高中数学经典例题集.pdf

.-优选高中数学经典例题集第一部分(一道解析几何题)（本题 15 分）已知曲线C是到点)83,21(P和到直线85y距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，xMBlMA,轴（如图）。（）求曲线C的方程；（）求出直线l的方程，使得|2QAQB为常数。（）解：设()N xy，为C上的点，由题设得：22135288xyy化简，得曲线C的方程为21()2yxx（）解法一：设22xxMx，直线:lykxk，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx在RtQMA中，因为222|(1)14xQMx，2222(1)2|1xxkMAk所以222222(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk.2|1|2|2 1xkxQAk，222|2(1)112|QBkkxQAkxk当2k时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xyA B O Q y x l M.-优选解法二：设22xxMx，直线:lykxk，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx 过Q(1 0)，垂直于l的直线11:(1)lyxk因为|QAMH，所以2|1|2|2 1xkxQAk，222|2(1)112|QBkkxQAkxk当2k时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy（不等式经典试题）例 1若10 x，证明)1(log)1(logxxaa（0a且1a）分析 1 用作差法来证明需分为1a和10a两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明解法 1（1）当1a时，因为11,110 xx，所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa（2）当10a时，因为11,110 xx所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa综合（1）（2）知)1(log)1(logxxaa分析 2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号解法 2 作差比较法因为)1(log)1(logxxaaA B O Q y x l M H l1.-优选axaxlg)1lg(lg)1lg()1lg()1lg(lg1xxa)1lg()1lg(lg1xxa0)1lg(lg12xa，所以)1(log)1(logxxaa说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快典型例题二例 2 设0ba，求证：.abbababa分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1 的大小关系，从而证明不等式证明：baabbaabbababababa)(0ba，.0,1baba1)(baba.abbababa.1又0abba，.abbababa.说明：本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例 3 对于任意实数a、b，求证444()22abab（当且仅当ab时取等号）.-优选分析这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2ab，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：222abab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：222abab（当且仅当22ab时取等号）两边同加4444222():2()()ababab，即：44222()22abab（1）又：222abab（当且仅当ab时取等号）两边同加22222():2()()ababab222()22abab2224()()22abab（2）由（1）和（2）可得444()22abab（当且仅当ab时取等号）说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解典型例题四例 4 已知a、b、cR，1abc，求证1119.abc分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把111abc通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如baab，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧证明：1abc111abcabcabcabcabc(1)(1)(1)bcacabaabbcc3()()()bacacbabacbc.-优选22bab aaba b，同理：2caac，2cbbc。11132229.abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的典型例题五例已知cba，求证：accbba1110.分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明accbba1110 只需要证明cbba11ca1cba0,0cbbacacbcaba1,110 cbba11ca1成立accbba1110 成立证明二：(综合法书写过程)cba0,0cbbacaba1ca1cb10 cbba11ca1成立accbba1110 成立说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六例 6若0,0ab，且2cab，求证：.-优选22.ccabaccab分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）证明：为要证22.ccabaccab只需证22cabaccab，即证2accab，也就是22()accab，即证22aacab，即证2()aca ab，0,2,0acab b，2abcab，故2cab即有20cab，又 由2cab可得2()aca ab成立，所求不等式22ccabaccab成立说明：此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证需证”，综合法的书写过程是：“因为（）所以（）”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混典型例题七例 7 若233ba，求证2ba分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法证法一：假设2ba，则)(2)(222233babababababa，而233ba，故1)(22babaabbaab2122从而1ab，2122abba.-优选4222)(222ababbaba2ba这与假设矛盾，故2ba证法二：假设2ba，则ba2，故3333)2(2bbba，即261282bb，即0)1(2b，这不可能从而2ba证法三：假设2ba，则8)(3)(333baabbaba由233ba，得6)(3baab，故2)(baab又2)(2233babababa，)()(22babababaababbaba22，即0)(2ba这不可能，故2ba说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法典型例题八例 8 设 x、y为正数，求证33322yxyx分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法证明：要证33322yxyx，只需证233322)()(yxyx，即证6336642246233yyxxyyxyxx，化简得334224233yxyxyx，0)323(2222yxyxyx0334422yy，032322yxyx0)323(2222yxyxyx原不等式成立说明：1 本题证明易出现以下错误证法：xyyx222，323233332yxyx，然后分(1)1yx；.-优选(2)1yx；(3)1x且10y；(4)1y且10 x来讨论，结果无效2用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是BA，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以典型例题九例 9 已知2122yx，求证32122yxyx分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r2122yx，可设cosrx，sinry，其中2021，r)2sin211(cossin22222rrryxyx由232sin21121，故22223)2sin211(21rrr而21212r，3232r，故32122yxyx说明：1三角代换是最常见的变量代换，当条件为222ryx或222ryx或12222byax时，均可用三角代换2用换元法一定要注意新元的X 围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性典型例题十例 10 设 n 是正整数，求证121211121nnn分析：要求一个 n 项分式nnn212111的 X 围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的X 围，再求整体的X围证明：由),2,1(2nknknn，得nknn1121当1k时，nnn11121；当2k时，nnn12121当nk时，nnnn1121.-优选1212111221nnnnnnn说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境例如证明4712111222n由kkk11112，如果从第3 项开始放缩，正好可证明；如果从第2 项放缩，可得小于 2当放缩方式不同，结果也在变化2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和典型例题十一例 11 已知0ba，求证：bbaabbaaba8)(28)(22分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好证明：欲证bbaabbaaba8)(28)(22，只须证bbaabbaaba4)(24)(22即要证2222)(2bbabaaba，即要证bbabaaba22即要证bbaaba212，即要证bbaaba2即要证121baab，即baab1即要证baab1（*）0ba，（*）显然成立，故bbaabbaaba8)(28)(22说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件分析法通常采用“欲证只要证即证已知”的格式典型例题十二.-优选例 12 如果 x，y，zR，求证：332332332888yxzxzyzyxzyx分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟 知 的 不 等 式 具 有 这 种 转 换 功 能（保 持 两 边 项 数 相 同），由0)()()(222accbba，易 得cabcabcba222，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明证明：242424888)()()(zyxzyx444444xzxyyx222222222)()()(xzzyyx222222222222yxxzxzzyzyyx222222)()()(yzxxyzzxyzxyyzxyzxxyzxyzzxy222222332332332yxzxzyzyx332332332888yxzxzyzyxzyx说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式abba222而得到的左右两边都是三项，实质上是cabcabcba222公式的连续使用如果原题限定x，y，zR，则不等式可作如下变形：)111(333888zyxzyxzyx进一步可得到：zyxyxzzxyzyx111335335335显然其 证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程典型例题十三例 13 已知10a，10b，10c，求证：在accbba)1()1()1(，三数中，不可能都大于41分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明假设命题不成立，则accbba)1()1()1(，三.-优选数都大于41，从这个结论出发，进一步去导出矛盾证明：假设accbba)1()1()1(，三数都大于41，即41)1(ba，41)1(cb，41)1(ac又10a，10b，10c，21)1(ba，21)1(cb，21)1(ac23)1()1()1(accbba又21)1(baba，21)1(cbcb，21)1(acac以上三式相加，即得：23)1()1()1(accbba显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想典型例题十四例 14 已知 a、b、c 都是正数，求证：33322abccbaabba分析：用分析法去找一找证题的突破口要证原不等式，只需证332abccab，即只需证332abcabc把ab2变为abab，问题就解决了或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程证法一：要证33322abccbaabba，只需证332abccbaabba，即332abccab，移项，得332abcabc由 a、b、c 为正数，得332abcababcabc原不等式成立证法二：a、b、c 为正数，3333abcababcababc.-优选即332abcabc，故332abccab332abccbaabba，33322abccbaabba说明：题中给出的2ba，ab，3cba，3abc，只因为 a、b、c 都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当abc时取“”号证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键本题的关键是证明332abcabc典型例题十五例 15 已知0a，0b，且1ba求证：1)1)(1(10bbaaa分析：记)1)(1(10bbaaaM，欲证10M，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三 角 换 元，借 助 三 角 函 数 的 变 换 手 段 将 很 方 便，由 条 件1ba，Rba、可 换 元，围 绕 公 式1tansec22来进行证明：令2seca，2tanb，且20，则)tan1(tan)sec1(secsec1)1)(1(12bbaaa)sincoscossin()coscos1(cos2sincossin1cossincos2220，1sin0，即1)1)(1(10bbaaa成立说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若1x，可设Rx,sin；(2)若122yx，可设cosx，siny，R；(3)若122yx，可设cosrx，sinry，且1r典型例题十六.-优选例 16 已知 x是不等于1 的正数，n 是正整数，求证nnnnxxx12)1)(1(分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2 的因子，因此可考虑使用均值不等式证明：x 是不等于 1 的正数，021xx，nnnxx2)1(又021nnxx将式，两边分别相乘得nnnnnxxxx22)1)(1(，nnnnxxx12)1)(1(说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利由特点选方法是解题的关键，这里因为1x，所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果这也是今后解题中要注意的问题典型例题十七例 17 已知，x，y，zR，且1zyx，求证3zyx分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法证明：要证3zyx，只需证3)(2yzxzxyzyx，只需证1yzxzxy x，y，zR，xyyx2，xzzx2，yzzy2，)(2)(2yzxzxyzyx，1yzxzxy成立3zyx.-优选说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果 在题中得到只需证1yzxzxy后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的典型例题十八例 18 求证2131211222n分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n下手考查即可证明：)2(111)1(11112nnnnnnnn，312121111131211222n212111nnn说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键典型例题十九例 19 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若BCA2，求证4442bca分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化证明：BBCA2，21cos3BB，由余弦定理得accaBaccab22222cos2acbca222，22222442)(cacaca=)2)(2(2222accaacca)12()12(22acbacb22242cabacb44222)(bbbac说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式CabSsin21本题应.-优选用知识较为丰富，变形较多这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养第二部分本题主要考查求曲线的轨迹方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15 分21（本题满分15 分）已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1（I）求椭圆1C的方程；（II）设点P在抛物线2C：2()yxh hR上，2C在点P处的切线与1C交于点,M N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：（I）由题意得212,121babba所求的椭圆方程为2214yx，（II）不妨设21122(,),(,),(,),M xyN xyP t th则抛物线2C在点 P处的切线斜率为2x tyt，直线MN：22ytxth，代入椭圆1C得：2224(2)40 xtxth，即222224 14()()40txt th xth，4221162(2)40thth，因线段 MN 的中点与线段PA的中点的横坐标相等则：2122()122(1)2xxt thtt1112htttt或12tt1h或3h；.-优选当3h时，4221162(2)40thth不成立；因此1h，当1h时，得1t，代入4221162(2)40thth成立，因此h的最小值为1典型例题一例 1 比较33x与x3的大小，其中Rx解：xx3)3(2332xx，3)23()23(3222xx，43)23(2x，043，xx332说明：由例 1 可以看出实数比较大小的依据是：baba0；baba0；baba0典型例题二.-优选例 2 比较16x与24xx的大小，其中Rx解：)()1(246xxx1246xxx，)1()1(224xxx，)1)(1(42xx，)1)(1)(1(222xxx，)1()1(222xx，当1x时，2461xxx；当1x时，.1246xxx说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，XX 省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0最后得结论概括为“三步，结论”，这里的“变形”一步最为关键典型例题三例 3Rx，比较)12)(1(2xxx与)21(x（12xx）的大小分析：直接作差需要将)12)(1(2xxx与)21(x（12xx）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差解：)12)(1(2xxx=)1(x（122xxx）)1(2)1)(1(2xxxxx，)1)(211()1)(21(22xxxxxx)1(21)1)(1(22xxxxx，)1)(21()12)(1(22xxxxxx021)1(21)1(212xxxx则有Rx时，)12)(1(2xxx)21(x（12xx）恒成立说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断.-优选符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差典型例题四例 4 设Rx，比较x11与x1的大小解：作差xxxx1)1(112，1）当0 x时，即012xx，xx111；2）当01x，即1x时，012xx，xx111；3）当01x但0 x，即01x或0 x时，012xx，xx111说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号此时要注意分类合理恰当典型例题五例 5 比较1618与1816的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：1616162161816)289()21()89(161)1618(1618.1618,016,1)289()1,0(28918161816说明：求商法比大小的变形要围绕与1 比大小进行典型例题六.-优选例 6 设0,0ba，且ba，比较：baba与abba的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解：baabbaabbababababa)(当0ba时，0,1baba，1)(baba当0ab时，0,10baba1)(baba1)(baba即1abbababa，又0abba，abaababa说明：求商法的基本步骤是：求商，变形，与1 比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例 7 实数dcba、满足条件：dcba,；0cbca；0dbda，则有()AbdcaBdbacCdbcaDbdac（XX 市 2001 年南开中学期末试题）分析：先由条件分析出ba、与dc、的关系，根据条件利用用数轴数形结合比出大小解：0cbca，ba、与c同侧0dbda，ba、与d异侧dcba,把dcba、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出bdac，此题选D说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用典型例题八例 8已知11ba；31ba，求：ba3的取值 X 围分析：此题是给代数式的字母的X 围，求另外代数式的X 围分为两步来进行：(1)利用待定系数法将.-优选代数式ba3用ba和ba表示(2)利用不等式性质及题目条件确定ba3的 X 围解：设：byxayxbaybaxba)()()()(32113yxyxyx由+2 得：231)(2)(21baba即：731ba说明：此题的一种典型错误做法，如下：,31,11baba420a，即：20a02413,11babba即：02b830,20,630baba此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当ba取到最大值或最小值时，ba不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的X围避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程典型例题九例 9判断下列各命题的真假，并说明理由（1）若22bcac，则.ba（2）若ba，则.11ba（3）若0,cba，则.bcac（4）若dcba,，则.dbca（5）若caba,0，则.2bca（6）若Nmba,，则.mmba分析：利用不等式的性质来判断命题的真假.-优选解：（1）0222cbcacbabcacc22201，是真命题（2）可用赋值法：2,3 ba，有ba11，是假命题也可这样说明：ababba11，ba，只能确定0ab，但ab的符号无法确定，从而ba11的符号确定不了，所以ba11无法得到，实际上有：.110,baabba.110,baabba（3）与（2）类似，由babcaccba011，从而bcacba是假命题（4）取特殊值：.3,2,1,5dcba有dbca，是假命题定理3 的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立只有异向不等式可相减，即.,dbcadcba（5）bcabcabbcaabaaba22000，是真命题（6）定理 4 成立的条件为必须是正数举反例：2,4,3mba，则 有.mmba说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例典型例题十例 10求证：.0,011,bababa分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理证明：利用不等式的性质，得.-优选00011110ababbaabbababa.0,0异号,bababa典型例题十一例 11若dcba,，则下面不等式中成立的一个是（）（A）cbda（B）bdac（C）dbca（D）bcad解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）正是异向不等式相减的结果.bcadcddcbaba说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用典型例题十二例 12若11，则下面各式中恒成立的是（）（A）02（B）12（C）01（D）11分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11，11和，根 据 不 等式 的 性质，可 得11，0，继 而 得 到22且0，故02，因此选 A典型例题十三例 13 若cba，则一定成立的不等式是（）AcbcaBacabCcbcaDcba111分析：A 错，当0,cba时有cbca；同样 B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对.-优选故选 C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c），原不等式成立说明：这类题可以采用特例法：令0c即得 C成立典型例题十四例 14已知：0cfeba，求证：bceacf分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理证明：，bcaccba0bcac又，ef由同向加性可得：bceacf说明：此题还可采用异向减性来处理：，bceacfbcacef做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用典型例题十五例 15 已知集合,2|145|A2AyyxxBxxxRI，求：BA分析：要求BA，需要先求集合A和B，从已知来看，A的 X 围容易求，B的元素由Ay可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质解：,01452RIxx且.72x.7201452xxxxxA.72,yAy,2|.524yxy.5|,5|4xx.55x.55xxB.52xxBA说明：本题中的条件RI，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况比如，72x的实数和72x的整数显然是有区别的另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清.-优选典型例题十六例 16 设a和b都是非零实数，求不等式ba和ba11同时成立的充要条件分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论如果分开讨论，则ba成立的条件就是ba本身；而ba11成立的条件则是a 与b同号，且ba，但这个条件只是ba11的一个充分条件，并且与第一个不等式ba是矛盾的所以必须研究这两个不等式同时成立的条件显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手解：先求ba，ba11同时成立的必要条件，即当ba，ba11同时成立时，a与b应具备什么条件由baba11,，得.0,0ababba由0ba可知0ab，再由0abab知0ab，即a与b异号，因此ba0是不等式ba与ba11同时成立的必要条件再求ba，ba11同时成立的充分条件事实上，当ba0时，必有ba，且01,01ba，因而ba11成立从而ba0是不等式ba，ba11同时成立的充分条件因此，两个不等式ba，ba11同时成立的充要条件是ba0说明：本题结果表明，ba与ba11同时成立，其充要条件是a为正数，b为负数这与ba11成立的条件0ab，ab不要混淆解本题是从必要条件入手的，即若ba，ba11同时成立，则要研究从不等式ba11和ba看a与b的 大小有什么关系，从中得出结论（ba0），再把这个结论作为一个充分条件去验证ba及ba11能否同时成立从而解决了本题典型例题十七.-优选例 17已知函数caxxf2)(满足：.5)2(1,1)1(4ff则)3(f应满足（）（A）26)3(7f（B）15)3(4f（C）20)3(1f（D）335)3(328f分析：如果能用)1(f与)2(f将)3(f“线性”表示出：)2()1()3(nfmff，就可利用不等式的基本性质，由)1(f、)2(f的取值 X围，推出)3(f满足的条件解：,4)2(,)1(cafcaf)1(4)2(31),1()2(31ffcffa故)1(4)2(31)1()2(39)3(ffffcaf)1(35)2(38ff由不等式的基本性质，得.20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4fffff故选（C）.说明：（1）也可设)2()1()3(nfmff，由代定系数法求得35m，38n（2）下面的错误是值得引以为戒的,4)2(,)1(cafcaf5415)2(14141)1(4cafaccaf714130930cacaa又.9)3(caf.26)3(7171,279030fccaa故选（A）上述推理错误产生的原因是由于将条件.-优选5)2(11)1(4ff化为7130ca使a、c的取值 X 围扩大所致事实上，作为点集与711,30),(acaN之间的关系是NM，如图点集N 是 图中乱世形OABD所围成的区域，点集 M 是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了NM，揭示了上述解法的错误第三部分本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分(21)（本题满分15 分）已知1m，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，12,FF分别为椭圆C的左、右焦点.（）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（）设直线l与椭圆C交于,A B两点，12AF F，12BF F的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，XX数m的取值 X围.GH O,G H（）解：因为直线:l202mxmy经过22(1,0)Fm，所以2212mm,得22m，又因为1m，所以2m，故直线l的方程为210 xy。（）解：设1122(,),(,)A xyB xy，.-优选由222221mxmyxym，消去x得222104mymy则由2228(1)804mmm，知28m，且有212121,282mmyyyy。由于12(,0),(,0),FcFc由题可知1122(,),(,),3333xyxyGH因原点O在以线段GH为直径的圆内1212099x xy yOG OH即12120 x xy y而2212121212()()22mmx xy ymymyy y221(1()82mm）所以21082m，即24m。又因为1m且0，所以12m。所以m的取值 X围是(1,2)。典型例题一例 1 解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx分析：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：（1）原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标上数轴然后从右上开始画线顺.-优选次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为3025xxx或（2）原不等式等价于2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或原不等式解集为2455xxxx或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图典型例题二例 2 解下列分式不等式：（1）22123xx；（2）12731422xxxx分析：当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形0)()(0)()(xgxfxgxf0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或（1）解：原不等式等价于.-优选0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx用“穿根法”原不等式解集为,62,1)2,(。（2）解法一：原不等式等价于027313222xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222xxxxxxxxxxxxxxx或或或原不等式解集为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(xxxx0)2()13)(1)(12(xxxx用“穿根法”原不等式解集为),2()1,21()31,(典型例题三例 3 解不等式242xx分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa二是根据绝对值的性质：axaxaxaax.,或ax，因此本题有如下两种解法.-优选解法一：原不等式240424042222xxxxxx或即1222222xxxxxxx或或或32x或21x故原不等式的解集为31xx解法二：原不等式等价于24)2(2xxx即)2(42422xxxx312132xxxx故或典型例题四例 4 解不等式04125622xxxx分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：041205622xxxx或041205622xxxx所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：0412,05622xxxx或0412,05622xxxx;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx或;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx；62,51xx或6,2,5,1xxxx或或,51x或2x或6x原不等式解集是 6512xxxx，或，或解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(xxxx.-优选画数轴，找因式根，分区间，定符号)6)(2()5)(1(xxxx符号原不等式解集是 6512xxxx，或，或说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中，“定符号”是关键当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用典型例题五例 5 解不等式xxxxx222322分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0 再解解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2xxxxx由012xx恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(xxx解之，得原不等式的解集为 321xxx或说明：此题易出现去分母得)23(2222xxxxx的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理