2019年中考数学选择填空压轴题 专题5 三角形综合问题.doc

1专题专题 0505 三角形综合问题三角形综合问题例 1如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合） ，BC43点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个同类题型同类题型 1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论：EMDN；S四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（ ）S13A1 个 B2 个 C3 个 D4 个同类题型同类题型 1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（ ） A当B为定值时，CDE为定值 B当1 为定值时，CDE为定值C当2 为定值时，CDE为定值 D当3 为定值时，CDE为定值同类题型同类题型 1.3 如图，在ABC中，BAC120°，点D、E都在边BC上，ABAC2 3DAE60°若BD2CE，则DE的长为_例 2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ABBC，E为AB边上一点，BCE15°，且 AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；EH2EB；其中正确的结论是_S S EH CD2同类题型同类题型 2.1 如图所示，已知：点A（0，0） ，0） ，C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一B（ 3边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第 1 个，第 2 个，第 3 个AABBAB，则第n个等边三角形的边长等于_BAB同类题型同类题型 2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转 60°得到P'C，连接AP'，则 sinPAP'的值为_例 3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F， 过点O作ODAC于 D下列四个结论：A；以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；BOC90° 12EF是ABC的中位线；设ODm，AEAFn，则mn其中正确的结论是（ ）S 12A B C D同类题型同类题型 3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（ ） A B C D14153 22 3同类题型同类题型 3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线 OM、ON上滑动，下列结论： 若C、O两点关于AB对称，则；C、O两点距离的最大值为 4；OA23若AB平分CO，则ABCO；斜边AB的中点D运动路径的长为； 2其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上） 3同类题型同类题型 3.3 如图，直角ABC中，B30°，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）MO MFA B C D1 2542 333例 4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为_AG FD同类题型同类题型 4.1 如图，已知是ABC的中线，过点 作AC交BC于点 ，连接交于点 ；过点 作COOOEEAECOOO AC交BC于点 ，连接交于点 ；过点 作AC交BC于点 ，如此继续，可以依次得到点 ，OEEAECOOOOEEO ， 和点 ，则_ACOOE EEOE同类题型同类题型 4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是，AM 131 12则的值是_1 tanACH4例 5 如图，ABC的面积为S点 ， 是边BC的n等分点（n3，且n为整数） ，点M，N分P P PP别在边AB，AC上，且，连接， ， ， ，连接NB， ， ， ，线段与NB相交于AM AB AN AC 1 nMP MP MPMPNP NPNPMP 点 ，线段与相交于点 ，线段与相交于点 ，线段与相交于点 ，则，DMPNPDMPNPDMPNPDNDPNDP ，的面积和是 _ （用含有S与n的式子表示）NDPNDP同类题型同类题型 5.1 如图，四边形ABCD是边长为 9 的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B 处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是（ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5同类题型同类题型 5.2 如图，ABC中，BAC90°，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得 到AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）A2 B C D5 45 37 5同类题型同类题型 5.3 如图，在RtABC中，A90°，ABAC，1，点M，N分别是边BC，AB上的动BC 2 点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM 的长为_同类题型同类题型 5.4 如图，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点 F，若AB9，DF2FC，则BC_ （结果保留根号）5参考答案参考答案 例 1如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合） ，BC4 3点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个解：BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有 2 个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径 的圆的交点即是点P；BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有 2 个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为 半径的圆的交点即是点P； 以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心 BC为半径的圆没有交点 选 C同类题型同类题型 1.1 如图，在钝角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACF，EM平分AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF下列结论：EMDN；S四边形ABDN；DEDF；DEDF其中正确的结论的个数是（ ）S 13A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解：D是BC中点，N是AC中点， DN是ABC的中位线，DNAB，且AB；DN12三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB交AB于点M， M是AB的中点，AB，EM126又AB，DN12EMDN， 结论正确；DNAB， CDNABC，AB，DN12，S14SS_(四边形ABDN)，S13结论正确；如图 1，连接MD、FN，D是BC中点，M是AB中点， DM是AB C的中位线，DMAC，且AC；DM12三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，AC，FN12又AC，DM12DMFN， DMAC，DNAB， 四边形AMDN是平行四边形， AMDAND， 又EMAFNA90°， EMDDNF， 在EMD和DNF中，EMDN EMDDNF MDNF)EMDDNF， DEDF， 结论正确； 如图 2，连接MD，EF，NF，7三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分AEB， M是AB的中点，EMAB， EMMA，EMA90°，AEMEAM45°，EM EAsin45°22D是BC中点，M是AB中点， DM是ABC的中位线，DMAC，且AC；DM12三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，AC，FNA90°，FANAFN45°，FN12又AC，DM12FA，DMFN22EMDEMAAMD90°AMD， EAF360°EAMFANBAC 360°45°45°（180°AMD） 90°AMD EMDEAF， 在EMD和EAF中，EM EADM FA22 EMDEAF)EMDEAF， MEDAEF， MEDAED45°， AEDAEF45°， 即DEF45°， 又DEDF， DFE45°， EDF180°45°45°90°， DEDF， 结论正确 正确的结论有 4 个： 选 D同类题型同类题型 1.2 如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若BC，ADEAED，则（ ）8A当B为定值时，CDE为定值B当1 为定值时，CDE为定值C当2 为定值时，CDE为定值D当3 为定值时，CDE为定值解：在CDE中，由三角形的外角性质得，AEDCDEC， 在ABD中，由三角形的外角性质得，B1ADCADECDE， BC，ADEAED， B1CDECCDE2CDEB， 12CDE， 当1 为定值时，CDE为定值 选 B同类题型同类题型 1.3 如图，在ABC中，BAC120°，点D、E都在边BC上，ABAC2 3DAE60°若BD2CE，则DE的长为_解：将ABD绕点A逆时针旋转 120°得到ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示，BAC120°，ABAC2 3ACBBACF30°， ECG60° CFBD2CE， CGCE， CEG为等边三角形， EGCGFG，CGE30°，EFGFEG12CEF为直角三角形 BAC120°，DAE60°， BADCAE60°， FAEFACCAEBADCAE60°在ADE和AFE中，ADAF DAEFAE60° AEAE)9ADEAFE（SAS） ， DEFE 设ECx，则BDCD2x，DEFE63x， 在RtCEF中，CEF90°，CF2x，ECx， x，EFCFEC 3x，63x 3，x3 33DE 3x3 3例 2如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ABBC，E为AB边上一点，BCE15°，且 AEAD连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE为等边三角形；EH2EB；其中正确的结论是_S S EH CD解：ABC90°，ABBC， BACACB45°， 又BAD90°， BACDAC， 在ACD和ACE中，ADAE EACDAC ACAC)ACDACE（SAS） ；故正确； 同理AED45°，BEC90°BCE90°15°75°， DEC60°， ACDACE， CDCE， CDE为等边三角形故正确 CHE为直角三角形，且HEC60° EC2EH ECB15°， EC4EB， EH2EB；故错误 AEAD，CECD， 点A与C在DE的垂直平分线上， AC是DE的垂直平分线， 即ACDE， CECH， CDCE， CDCH， BAC45°，10AHEH，S SAH CHEH CH，故错误S SEH CD答案为：同类题型同类题型 2.1 如图所示，已知：点A（0，0） ，0） ，C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一B（ 3边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第 1 个，第 2 个，第 3 个AABBAB，则第n个等边三角形的边长等于_BAB解：，OC1，OB 3BC2， OBC30°，OCB60° 而为等边三角形，60°，AABAAB30°，则O90°COACA在中，RtCAAAA32OC32同理得：，BA12AB32依此类推，第n个等边三角形的边长等于32同类题型同类题型 2.2 如图，点P在等边ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转 60°得到P'C，连接AP'，则 sinPAP'的值为_解：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转 60°得到P'C， CPCP6，PCP60°，11CPP为等边三角形， PPPC6， ABC为等边三角形， CBCA，ACB60°， PCBPCA， 在PCB和PCA中，PCPC PCBPCA CBCA)PCBPCA， PBPA10， ，6810，PPAPPAAPP为直角三角形，APP90°，sinPAPPPPA6 103 5同类题型同类题型 2.4 例 3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F， 过点O作ODAC于 D下列四个结论：A；BOC90° 12以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切； EF是ABC的中位线；设ODm，AEAFn，则mnS 12其中正确的结论是（ ） A B C D解：在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，ABC，ACB，AABCACB180°，OBC12OCB12A，OBCOCB90°12A；故正确；BOC180°（OBCOCB）90°1212过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA， 在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O， ONODOMm，mn；故正确；SSS12AEOM1 2AFOD1 2OD（AEAF）1 2在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O， EBOOBC，FCOOCB， EFBC， EOBOBC，FOCOCB， EBOEOB，FOCFCO， EBEO，FOFC， EFEOFOBECF， 以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故正确， 根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故正确， 其中正确的结论是 选 D 同类题型同类题型 3.1 如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD的长为（ ） A B C D14153 22 3解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交A于F，连接DFDCAB， ，DFBCDFCB1，BF224， FB是A的直径， FDB90°， BDBFDF 15选 B同类题型同类题型 3.2 如图，在RtABC中，BC2，BAC30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线 OM、ON上滑动，下列结论： 若C、O两点关于AB对称，则；OA2 3C、O两点距离的最大值为 4； 若AB平分CO，则ABCO；13斜边AB的中点D运动路径的长为； 2其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上） 解：在RtABC中，BC2，BAC30°， AB4，AC4223若C、O两点关于AB对称，如图 1，AB是OC的垂直平分线， 则；OAAC23所以正确； 如图 1，取AB的中点为E，连接OE、CE， AOBACB90°，AB2，OE = CE =1 2当OC经过点E时，OC最大， 则C、O两点距离的最大值为 4； 所以正确； 如图 2，当ABO30°时，OBCAOBACB90°，四边形AOBC是矩形， AB与OC互相平分， 但AB与OC的夹角为 60°、120°，不垂直，14所以不正确；如图 3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以 2 为半径的圆周的 ，1 4则：，90× 2 180所以不正确； 综上所述，本题正确的有：同类题型同类题型 3.3 如图，直角ABC中，B30°，点O是ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）MO MFA B C D1 2542 333解：点O是ABC的重心，CE，OC23ABC是直角三角形， CEBEAE， B30°， FAEB30°，BAC60°， FAECAF30°，ACE是等边三角形，CE，CM12CE，即AE，OM23CE1 2CE1 6OM16BEAE，AE，EF33EFAB，15AFE60°， FEM30°，EF，MF12AE，MF36MO MF1 6AE36AE33选 D例 4如图，在ABC中，4AB5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FGFD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为_AG FD解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h，BD CDS S1 2ABh 1 2AChABAC5 4CDBD54如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AMAB，则有AC4CM连接DM 在ABD与AMD中，ABAM BADMAD ADAD)ABDAMD（SAS） ，CDMDBD54过点M作MNAD，交EG于点N，交DE于点K16MNAD，CK CDCM AC1 4CD，CK14CDKD54MDKD，即DMK为等腰三角形， DMKDKM 由题意，易知EDG为等腰三角形，且12； MNAD， 3412， 又DKM3（对顶角） DMK4， DMGN， 四边形DMNG为平行四边形， MNDG2FD 点H为AC中点，AC4CM，AH MH2 3MNAD，即，AG MNAH MHAG 2FD2 3AG FD4 3同类题型同类题型 4.1 如图，已知是ABC的中线，过点 作AC交BC于点 ，连接交于点 ；过点 作COOOEEAECOOOAC交BC于点 ，连接交于点 ；过点 作AC交BC于点 ，如此继续，可以依次得到点 ，OEEAECOOOOEEO， 和点 ，则_ACOOE EEOE解：AC，OEBAC，BCA，BOEBEOBAC，BOEBO BAOE AC是ABC的中线，COBO BAOE AC1 2AC，OE，OEOCAOEOOACO17，EOOACOEO ACEO AO1 2AC，OE，EO EAOE AC1 3ACOE13同理：ACOE1 n1OE1 201611 2017同类题型同类题型 4.2 如图，过锐角ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线于点F在AF上取点M，使得AF，连接CM并延长交直线DE于点H若AC2，AMH的面积是，AM 131 12则的值是_1 tanACH解：过点H作HGAC于点G，AF平分CAE，DEBF， HAFAFCCAF， ACCF2，AF，AM13，AM MF1 2DECF， AHMFCM，AM MFAH CFAH1， 设AHM中，AH边上的高为m， FCM中CF边上的高为n，m nAM MF1 2AMH的面积为：，1 1218AHm1 121 2，m16，n13设AHC的面积为S，3，S Smn m，S3S14，1 2ACHG1 4，HG14由勾股定理可知：，AG154CGACAG21541 tanACHCG HG8 15例 5 如图，ABC的面积为S点 ， 是边BC的n等分点（n3，且n为整数） ，点M，N分P P PP别在边AB，AC上，且，连接， ， ， ，连接NB， ， ， ，线段与NB相交于AM AB AN AC 1 nMP MP MPMPNP NPNPMP点 ，线段与相交于点 ，线段与相交于点 ，线段与相交于点 ，则，DMPNPDMPNPDMPNPDNDPNDP，的面积和是 _ （用含有S与n的式子表示）NDPNDP解：连接MN，设BN交于 ，交于 ，交于 MPOMPNPOMPNPO，AM ABAN AC1 n19MNBC，MN BCAM AB1 n点 ， 是边BC的n等分点，P P PP，MNBPPPPP四边形B，四边形，四边形都是平行四边形，MNPMNPPMNPP易知S，S，S，S1nSn1nSn1nS，SOSPOSPOn12nS（n1）SSSSS（n1）SOSCn1nn1 2nn1 n(n1) 2n同类题型同类题型 5.1 如图，四边形ABCD是边长为 9 的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B 处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是（ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5解：设AMx，连接BM，MB， 在RtABM中，ABAMBM在RtMDB中，BMMDDBMBMB， ，ABAMBMBMMDDB即，9x（9x）（93）解得x2， 即AM2， 故选 B同类题型同类题型 5.2 如图，ABC中，BAC90°，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得 到AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）A2 B C D5 45 37 520解：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC4，AB3， 5，BC 34CDDB，ADDCDB52ABAC，1 2BCAH1 2，AH125AEAB， 点A在BE的垂直平分线上 DEDBDC， 点D在BE使得垂直平分线上，BCE是直角三角形， AD垂直平分线段BE，BDAH，1 2ADBO1 2，OB125，BE2OB245在RtBCE中，ECBCBE 5(F(24,5)75选 D同类题型同类题型 5.3 如图，在RtABC中，A90°，ABAC，1，点M，N分别是边BC，AB上的动BC 2点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM 的长为_解：如图 1，21当BMC90°，B与A重合，M是BC的中点，；BM12BC1 2212如图 2，当MBC90°，A90°，ABAC， C45°， CMB是等腰直角三角形， MB，CM 2沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B， BMBM， BM，CM 21，BC 21，CMBM 2BMBM 2BM1，综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为或 11 2212同类题型同类题型 5.4 如图，在矩形ABCD中，B的平分线BE与AD交于点E，BED的平分线EF与DC交于点 F，若AB9，DF2FC，则BC_ （结果保留根号）解：延长EF和BC，交于点G22矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E， ABEAEB45°， ABAE9， 直角三角形ABE中，BE 999 2又BED的角平分线EF与DC交于点F， BEGDEFADBC GDEF BEGGBGBE9 2 由GDEF，EFDGFC，可得EFDGFCCG DECF DFCF 2CF1 2设CGx，DE2x，则AD92xBC BGBCCG 92xx9 2解得3x3 23BC92（3 23）6 2