(本科)第8章方差分析ppt课件.pptx
第第八八章方差分析章方差分析方差分析方法引导方差分析方法引导单因素方差分析单因素方差分析双因素方差分析双因素方差分析（本科）第8章方差分析ppt课件第一节第一节 方差分析方法引导方差分析方法引导方差分析问题的提出方差分析问题的提出方差分析的基本原理方差分析的基本原理（本科）第8章方差分析ppt课件一、一、方差分析问题的提出方差分析问题的提出v在科学试验和生产实践中，有很多因素会影响到最终产品在科学试验和生产实践中，有很多因素会影响到最终产品的质量，比如原料的质量、配比、工艺流程等。而且这些的质量，比如原料的质量、配比、工艺流程等。而且这些因素的影响程度各不相同。如何评测这些因素对产品质量因素的影响程度各不相同。如何评测这些因素对产品质量的影响程度，就成为一个亟需解决的问题。首先看一个医的影响程度，就成为一个亟需解决的问题。首先看一个医学研究的实例。学研究的实例。【例【例8-1】为研究某种新安眠药的效果，将】为研究某种新安眠药的效果，将18只试验小白鼠随只试验小白鼠随机的等分成三组，各组分别注射不同剂量的这种安眠药，机的等分成三组，各组分别注射不同剂量的这种安眠药，观察每只小白鼠从注射到入睡的时间，得到数据如下表。观察每只小白鼠从注射到入睡的时间，得到数据如下表。表表8-1 小白鼠安眠小白鼠安眠药试验入睡入睡时间数据数据组号号剂量量mg入睡入睡时间（分（分钟）(interval)10.521231924252321.019212018222031.5151013141115（本科）第8章方差分析ppt课件v可以看出不同剂量的安眠药效果有差异，表明安眠药的剂量对可以看出不同剂量的安眠药效果有差异，表明安眠药的剂量对入睡时间有一定的影响；同时同一剂量下的六只小白鼠的入睡入睡时间有一定的影响；同时同一剂量下的六只小白鼠的入睡时间各不相同，这表明入睡时间除了受到安眠药剂量的影响之时间各不相同，这表明入睡时间除了受到安眠药剂量的影响之外，还有某些偶然性因素及测量误差的影响。外，还有某些偶然性因素及测量误差的影响。v使用统计图表可以简明的分析数据基本状况，从箱线图（图使用统计图表可以简明的分析数据基本状况，从箱线图（图8-1）可以看出，除了第二组分布基本对称分布以外，其余两组都）可以看出，除了第二组分布基本对称分布以外，其余两组都是左偏分布。是左偏分布。图图8-1 小白鼠安眠药试验入睡时间的箱线图小白鼠安眠药试验入睡时间的箱线图（本科）第8章方差分析ppt课件v如果我们想检验这三个水平的平均入睡时间之间的差别，如果我们想检验这三个水平的平均入睡时间之间的差别，在正态总体假设前提下，即检验在正态总体假设前提下，即检验 、，可以采用，可以采用t检验。但这会导致犯第一类错误的概率增大检验。但这会导致犯第一类错误的概率增大而失去检验的意义。比如在显著性水平而失去检验的意义。比如在显著性水平 ，假设这些，假设这些检验相互独立时，全部假设检验都正确接受原假设的概率检验相互独立时，全部假设检验都正确接受原假设的概率是是 ，可见犯一类错误的概率大幅增长。要，可见犯一类错误的概率大幅增长。要正确合理的解决以上问题，就需要使用方差分析。正确合理的解决以上问题，就需要使用方差分析。v方差分析，简称方差分析，简称ANOVA（analysis of variance），就是利），就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。（本科）第8章方差分析ppt课件v在介绍方差分析之前，先要明确以下一些术语和概念。在介绍方差分析之前，先要明确以下一些术语和概念。1试验结果：在一项试验中用来衡量试验效果的特征量，试验结果：在一项试验中用来衡量试验效果的特征量，也称试验指标或指标，类似函数的因变量或者目标函数。也称试验指标或指标，类似函数的因变量或者目标函数。2试验因素：试验中，凡是对试验指标可能产生影响的原试验因素：试验中，凡是对试验指标可能产生影响的原因都称为因素，或称为因子，类似函数的自变量。试验中因都称为因素，或称为因子，类似函数的自变量。试验中需要考察的因素称为试验因素，简称为因素。一般用大写需要考察的因素称为试验因素，简称为因素。一般用大写字母表示。字母表示。3因素水平：因素在试验中所处的各种状态或者所取的不因素水平：因素在试验中所处的各种状态或者所取的不同值，称为该因素的水平，简称水平。一般用下标区分。同值，称为该因素的水平，简称水平。一般用下标区分。同样因素水平有时可以取得具体的数量值，有时只能取到同样因素水平有时可以取得具体的数量值，有时只能取到定性值（如好，中，差等）。定性值（如好，中，差等）。（本科）第8章方差分析ppt课件二、二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理（一）方差分解原理（一）方差分解原理v从图从图8-1可以看出，如果剂量因素对三个分组的入睡时间可以看出，如果剂量因素对三个分组的入睡时间没有影响，则三个分组的入睡时间差异仅由随机因素引起没有影响，则三个分组的入睡时间差异仅由随机因素引起的；而如果剂量因素对入睡时间有显著影响，则还应考虑的；而如果剂量因素对入睡时间有显著影响，则还应考虑剂量因素。剂量因素。v一般的，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平一般的，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不显著。显著。（本科）第8章方差分析ppt课件（二）检验统计量（二）检验统计量v由上面的分析可知，因素以及因素之间的由上面的分析可知，因素以及因素之间的“交互作用交互作用”对试验对试验结果是否有显著影响，不仅要看组间方差与组内方差的比较，结果是否有显著影响，不仅要看组间方差与组内方差的比较，同时也要考虑重复试验的次数，因为如果将每一次独立观测的同时也要考虑重复试验的次数，因为如果将每一次独立观测的结果作为一个独立变量，方差则是所有变量和其均值的残差平结果作为一个独立变量，方差则是所有变量和其均值的残差平方和。构成方差的独立变量个数越多，其方差越大；而独立变方和。构成方差的独立变量个数越多，其方差越大；而独立变量个数越小，其方差越小。在统计中这些独立变量的个数称为量个数越小，其方差越小。在统计中这些独立变量的个数称为自由度。为了消除自由度对方差大小的影响，我们用方差除去自由度。为了消除自由度对方差大小的影响，我们用方差除去自由度后的结果来比较两者相对大小。由此得到一个检验因素自由度后的结果来比较两者相对大小。由此得到一个检验因素影响是否显著的统计量：影响是否显著的统计量：vF统计量的值越大，就越能说明组间方差是离差平方和的统计量的值越大，就越能说明组间方差是离差平方和的主要来源，因素影响显著；主要来源，因素影响显著；F统计量的值越小，就越能说统计量的值越小，就越能说明组内方差是离差平方和的主要来源，因素影响不显著。明组内方差是离差平方和的主要来源，因素影响不显著。（本科）第8章方差分析ppt课件第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析单因素条件下的平方和分解公式单因素条件下的平方和分解公式因素作用显著性的检验因素作用显著性的检验应注意的问题应注意的问题（本科）第8章方差分析ppt课件一、一、单因素条件下的平方和分解公式单因素条件下的平方和分解公式v在试验中只考虑一个因素对试验结果影响显著性的方差分在试验中只考虑一个因素对试验结果影响显著性的方差分析称为单因素方差分析。为了检验该因素的不同水平下的析称为单因素方差分析。为了检验该因素的不同水平下的均值是否有显著差异，我们可在该因素的不同水平下进行均值是否有显著差异，我们可在该因素的不同水平下进行一组重复试验（或抽样）；并将处不同水平下的试验结果一组重复试验（或抽样）；并将处不同水平下的试验结果作为来自不同总体的样本，即得到了多个组别的重复试验作为来自不同总体的样本，即得到了多个组别的重复试验结果。一般，单因素方差分析的试验结果可以记为下表。结果。一般，单因素方差分析的试验结果可以记为下表。次数次数水平水平12n合计合计均均值值合计合计（本科）第8章方差分析ppt课件 表示在表示在 水平下水平下，第第 次实验的实验结果次实验的实验结果。总离差平方和总离差平方和 表示试验结果的差异性的总和表示试验结果的差异性的总和（8.1）（8.2）（8.3）（8.4）（8.5）（本科）第8章方差分析ppt课件v按方差分解的原理可得按方差分解的原理可得：交叉项为零，因为交叉项为零，因为（本科）第8章方差分析ppt课件同时可以得到：同时可以得到：为组间方差，由不同水平下的各组均值和总平均为组间方差，由不同水平下的各组均值和总平均值的残差平方和值的残差平方和；是组内方差，即各组实验结是组内方差，即各组实验结果和各组均值的残差平方和果和各组均值的残差平方和。由此可得离差平方由此可得离差平方和的分解公式和的分解公式：（8.6）（8.7）（8.8）（本科）第8章方差分析ppt课件二、因素作用显著性的检验二、因素作用显著性的检验v若记各水平下的总体均值为若记各水平下的总体均值为 ，则检验因素对试验则检验因素对试验结果影响的显著性就是检验假设：结果影响的显著性就是检验假设：或简单写成或简单写成 由前所述，只要建立关于由前所述，只要建立关于 与与 的的F统计量就可以进行统计量就可以进行假假设设检验。在此之前，先要推算出对应的自由度。检验。在此之前，先要推算出对应的自由度。（8.9）（8.10）（本科）第8章方差分析ppt课件 是所有是所有 与总均值的残差平方和与总均值的残差平方和，但这但这nr个个 需要满足需要满足的一个约束条件的一个约束条件 ，因此只有，因此只有nr-1个独立变量个独立变量，即自由度是即自由度是nr-1。是因素在不同水平下的均值是因素在不同水平下的均值 的残差的残差平方和平方和，应满足约束条件应满足约束条件 ，因此自由度是因此自由度是r-1。是由所有的是由所有的 相对于各水平下均值的残差平方和相对于各水平下均值的残差平方和，要满要满足足r个约束条件个约束条件 （i=1,2,，r），），所以所以 的自由的自由度是度是r(n-1)。综上综上，、和和 的自由度满足的自由度满足：nr-1=(r-1)+r(n-1)方差除去自由度后，就可以得到组间均方差方差除去自由度后，就可以得到组间均方差 与组内均方与组内均方差差 ：（8.11）（8.12）（8.13）（本科）第8章方差分析ppt课件v进一步，可直接构造进一步，可直接构造F统计量来检验前面提出的假设统计量来检验前面提出的假设（8.9）或（）或（8.10），），vF值越大，越说明组间方差大于组内方差，因此组间方差值越大，越说明组间方差大于组内方差，因此组间方差构成了离差平方和的主要来源，即因素的不同水平对试验构成了离差平方和的主要来源，即因素的不同水平对试验结果影响较大，应拒绝原假设；反之，说明组内方差是主结果影响较大，应拒绝原假设；反之，说明组内方差是主要来源，不能拒绝原假设。要来源，不能拒绝原假设。对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平，查，查F分布表得临界值分布表得临界值 ，当，当F 时，拒绝原假设，时，拒绝原假设，认为因素对总体有显著影响；认为因素对总体有显著影响；当当F0.05，可以认为专家对评分没有显著影响。而品，可以认为专家对评分没有显著影响。而品牌的牌的p值值=0.000446，说明电视机品牌对评分有显著影响。，说明电视机品牌对评分有显著影响。表表8-8 Excel得到的无交互作用的双因素方差分析表得到的无交互作用的双因素方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值品牌品牌43.243.23 314.414.412.9924812.992480.0004460.0004463.49033.4903专家专家11.511.54 42.8752.8752.5939852.5939850.0899810.0899813.259163.25916误差误差13.313.312121.1083331.108333总计总计68681919（本科）第8章方差分析ppt课件【例【例8-6】在一个品酒试验中，有】在一个品酒试验中，有9位品师（位品师（scorer）分别独立的）分别独立的对四种酒（对四种酒（brand）做出评价。评价结果用七分制表示：）做出评价。评价结果用七分制表示：(1)最喜欢，最喜欢，(2)很喜欢，很喜欢，(3)轻微喜欢，轻微喜欢，(4)一般，一般，(5)轻微不喜欢，轻微不喜欢，(6)很不喜欢，很不喜欢，(7)最不喜欢。试验结果如下表。请分析品酒师最不喜欢。试验结果如下表。请分析品酒师和酒型对得分指标的影响（显著水平和酒型对得分指标的影响（显著水平0.05）。）。酒酒 型型A AB BC CD D品品 酒酒 师师1 15 52 26 66 62 26 61 13 35 53 36 64 44 43 34 43 33 36 65 55 53 33 34 45 56 62 23 34 44 47 75 56 65 55 58 82 23 32 23 39 93 34 44 45 5（本科）第8章方差分析ppt课件v解：设电视机品牌因素为解：设电视机品牌因素为，专家因素为，专家因素为，由题意建立假设，由题意建立假设检验检验：v由由Excel软件得到下表软件得到下表:v因为品酒师因素的因为品酒师因素的p值值=0.16088，酒型因素的，酒型因素的p值值=0.16221，所以品酒师和酒型两个因素都对评分没有显著影响。所以品酒师和酒型两个因素都对评分没有显著影响。表表8-9 Excel得到的双因素无交互作用的方差分析表得到的双因素无交互作用的方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值品酒师品酒师20.7222220.722228 82.59032.59031.657781.657780.160880.160882.355082.35508酒型酒型8.758.753 32.91672.91671.866671.866670.162210.162213.008793.00879误差误差37.537.524241.56251.5625总计总计66.9722266.972223535（本科）第8章方差分析ppt课件二、有交互作用的双因素方差分析二、有交互作用的双因素方差分析v当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，需要在不同的水平组合下进行重复试验。设在因素需要在不同的水平组合下进行重复试验。设在因素A与因素与因素B每一个水平组合下等重复的试验每一个水平组合下等重复的试验t次，得到表次，得到表8-10。表表8-10 有交互作用的双因素方差分析数据表有交互作用的双因素方差分析数据表因素因素 B因因素素A（本科）第8章方差分析ppt课件v 表示的是在水平组合表示的是在水平组合 下第下第k次实验的实验结果次实验的实验结果。在该组合下实验结果的均值为在该组合下实验结果的均值为：v进一步记：进一步记：（8.25）（8.27）（8.26）（8.28）（本科）第8章方差分析ppt课件v和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为：和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为：v其中：其中：（8.33）（8.32）（8.31）（8.29）（8.34）（8.30）（本科）第8章方差分析ppt课件v交叉项交叉项 表表示两个因素的取值水平组合下的试验结果产生的示两个因素的取值水平组合下的试验结果产生的因素水平组合方差。因素水平组合方差。、和和 的自由度分别是的自由度分别是 rst-1、r-1、s-1、(r-1)(s-1)和和rs(t-1)。可计算出均方差。可计算出均方差：v则则F统计量依次为统计量依次为：（8.40）（8.35）（8.36）（8.37）（8.38）（8.39）（8.41）（本科）第8章方差分析ppt课件v总结以上结论可以得到方差分析表总结以上结论可以得到方差分析表8-11：表表8-11 双因素等重复双因素等重复试验方差分析表方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方均方差差F统计量统计量因素因素交互作用误差总计（本科）第8章方差分析ppt课件【例【例8-7】一连锁便利店想要进行抽奖销售，为此设计了三种不】一连锁便利店想要进行抽奖销售，为此设计了三种不同的销售点展示牌类型，同时还选择了收银台和入口处两个同的销售点展示牌类型，同时还选择了收银台和入口处两个不同的地点摆放。试验选择了不同的地点摆放。试验选择了18家分店进行，每种组合随机家分店进行，每种组合随机分配了三家分店，各分店的彩票销售数量（单位：百张）见分配了三家分店，各分店的彩票销售数量（单位：百张）见下表。下表。请在显著水平请在显著水平0.05下，分析两种因素是否对彩票销售下，分析两种因素是否对彩票销售有显著影响。有显著影响。展示牌类型展示牌类型ABC收银台旁收银台旁43,39,4039,38,4357,60,49便利店入口处便利店入口处53,46,5158,55,5047,42,46（本科）第8章方差分析ppt课件v解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示牌位置因素为牌位置因素为，展示牌类型因素为，展示牌类型因素为，交互作用为，交互作用为，建立，建立假设检验假设检验：v由由Excel得到下表得到下表：v由表可以得出结论：展示牌的不同位置对彩票销售量有显著由表可以得出结论：展示牌的不同位置对彩票销售量有显著影响（影响（p值值=0.0240），展示牌的类型对彩票销售没有显著影），展示牌的类型对彩票销售没有显著影响（响（p值值=0.10912），而两个因素的交互效应对彩票销售存在），而两个因素的交互效应对彩票销售存在显著影响（显著影响（p值值=0.0002）。）。表表8-12 由由Excel得到的方差分析表得到的方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方差均方差F F值值P P值值F F临界值临界值位置位置88.888988.88891 188.888988.88896.666676.666670.02400.02404.74714.7471类型类型71.444471.44442 235.722235.72222.679172.679170.10920.10923.88533.8853交互交互510.111510.1112 2255.055255.0556 619.129219.12920.00020.00023.88533.8853内部内部160160121213.333313.3333总计总计830.444830.4444 41717（本科）第8章方差分析ppt课件【例【例8-8】一商场想要分析顾客衣着和是否携带购物袋，和他们】一商场想要分析顾客衣着和是否携带购物袋，和他们在珠宝柜台前的停留时间之间的关系（单位：秒）。每种组在珠宝柜台前的停留时间之间的关系（单位：秒）。每种组合随机选取了合随机选取了2名顾客测验，名顾客测验，12次随机试验的结果如下表。次随机试验的结果如下表。请在显著水平请在显著水平0.025下，分析两种因素对停留时间的下，分析两种因素对停留时间的影响。影响。衣衣 着着不讲究的不讲究的便服的便服的衣着考究的衣着考究的是否有购是否有购物袋物袋是是41,3941,3924,2924,2914,1914,19否否52,4952,4916,1616,1627,2127,21（本科）第8章方差分析ppt课件v解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示解：这是一个有交互作用的双因素重复试验。由题意设展示牌位置因素为牌位置因素为，展示牌类型因素为，展示牌类型因素为，交互作用为，交互作用为，建立，建立假设检验假设检验：v由由Excel得到下表得到下表：v由表可知，是否有购物袋不会显著影响停留时间（由表可知，是否有购物袋不会显著影响停留时间（p值值=0.1824），衣着因素显著的影响停留时间（），衣着因素显著的影响停留时间（p值值=0.0000），），而两者的组合也会显著影响停留时间（而两者的组合也会显著影响停留时间（p值值=0.0042）。）。表表8-13 由由Excel得到的方差分析表得到的方差分析表差异源差异源平方和平方和自由度自由度均方均方差差F值值P值值F临界值临界值购物袋购物袋18.75118.752.27270.18245.9874衣着衣着1602.6672801.333397.13130.00005.1432交互交互258212915.63640.00425.1432内部内部49.568.25总计总计1928.91711（本科）第8章方差分析ppt课件
