，故必有点，故必有 ，而，而A端不滑动端不滑动的条件是的条件是即即(2)杆平衡时，再在杆平衡时，再在AB间挂上重物间挂上重物W，静摩擦角，静摩擦角 必必发生变化，若发生变化，若W挂在挂在O1点与点与B点之间，点之间，W+W0的作用的作用点在点在O1点的右侧，此时点的右侧，此时 角减少，平衡不会受破坏角减少，平衡不会受破坏.20TRW0OO1CAB图图1 当当WW0时，时，W+W0W，这，这时时W+W0的作用点的作用点P可以认为就是可以认为就是W的作用点的作用点.要使杆仍能保持平衡，要使杆仍能保持平衡，必须满足必须满足由图由图2可见可见CAB图图2TRW+W0WPO2由以上两式可解得由以上两式可解得 若重物若重物W挂在挂在A点与点与O1点之间，点之间，则则W+W0的作用点的作用点P在在O1的左侧，的左侧，增大增大.当当 时，时，平衡就被平衡就被破坏破坏.21例例6 6 解：解：rrOO1O2O3图图1由图由图1可见，可见，图图2为球为球1的受力图的受力图.当竖直向上提起圆筒时，能把当竖直向上提起圆筒时，能把4个球个球一起提起，下面两式应得到满足一起提起，下面两式应得到满足图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB 否则上、下球之间及球与筒壁之间会否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动发生相对滑动.以球以球1为研究对象，取为研究对象，取O1为轴，由力为轴，由力矩平衡条件易得矩平衡条件易得22图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB以图以图2中的中的A为轴，可得为轴，可得 由此式易知，由此式易知，N1 N2,所以只要所以只要(2)式得到满足，式得到满足，(1)式就自然得到满足式就自然得到满足.又以图又以图2中的中的B为轴，可得为轴，可得再以再以4个球为整体作为研究对象，有个球为整体作为研究对象，有23图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB由由(3)、(5)、(6)式可得式可得再结合再结合(2)式可得式可得两边平方，整理后可得两边平方，整理后可得24由此可解得由此可解得（另一解（另一解 舍去）舍去）设设 Rnr,由图由图2的几何关系可得的几何关系可得图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB所以所以25rrOO1O2O3图图1故故又为使第又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须结合上面两式可知第结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式个球的半径必须满足下式26例例7 7 解：解：方法方法1（回复力矩法）（回复力矩法）如图如图1所示，当立方体偏离一个很小所示，当立方体偏离一个很小的角度的角度时时，它，它沿圆柱体沿圆柱体无滑无滑滚动滚动地地使接触点从使接触点从B移到移到D，如，如图图可可见见图图1OABCDEFNr因为因为故故 显然，当重心显然，当重心C在过在过D点的竖直线的左方时，重力矩点的竖直线的左方时，重力矩会使立方体恢复到原来位置会使立方体恢复到原来位置.此时应有此时应有因为因为(平行线内错角相等平行线内错角相等)(对顶角相等对顶角相等)所以所以27图图1OABCDEFNr所以所以于是据于是据(1)式可得式可得28方法方法2（能量法）（能量法）如图如图2所示，所示，C是立方体的重心，立方体是立方体的重心，立方体在圆柱体上偏离了一个很小的角度在圆柱体上偏离了一个很小的角度.由图由图2易得易得OABCDQh图图2PE原来重心原来重心C（离圆柱体顶点）的高（离圆柱体顶点）的高度为度为a/2,偏离后重心偏离后重心C 的高度为的高度为h：因为因为故故而而即即29OABCDQh图图2PE于是于是那么那么 要使立方体处于稳定平衡，必须满要使立方体处于稳定平衡，必须满足后来的势能大于原来的势能，即足后来的势能大于原来的势能，即即即由此得由此得30例例8 8 解：解：图图1B1 2A设两个小木块重都为设两个小木块重都为G，因为，因为 1 2,故故则表明木块则表明木块1可以单独在斜面上保持静止，而木块可以单独在斜面上保持静止，而木块2不能单独在斜面上保持静止不能单独在斜面上保持静止.现两木块用轻绳连接，现两木块用轻绳连接，当木块当木块1在高处且绳子平行在高处且绳子平行AB时，因最大静摩擦力时，因最大静摩擦力这表明系统能在斜面保持静止这表明系统能在斜面保持静止.当绳子与当绳子与AB线的夹角为线的夹角为且系且系统统能静止，能静止，为为使使最大，应有木块最大，应有木块1所受静摩擦力不所受静摩擦力不大于其最大静摩擦力大于其最大静摩擦力.设此时绳子的拉力为设此时绳子的拉力为T，木块，木块1、木、木块块2的受力情况如图的受力情况如图2所示所示.31图图1B1 2A12TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB 由于木块由于木块2处于平衡，所以它所受的处于平衡，所以它所受的三个力组成一个闭合三角形三个力组成一个闭合三角形.故故要使要使T有实数解，应有有实数解，应有因为因为由以上两式可解得由以上两式可解得3212TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB方程方程(1)的解为的解为（本来方程有两个解，但结合木块（本来方程有两个解，但结合木块1的力三的力三角形及角形及f1 1Gcos,可知只能取根号前是可知只能取根号前是负负号的号的这这一个解一个解）由于由于tan2,所以所以G sin2GcosGsinT2Gcos图图3 由图由图3易知，当易知，当T 2Gcos时，时，取最大取最大值值.此时此时3312TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB由图由图3易得木块易得木块1所受的静摩擦力为所受的静摩擦力为TGsinf1图图3为了木块为了木块1能静止，能静止，f1必须满足必须满足由以上三式可得由以上三式可得这表明当这表明当 时，时，的最大值可取的最大值可取3412TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB但当但当 时，时，的最大值的最大值不能取上述值不能取上述值.即此时即此时T与与 不垂直，为使此时不垂直，为使此时 取最大值，木取最大值，木块块1和木块和木块2均应受最大静摩擦力均应受最大静摩擦力.对木块对木块1，由平衡条件得（，由平衡条件得（注意：注意：此时图此时图3中的中的f1取最大静摩擦力，取最大静摩擦力，取最大值取最大值 m）对木块对木块2，由平衡条件得，由平衡条件得TGsinf1图图3由这两式可解得由这两式可解得35图图1B1 2A综上所述得综上所述得当当 时，时，的最大值为的最大值为当当 时，时，的最大值为的最大值为(或或 )36例例9 9 解：解：DABCabO图图1M(1)设人以速度设人以速度v0持牵绳奔跑时，持牵绳奔跑时，风筝恰好能平行地面飞行，此时牵绳平风筝恰好能平行地面飞行，此时牵绳平行地面，设此时风筝表面与地面的夹角行地面，设此时风筝表面与地面的夹角为为，如，如图图2所示所示.OCDv0图图2其竖直分量其竖直分量Fy应与风筝重力平衡应与风筝重力平衡即即当当45时，时，有极大值有极大值1/2，此时，此时v0取极小值取极小值v0min.风筝受力如图所示风筝受力如图所示,其其中中F为风力为风力.37(2)重新调节绑绳长度后，放飞重新调节绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以者使牵绳平行于地面以v=3m/s的的速度奔跑，设此时风筝能保持水平速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则飞行，则所以所以故故于是于是 因为风筝在水平方向受力平衡，所以风筝所受总的因为风筝在水平方向受力平衡，所以风筝所受总的水平拉力为水平拉力为OTCDrrbb图图3v38分别代入分别代入得得OTCDrrbb图图3v自自O点至点至AB的中点的中点D，连接一紧绳，连接一紧绳OD，替代替代AO和和BO，如图，如图3所示所示.则牵绳拉力则牵绳拉力T和纸球重力对风筝纸面中心和纸球重力对风筝纸面中心 产产生的力矩平衡：生的力矩平衡：分别代入分别代入 值可得值可得39OTCDrrbb图图3v所以，所以，O与与C的竖直高度差为的竖直高度差为由图由图3可见可见分别代入分别代入、r、b值值可得可得因为因为COD是等腰三角形，所以是等腰三角形，所以40OTCDrrbb图图3v代入代入b、值值得得又由又由 可得可得DABCabO图图1M或或41例例10 10 解：解：图图1ABO1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2圆柱体圆柱体A、B的受力情况如图的受力情况如图2所示所示.据平衡条件可列出如下平衡方程：据平衡条件可列出如下平衡方程：对对圆柱体圆柱体A有：有：（对（对O1轴）轴）对对圆柱体圆柱体B有：有：（对（对O2轴）轴）注意注意解以上方程可得解以上方程可得42O1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2式式(7)、(8)、(9)、(10)、(11)是平衡时所需要的力是平衡时所需要的力.N1、N2、N3没有问题，但没有问题，但F1、F2、F3却不一定能达到要求，却不一定能达到要求，因为要受到该处摩擦系数的制约因为要受到该处摩擦系数的制约.这三个力只要有一个这三个力只要有一个达不到所要求的值，该处就要发生滑动而不能平衡达不到所要求的值，该处就要发生滑动而不能平衡.43首先首先讨论圆柱体讨论圆柱体B与墙壁的接触点，不发与墙壁的接触点，不发生滑动的要求是（设生滑动的要求是（设B与墙壁的摩擦系数与墙壁的摩擦系数为为2）：）：O1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2由由(7)、(8)式得式得所以所以再再讨论圆柱体讨论圆柱体A与地面的接触点，不发生滑动的要求是与地面的接触点，不发生滑动的要求是（设（设A与地面的摩擦系数为与地面的摩擦系数为1）：）：由图由图2可见可见44O1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2由以上三式及由以上三式及10.20可得：可得：只有满足只有满足(16)式，圆柱体式，圆柱体A才不会在地面滑动才不会在地面滑动.最后最后讨论两个圆柱体的接触点，不发生滑动的要求是讨论两个圆柱体的接触点，不发生滑动的要求是（设（设A与与B的摩擦系数为的摩擦系数为3）：）：45O1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2由由(14)、(15)、(17)式及式及30.30可得：可得：显然显然r的上限为的上限为R，结合，结合(16)、(18)式可得式可得46谢谢