定态波函数.ppt
第三章 量子力学初步v 1900 1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化v 1913 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态年，玻尔，氢原子光谱，量子态v 1925 1925年，海森堡、玻恩、约旦，狄拉克年，海森堡、玻恩、约旦，狄拉克 矩阵力学矩阵力学v 19261926年，薛定谔年，薛定谔 波动力学波动力学v 19271927年，海森堡年，海森堡 不确定关系不确定关系v 1924 1924年，德布罗意，物质波假说年，德布罗意，物质波假说 发展简介v 1905 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子年，爱因斯坦，光电效应，光量子De BroglieW HeisenbergE SchroedingerPAM Dirac1.动量动量 坐标不确定关系坐标不确定关系微观粒子的位置坐标微观粒子的位置坐标 x、动量、动量 分量分量 px不能同时不能同时具有确定的值。具有确定的值。一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。分别是分别是 x、px 的不确定量，其乘积的不确定量，其乘积下面借助电子单缝衍射试验加以说明。下面借助电子单缝衍射试验加以说明。3.1 Heisenberg不确定关系不确定关系 pxx电子经过狭缝，其坐标电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为的不确定量为 x ；大部分大部分电子落在中电子落在中央明纹央明纹电电子子束束x 动量分量动量分量 px的的不不确定量为确定量为0电子经过狭缝，其坐标电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为的不确定量为 x；电电子子束束xx减小缝宽减小缝宽 x,x 确定的越准确确定的越准确px的不确定度的不确定度,即即px越大越大 粒子的波动性粒子的波动性 不确定关系不确定关系 原子的线度约为原子的线度约为 10-10 m，求原子中电子速度的不确定量。，求原子中电子速度的不确定量。电子速度的不确定量为电子速度的不确定量为原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系，由不确定关系例例解解 vx基态氢原子中电子能量基态氢原子中电子能量13.6eVeV，速率约为，速率约为 106 m/s。速率不。速率不确定量与速率本身确定量与速率本身的的数量级基本相同，因此原子中电子的位数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。思考：思考：如果电子在如果电子在1014米的核内，电子的能量有多大？米的核内，电子的能量有多大？说明说明例：例：氦氖激光器所发红光波长氦氖激光器所发红光波长 =632.8 nm,谱线宽度谱线宽度 =10-9 nm求：求：当这种光子沿当这种光子沿 x 方向传播时，它的坐标不确定度方向传播时，它的坐标不确定度(波列长度波列长度)。解：解：子弹（子弹（m=0.10 g,v=200 m/s）穿过）穿过 0.2 cm 宽的狭缝。宽的狭缝。例例解解求求 沿缝方向子弹的速度不确定量。沿缝方向子弹的速度不确定量。子弹速度的不确定量为子弹速度的不确定量为由不确定关系，求一维谐振子基态能量由不确定关系，求一维谐振子基态能量2.能量与时间的不确定性关系能量与时间的不确定性关系2.能量能量 时间不确定关系时间不确定关系反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度DE 和原子在该和原子在该能级的平均寿命能级的平均寿命 Dt 之间的关系。之间的关系。基态基态辐射光谱线固有宽度辐射光谱线固有宽度激发态激发态 E基态基态寿命寿命 Dt光辐射光辐射能级宽度能级宽度平均寿命平均寿命 Dt 10-8 s平均寿命平均寿命 Dt 能级宽度能级宽度 DE 0谱线的自然线宽是没有任何办法能消除的，实际上，能级寿命有时受到外界条件影响，如气体原子间碰撞，碰撞使得激发态原子损失激发能，激发态寿命缩短，依据不确定关系，激发态能级宽度就变大，因此谱线的实际宽度常常大于自然线宽。为了减少碰撞，光谱研究中往往将光源处于低气压状态。3.2 薛定谔波动方程薛定谔波动方程 一一.自由粒子波动方程自由粒子波动方程 对对 x 求二次偏导求二次偏导 同理对同理对 y，z 求二次偏导得求二次偏导得Laplace 算符算符对对 t 求一次偏导求一次偏导 自由粒子自由粒子:二二.薛定谔方程薛定谔方程(1926年年)质质量量 m 的的粒粒子子在在外外力力场场中中运运动动，势势能能函函数数 V(r,t)，薛定谔方程为，薛定谔方程为 薛定谔方程薛定谔方程 描述描述低速，低速，在外力场中运动的微观粒子的微分方程在外力场中运动的微观粒子的微分方程（即对应的波函数满足的微分方程）（即对应的波函数满足的微分方程）薛定谔方程是量子力学中的基本方程，不可能由更基本的原理推导。薛定谔方程是量子力学中的基本方程，不可能由更基本的原理推导。The Nobel PrizeThe Nobel Prizein Physics 1933in Physics 1933粒子在稳定力场中运动，势能函数粒子在稳定力场中运动，势能函数 V(r)、能量、能量 E 不随时间不随时间变化，粒子处于变化，粒子处于定态定态。定态下，用分离变量可将波函数写为。定态下，用分离变量可将波函数写为l 定态、定态波函数、定态薛定谔方程定态、定态波函数、定态薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程两边除以两边除以定态波函数定态波函数写为写为定态薛定谔方程定态薛定谔方程说明说明(1)定态中定态中E 不随时间变化，粒子有确定的能量不随时间变化，粒子有确定的能量。(2)(2)定态时，概率密度在空间上的分布稳定定态时，概率密度在空间上的分布稳定l 代表力学量的算符代表力学量的算符由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子的状态需要用波函数来描由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子的状态需要用波函数来描述。微观粒子的述。微观粒子的力学量力学量用算符描述用算符描述。算符算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号运算符号。如如若若则则:若若则则:在量子力学中在量子力学中,每一个每一个力学量力学量都有对应的都有对应的算符算符.v 表示动量的算符表示动量的算符v 表示动量的算符表示动量的算符v 表示能量的算符表示能量的算符定态薛定谔方程定态薛定谔方程可写为可写为本征值方程。本征值方程。E 称能量本征称能量本征值，值，称对应能量本征函数称对应能量本征函数v 表示角动量的算符表示角动量的算符角动量算符角动量算符在球极坐标系下在球极坐标系下总角动量平方算符总角动量平方算符球谐函数球谐函数Ylm(q q,f f)是是L2和和Lz的共同本征函数的共同本征函数一一.一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子 0 x a 区域，定态薛定谔方程为区域，定态薛定谔方程为x0 aV(x)势能函数势能函数令令V(x)=0 0 x aV(x)=0 a0 x 或或 x U0)情形下的反射系数情形下的反射系数R 和透射系数和透射系数T入射粒子一部分透射到达入射粒子一部分透射到达III 区，另一部分被势垒反射回区，另一部分被势垒反射回I 区区 讨论讨论(1)E U0,R0,即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入非全部透射进入 III 区，仍有一定概率被反射回区，仍有一定概率被反射回 I 区。区。(2)E U0,这时这时 k2 是虚数，可令是虚数，可令0 aU0 EE 1,则透射系数则透射系数(3)透射系数透射系数T 随势垒宽度随势垒宽度a、粒子质量、粒子质量m 和能量差和能量差U0-E 变化，随着变化，随着势垒势垒的的加宽、加高透射系数减小。加宽、加高透射系数减小。粒子类型粒子类型粒子能量粒子能量势垒高度势垒高度势垒宽度势垒宽度透射系数透射系数电子电子1eV2eV510-10m0.0241eV2eV210-10m0.51质子质子1eV2eV210-10m310-38扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理：原理：0.1nm(横横),0.01nm(纵纵)1986年，宾尼博士和罗雷年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。斯卡获诺贝尔物理学奖。单个氙原子单个氙原子(尺度为尺度为0.10.1纳米纳米)已被排列成了一列已被排列成了一列用用STM搬动搬动48个个Fe原子原子到到Cu表面上构成的量子围栏表面上构成的量子围栏微扰法微扰法总结总结1.微粒的波粒二象性微粒的波粒二象性德布罗意假设德布罗意假设 波矢波矢戴维孙戴维孙革末电子散射实验革末电子散射实验v 物质波的实验验证：物质波的实验验证：2.不确定关系不确定关系3.波函数及其物理意义波函数及其物理意义自由粒子的波函数自由粒子的波函数波函数及其统计解释波函数及其统计解释 t 时刻，粒子在空间时刻，粒子在空间 r 处的处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度单位体积中出现的概率，又称为概率密度波函数必须单值、有限、连续波函数必须单值、有限、连续4.薛定谔波动方程薛定谔波动方程 l 定态定态波函数波函数l 代表力学量的算符代表力学量的算符5.量子力学问题的几个简例量子力学问题的几个简例 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子 定态波函数定态波函数能量能量概率分布波函数概率分布波函数 一维谐振子一维谐振子 方势垒（隧道效应）方势垒（隧道效应）E 1,则透射系数则透射系数6.量子力学对氢原子的描述量子力学对氢原子的描述定态波函数：定态波函数：当当 E 0 时，体系的能量有连续谱。时，体系的能量有连续谱。当当 E 0 时，时，E 有分立谱，电子的状态是束缚态。有分立谱，电子的状态是束缚态。能量能量 角动量角动量 电子的几率分布电子的几率分布
