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1 初中三年级数学教案.第二十六章二次函数本章知识要点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题261二次函数本课知识要点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义MM 及创新思维 （1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与 x 的关系式请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义实践与探索 例 1 m 取哪些值时，函数)1()(22mmxxmmy是以 x 为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22mmxxmmy是二次函数，须满足的条件是：02mm解若函数)1()(22mmxxmmy是二次函数，则02mm解得0m，且1m因此，当0m，且1m时，函数)1()(22mmxxmmy是二次函数回顾与反思形如cbxaxy2的函数只有在0a的条件下才是二次函数探索若函数)1()(22mmxxmmy是以 x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；2（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系解（1）由题意，得)0(62aaS，其中 S是 a 的二次函数；（2）由题意，得)0(42xxy，其中 y 是 x 的二次函数；（3）由题意，得10000%98.110000 xy（x0 且是正整数），其中 y 是 x 的一次函数；（4）由题意，得)260(1321)26(212xxxxxS，其中 S 是 x 的二次函数例 3正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积解（1）)2150(4225415222xxxS；（2）当 x=3cm 时，189342252S（cm2）当堂课内练习 1下列函数中，哪些是二次函数？（1）02xy（2）2)1()2)(2(xxxy（3）xxy12（4）322xxy2当 k 为何值时，函数1)1(2kkxky为二次函数？3已知正方形的面积为)(2cmy，周长为 x（cm）(1)请写出 y 与 x 的函数关系式；(2)判断 y 是否为 x 的二次函数本课课外作业 A 组1 已知函数72)3(mxmy是二次函数，求m 的值3 2 已知二次函数2axy，当 x=3 时，y=-5，当 x=-5 时，求 y 的值3 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径x为 3，求此时的y4 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围B 组5对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A22)1(xmyB22)1(xmyC22)1(xmyD22)1(xmy6下列函数关系中，可以看作二次函数cbxaxy2（0a）模型的是（）A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D 圆的周长与圆的半径之间的关系本课学习体会 26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标 (一)知识与技能 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标 (二)过程与方法 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想 3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识 (三)情感态度与价值观 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2具有初步的创新精神和实践能力教学重点 1体会方程与函数之间的联系 2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标4 教学难点 1探索方程与函数之间的联系的过程 2理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系教学过程.创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k 0)和一次函数ykx+b(k 0)后，讨论了它们之间的关系 当一次函数中的函数值y=0 时，一次函数y=kx+b 就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b0 的解现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c0(a 0)和二次函数yax2+bx+c(a 0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22 页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.应用迁移巩固提高 1.根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2.抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围.3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x 轴的交点情况总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系 2理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案课后作业P231.3.5 262二次函数的图象与性质（1）本课知识要点 会用描点法画出二次函数2axy的图象，概括出图象的特点及函数的性质MM 及创新思维 我们已经知道，一次函数12xy，反比例函数xy3的图象分别是、5，那么二次函数2xy的图象是什么呢？（1）描点法画函数2xy的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2xy的图象，你能得出什么结论？实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22xy（2）22xy解列表x-3-2-1 0 1 2 3 22xy18 8 2 0 2 8 18 22xy-18-8-2 0-2-8-18 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图 2621共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点不同点：22xy的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升22xy的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接例 2已知42)2(kkxky是二次函数，且当0 x时，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴解（1）由题意，得02242kkk，解得 k=2（2）二次函数为24xy，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴6 例 3已知正方形周长为Ccm，面积为 S cm2（1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S4 cm2分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内解（1）由题意，得)0(1612CCS列表：C 2 4 6 8 2161CS411 494 描点、连线，图象如图2622（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm（3）根据图象得，当C8cm 时，S 4 cm2回顾与反思（1）此图象原点处为空心点（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分当堂课内练习 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）23xy（2）23xy（3）231xy2（1）函数232xy的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数241xy的开口，对称轴是，顶点坐标是3已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S 表示成 x 的函数，并画出图象的草图本课课外作业 A 组1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象（1）24xy（2）241xy2填空：（1）抛物线25xy，当 x=时，y 有最值，是（2）当 m=时，抛物线mmxmy2)1(开口向下7（3）已知函数1222)(kkxkky是二次函数，它的图象开口，当 x 时，y 随 x 的增大而增大3已知抛物线102kkkxy中，当0 x时，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）作出函数的图象（草图）4已知抛物线2axy经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值B 组5底面是边长为x 的正方形，高为05cm 的长方体的体积为ycm3（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y45 cm36二次函数2axy与直线32xy交于点 P（1，b）（1）求 a、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随 x 的增大而减小7 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于 y 轴对称的点N 的坐标，并求出MON 的面积本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（2）本课知识要点 会画出kaxy2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维 同学们还记得一次函数xy2与12xy的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2xy与12xy的图象之间的关系吗？，那么2xy与22xy的图象之间又有何关系？实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出函数22xy与222xy的图象解列表x-3-2-1 0 1 2 3 8 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623 所示回顾与反思当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy与222xy的图象之间的关系吗？例 2在同一直角坐标系中，画出函数12xy与12xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12xy得到抛物线12xy解列表描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2624 所示22xy18 8 2 0 2 8 18 222xy20 10 4 2 4 10 20 x-3-2-1 0 1 2 3 12xy-8-3 0 1 0-3-8 12xy-10-5-2-1-2-5-10 9 可以看出，抛物线12xy是由抛物线12xy向下平移两个单位得到的回顾与反思抛物线12xy和抛物线12xy分别是由抛物线2xy向上、向下平移一个单位得到的探索如果要得到抛物线42xy，应将抛物线12xy作怎样的平移？例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作)0(22aaxy，又抛物线经过点（1，1），所以，2112a，解得3a故所求函数关系式为232xy回顾与反思kaxy2（a、k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：kaxy2开口方向对称轴顶点坐标0a0a当堂课内练习 1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221xy，2212xy，2212xy观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置你能说出抛物线10 kxy221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2抛物线9412xy的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241xy向平移个单位得到的3 函数332xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 时，函数取得最值，最值 y=本课课外作业 A 组1已知函数231xy，3312xy，2312xy（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标2 不画图象，说出函数3412xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241xy通过怎样的平移得到的3若二次函数22axy的图象经过点（-2，10），求a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4在同一直角坐标系中baxy2与)0,0(babaxy的图象的大致位置是()5已知二次函数7)1(82kxkxy，当 k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式本课学习体会 11 262 二次函数的图象与性质（3）本课知识要点 会画出2)(hxay这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维 我们已经了解到，函数kaxy2的图象，可以由函数2axy的图象上下平移所得，那么函数2)2(21xy的图象，是否也可以由函数221xy平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象221xy，2)2(21xy，2)2(21xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解列表描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2625 所示x-3-2-1 0 1 2 3 221xy292 210 212 292)2(21xy210 212 2258 2252)2(21xy2258 292 210 2112 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线 x=-2 和直线 x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）回顾与反思对于抛物线2)2(21xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当x 时，函数取得最值，最值 y=探索抛物线2)2(21xy和抛物线2)2(21xy分别是由抛物线221xy向左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线2)4(21xy，应将抛物线221xy作怎样的平移？例 2不画出图象，你能说明抛物线23xy与2)2(3 xy之间的关系吗?解抛物线23xy的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3 xy的顶点坐标为（-2，0）因此，抛物线23xy与2)2(3 xy形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2x抛物线2)2(3 xy是由23xy向左平移2 个单位而得的回顾与反思2)(hxay（a、h 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：2)(hxay开口方向对称轴顶点坐标0a0a当堂课内练习 1画图填空：抛物线2)1(xy的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2xy向平移个单位得到的2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象22xy，2)3(2 xy，2)3(2 xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标本课课外作业 A 组1已知函数221xy，2)1(21xy，2)1(21xy（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质13 2 根 据 上 题 的 结 果，试 说 明：分 别 通 过 怎 样 的 平 移，可 以 由 抛 物 线221xy得 到 抛 物 线2)1(21xy和2)1(21xy？3 函数2)1(3 xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 时，函数取得最值，最值 y=4不画出图象，请你说明抛物线25xy与2)4(5 xy之间的关系B 组5将抛物线2axy向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3），求a的值本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（4）本课知识要点 1掌握把抛物线2axy平移至2)(hxay+k 的规律；2会画出2)(hxay+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质MM 及创新思维 由前面的知识，我们知道，函数22xy的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数222xy的图象；函数22xy的图象，向右平移3 个单位，可以得到函数2)3(2 xy的图象，那么函数22xy的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22xy的图象呢？实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象221xy，2)1(21xy，2)1(212xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解列表x-3-2-1 0 1 2 3 221xy292 210 212 292)1(21xy8 292 210 212 14 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2626 所示它们的开口方向都向，对称轴分别为、，顶点坐标分别为、请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(hxay+k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可 根 据 顶 点坐 标 的改变，确定平移前、后的函数关 系 式 及 平 移 的 路径此外，图象的平移与平移的顺序无关2)(hxay+k（a、h、探索你能说出函数k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐 标 吗？试 填 写下表2)(hxay+k 开口方向对称轴顶点坐标0a0a例 2把抛物线cbxxy2向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线2xy，求 b、c 的值分析抛物线2xy的顶点为（0，0），只要求出抛物线cbxxy2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c 的值解cbxxy2cbbbxx442224)2(22bcbx向上平移 2 个单位，得到24)2(22bcbxy，再向左平移4 个单位，得到24)42(22bcbxy，2)1(212xy6 250 23-2 230 15 其顶点坐标是)24,42(2bcb，而抛物线2xy的顶点为（0，0），则0240422bcb解得148cb探索把抛物线cbxxy2向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线2xy，也就意味着把抛物线2xy向下平移 2 个单位，再向右平移4 个单位，得到抛物线cbxxy2 那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试当堂课内练习 1将抛物线1)4(22xy如何平移可得到抛物线22xy（）A向左平移4 个单位，再向上平移1 个单位B向左平移4 个单位，再向下平移1 个单位C向右平移4 个单位，再向上平移1 个单位D向右平移4 个单位，再向下平移1 个单位2把抛物线223xy向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位，所得的抛物线的函数关系式为3抛物线22121xxy可由抛物线221xy向平移个单位，再向平移个单位而得到本课课外作业 A 组1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象23xy，2)2(3 xy，1)2(32xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标2将抛物线522xxy先向下平移1 个单位，再向左平移4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式3将抛物线23212xxy如何平移，可得到抛物线32212xxy？16 B 组4 把抛物线cbxxy2向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位，得到抛物线532xxy，则有（）Ab=3，c=7 Bb=-9，c=-15 Cb=3，c=3 Db=-9，c=21 5抛物线cbxxy23是由抛物线132bxxy向上平移3 个单位，再向左平移2 个单位得到的，求b、c 的值6将抛物线)0(2aaxy向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h0，k0，求所得的抛物线的函数关系式本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（5）本课知识要点 1能通过配方把二次函数cbxaxy2化成2)(hxay+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2会利用对称性画出二次函数的图象MM 及创新思维 我们已经发现，二次函数1)3(22xy的图象，可以由函数22xy的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22xy的开口，对称轴是，顶点坐标是那么，对于任意一个二次函数，如232xxy，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索 例 1通过配方，确定抛物线6422xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图解6422xxy8)1(261)1(26)112(26)2(22222xxxxxx因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）由对称性列表：17 x-2-1 0 1 2 3 4 6422xxy-10 0 6 8 6 0-10 描点、连线，如图2627 所示回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1 为中心，函数值可由对称性得到，（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点探索对于二次函数cbxaxy2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标例 2已知抛物线9)2(2xaxy的顶点在坐标轴上，求a的值分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于0解9)2(2xaxy4)2(9)22(22aax，则抛物线的顶点坐标是4)2(9,222aa当顶点在 x 轴上时，有022a，解得2a当顶点在 y 轴上时，有04)2(92a，解得4a或8a所以，当抛物线9)2(2xaxy的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是 2，4，8当堂课内练习 1（1）二次函数xxy22的对称轴是（2）二次函数1222xxy的图象的顶点是，当 x 时，y 随 x 的增大而减小（3）抛物线642xaxy的顶点横坐标是-2，则a=18 2抛物线cxaxy22的顶点是)1,31(，则a、c 的值是多少？本课课外作业 A 组1已知抛物线253212xxy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象2利用配方法，把下列函数写成2)(hxay+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）162xxy（2）4322xxy（3）nxxy2（4）qpxxy23已知622)2(kkxky是二次函数，且当0 x时，y 随 x 的增大而增大（1）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴B 组4当0a时，求抛物线22212aaxxy的顶点所在的象限5.已知抛物线hxxy42的顶点 A 在直线14xy上，求抛物线的顶点坐标本课学习体会 262 二次函数的图象与性质（6）本课知识要点 1会通过配方求出二次函数)0(2acbxaxy的最大或最小值；2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值MM 及创新思维 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80 元的某种商品按每件100 元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销售量可增加约 10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102xxy那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?实践与探索 19 例 1求下列函数的最大值或最小值（1）5322xxy；（2）432xxy分析由于函数5322xxy和432xxy的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解（1）二次函数5322xxy中的二次项系数20，因此抛物线5322xxy有最低点，即函数有最小值因为5322xxy=849)43(22x，所以当43x时，函数5322xxy有最小值是849（2）二次函数432xxy中的二次项系数-10，因此抛物线432xxy有最高点，即函数有最大值因为432xxy=425)23(2x，所以当23x时，函数432xxy有最大值是425回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值探索试一试，当25x35 时，求二次函数322xxy的最大值或最小值例 2某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150 165 y（件）70 50 35 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量解由表可知 x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200 xy设每日销售利润为s元，则有1600)160()120(2xxys20 因为0120,0200 xx，所以200120 x所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600 元回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果例 3如图 2628，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设 DE=x，DF=y（1）用含 y 的代数式表示AE；（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出S 的最大值解（1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此yDFACAE8（2）由DEBC，得ACAEBCDE，即884yx，所以，xy28，x 的取值范围是40 x（3）8)2(282)28(22xxxxxxyS，所以，当 x=2 时，S有最大值 8当堂课内练习 1对于二次函数mxxy22，当 x=时，y 有最小值2已知二次函数bxay2)1(有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是（）Aab Ba=b Cab D不能确定3某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件（1）若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课外作业 A 组1求下列函数的最大值或最小值（1）xxy22；（2）1222xxy2已知二次函数mxxy62的最小值为1，求 m 的值，21 3心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02xxxyy 值越大，表示接受能力越强（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4不论自变量x 取什么数，二次函数mxxy622的函数值总是正值，求m 的取值范围5如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为 10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为 x m，面积为 S m2（1）求 S 与 x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由6如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段 EF 在对角线 AC 上，EGAD，FH BC，垂足分别是G、H，且 EG+FH=EF（1）求线段 EF 的长；（2）设 EG=x，AGE 与 CFH 的面积和为S，写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出 S 的最小值本课学习体会 26.2 二次函数的图象与性质（7）本课知识要点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式MM 及创新思维 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式例如：我们在确定一次函数)0(kbkxy的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例 函 数)0(kxky的 关 系 式 时，通 常 只 需 要 一 个 条 件：如 果 要 确 定 二 次 函 数)0(2acbxaxy的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索 例 1某涵洞是抛物线形，它的截面如图2629 所示，现测得水面宽16m，涵洞顶点O 到水面的距离为24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以 AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的 y 轴的垂线为x 轴，22 建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2aaxy此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式解由题意，得点B 的坐标为（08，-24），又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2aaxy，得28.04.2a所以415a因此，函数关系式是2415xy例 2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为4分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为cbxaxy2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2xay，再根据抛物线与y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(xxay，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2xay，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2xay，即可求出a 的值解（1）设二次函数关系式为cbxaxy2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到31baba解这个方程组，得a=2，b=-1所以，所求二次函数的关系式是1222xxy23（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2xay，又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到3)10(12a解得4a所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422xxxy（3）因为抛物线与x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(xxay又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3a解得51a所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512xxxxy（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求（2）顶点式：)0()(2akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求（3）交点式：)0)()(21axxxxay，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x、)0,(2x时可利用此式来求当堂课内练习 1根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点 M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）2二次函数图象的对称轴是x=-1，与 y 轴交点的纵坐标是 6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式本课课外作业 A 组24 1已知二次函数cbxxy2的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成khxay2)(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴2已知二次函数的图象与一次函数84xy的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式3某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部 C 离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门4已知二次函数cbxaxy2，当 x=3 时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式B 组5已知二次函数cbxxy2的图象经过（1，0）与（2，5）两点(1)求这个二次函数的解析式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数cbxxy2解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同6抛物线nmxxy22过点（2，4），且其顶点在直线12xy上，求此二次函数的关系式本课学习体会 26.3 实践与探索（1）本课知识要点 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义MM 及创新思维 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004 雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索 例 1如图 2631，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与 水 平 距 离x（m）之 间 的 关 系 是35321212xxy，问此运动员把铅球推出25 多远？解如图，铅球落在x 轴上，则 y=0，因此，035321212xx解方程，得2,1021xx（不合题意，舍去）所以，此运动员把铅球推出了10 米探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面35m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已