数学分析课件第二型曲线积分.ppt

2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 返回返回返回返回一 第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题.例如一质点受力例如一质点受力 的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 从从点点 A 移动到点移动到点 B,求力求力 所作的功所作的功,见图见图 20-2.为为此在曲此在曲线线 内插入内插入 个分点个分点 一起把有向曲一起把有向曲线线 分成分成 n个个有向小曲有向小曲线线段段 若若记记小曲小曲线线设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为那么那么的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的细度为段段又又设设小曲小曲线线段段 在在 轴轴上的投影分上的投影分别为别为 分别为点分别为点 的坐标的坐标.记记 于是力于是力 在小曲线段在小曲线段 上所作的功上所作的功其中其中 为为小曲小曲线线段段 上任一点上任一点.因而力因而力 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于 其中其中 当当细细度度 时时,上式右上式右边边和式的极限就和式的极限就应该应该是是 所求的功所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分的第二型曲线积分.定定义义1 设设函数函数 定定义义在平面有向可在平面有向可 求求长长度曲度曲线线 上上.对对 的任一分割的任一分割 它把它把 分分 成成n个小曲线段个小曲线段其中其中 记记个小曲个小曲线线段段 的弧的弧长长 为为 分割分割 的细度的细度 又又设设 的分点的分点 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点 的取法无关的取法无关,则则称此极称此极限限为为函数函数 沿有向曲沿有向曲线线 L 上的上的第二型第二型 的坐标为的坐标为 并记并记曲线积分曲线积分,记为记为 或或上述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或为书写简洁起见为书写简洁起见,(1)式常简写成式常简写成 或或 式可写成向量形式式可写成向量形式若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线,则记为则记为 若若记记 则则(1)或或 于是于是,力力沿有向曲沿有向曲线线 对质点所作的功为对质点所作的功为若若L为为空空间间有向可求有向可求长长曲曲线线,为为定定义义在在L上的函数上的函数,则则可按上述可按上述办办法法类类 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分,并记为并记为或简写成或简写成当把当把看作三维向量时看作三维向量时,(4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式.第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关的方向有关.对同一曲线对同一曲线,当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时时,每一小曲线段的每一小曲线段的方向方向改改变变,从而所得的从而所得的 也随之改也随之改变变符号符号,故故 有有 而第一型曲而第一型曲线积线积分的被分的被积积表达式只是函数表达式只是函数 与与 弧长的乘积弧长的乘积,它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关.这是两种类型这是两种类型曲线积分的一个重要区别曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下第二型曲线积分也有如下一些主要性质一些主要性质:1 也存在也存在,且且 2.若有向曲若有向曲线线 由有向曲由有向曲线线 首尾首尾衔衔接而接而 成成,都存在都存在,则则 也存在也存在,且且 二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线设平面曲线 其中其中 上具有一上具有一阶连续导阶连续导函数函数,且且 点点 的坐的坐标标分分别为别为 又又设设 上的上的连续连续函数函数,则则沿沿 L 的第二型曲线积分的第二型曲线积分读者可仿照读者可仿照1中定理中定理20.1的方法分别证明的方法分别证明由此便可得公式由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分(2)的计算的计算,可可 在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点,沿沿L所指定的方向前所指定的方向前 进进,最后回到这一点最后回到这一点.例例1 计算计算 其中其中 L 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线:(i)直线段直线段 (ii)(iii)(三角形周界三角形周界).解解(i)直线直线 的参数方程为的参数方程为故由公式故由公式(6)可得可得(ii)曲曲线线 为为抛物抛物线线 (iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线,故可从故可从 A开始开始,应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线由于沿直线的线积分为的线积分为所以所以的性质的性质2,分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线积分然后相 沿直线沿直线 的线积分为的线积分为 所以所以 沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可由(i)及公式及公式(5)得到得到:例例2 计算计算 这里这里 L 为为:(i)沿抛物沿抛物线线 的一段的一段(图图20-4);(ii)沿直沿直线线(iii)沿封闭曲线沿封闭曲线解解(i)(ii)(iii)在在OA一段上一段上,一段上一段上,一段上与一段上与(ii)一一样样是是的一段的一段.所以所以 (见见(ii)沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿式相仿.设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为 因此因此 起点为起点为 终点为终点为则则 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.L是螺旋是螺旋线线:例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分上的一段上的一段(参见图参见图 205).解解 由公式由公式(7),例例4 求在力求在力作用下作用下,(i)质质点由点由 沿螺旋沿螺旋线线所作的功所作的功(图图20-5),其中其中(ii)质点由质点由A沿直线沿直线所作的功所作的功.解解 如本节开头所述如本节开头所述,在空间曲线在空间曲线 L上力上力F所作的功所作的功为为(i)由于由于(ii)的参量方程的参量方程由于由于所以所以例例5 设设L为为球面球面和平面和平面的交线的交线,若面对若面对 x 轴正向看去轴正向看去,L是沿逆时针方向的是沿逆时针方向的,求求(i)(ii)(i)由对称性，由对称性，解解 L的参数方程为的参数方程为因此，因此，(ii)由对称性，由对称性，*例例6 设设G是是 R2 中的有界中的有界闭闭域，域，是是 上的上的连续连续 可微函数可微函数,是在是在G上的连续函数上的连续函数.则对任意则对任意,存在存在 对于任意分割对于任意分割只要只要 必有必有 其中其中 为端点为端点的折线的折线.证证 由由的有界性的有界性,存在存在使得使得令令 由由P,Q在在 G 的一致连续性的一致连续性,存在存在 使得使得 就有就有由由在在上的一致连续性上的一致连续性,存在存在 使得使得就有就有.任意分割任意分割,满足满足令令 设设 为连接为连接与与 的线段的线段,其斜率为其斜率为设设 的方程为的方程为则则于是于是 设设在在 到到的那段曲的那段曲线为线为 则则 因此因此注注 例例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近逼近.*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.的有向光滑曲线的有向光滑曲线,它以弧长它以弧长s为参数为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型物理原型,且有着不同的特性且有着不同的特性,但在一定条件下但在一定条件下,如如于是于是其中其中l为为曲曲线线L的全的全长长,且点且点 的坐的坐标标分分别为别为 曲曲线线L上每一点的切上每一点的切线线方方 向指向弧向指向弧长长增加的一方增加的一方.现现以以分分别别表示表示 切切线线方向方向 轴轴正向的正向的夹夹角角,则则在曲在曲线线上的上的 每一点的切线方向余弦是每一点的切线方向余弦是上的上的连续连续函数函数,则则由由(6)式得式得最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式公式.注注 当当(9)式左边第二型曲线积分中式左边第二型曲线积分中L改变方向时改变方向时,积积 分值改变符号分值改变符号,相应在相应在(9)式右边第一型曲线积分中式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧即指向弧 长长减少的方向减少的方向).这时夹这时夹角角分分别别与原来与原来 的的夹夹角相差一个弧度角相差一个弧度 从而从而 都都 要变号要变号.因此因此,一旦方向确定了一旦方向确定了,公式公式(9)总是成立的总是成立的.复习思考题 1.设设在光滑曲线在光滑曲线L上连续上连续,L满足满足 若若 满足条件满足条件:是否有是否有又若又若满足满足 是否有是否有 其中其中2.第二型曲面是否也有轮换对称性？第二型曲面是否也有轮换对称性？设设 在光滑曲线在光滑曲线 L上连续上连续,L满足满足 若若 满足条件满足条件:是否亦有是否亦有 3.设设 在空在空间间光滑曲光滑曲线线L上上连续连续,L满满足足 若若 满足条件满足条件:是否亦有是否亦有