学案10函数模型及其应用 (2).ppt
学案学案10 10 函数模型及其应用函数模型及其应用 函数函数模型模型及其及其应用应用(1)(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义等不同函数类型增长的含义.(2)(2)了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用的广泛应用.1.新课标下新课标下,重视了应用问题的探究重视了应用问题的探究,因而本部分内因而本部分内容将是高考的重点内容容将是高考的重点内容.2.以解答题为主以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题、考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力，属于中、高档题，偶尔也会在选择、解决问题的能力，属于中、高档题，偶尔也会在选择、填空题中考查填空题中考查.3.几种增长型的函数模型的应用可能会成为高考的几种增长型的函数模型的应用可能会成为高考的又一生长点又一生长点.1.1.构建函数模型的基本步骤构建函数模型的基本步骤 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,函数模型可以处理生产函数模型可以处理生产、生活、生活、科技中很多实际问科技中很多实际问 题题.解决应用问题的基本步骤解决应用问题的基本步骤:（1）审题）审题:弄清题意弄清题意,分析条件和结论分析条件和结论,理顺数量关系理顺数量关系,恰当选择模型恰当选择模型;（2）建模）建模:将文字语言、图形（或数表）等转化为数将文字语言、图形（或数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义原为实际问题的意义.2.常见的几种函数模型常见的几种函数模型 (1)一次函数型一次函数型y=kx+b;(2)反比例函数型反比例函数型y=(k0);(3)二次函数型二次函数型y=ax2+bx+c(a0);(4)指数函数型指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题增长率问题)(x0);(5)对数函数型对数函数型y=AlogaN+B(a0且且a1,N0);(6)分段函数型分段函数型.考点考点考点考点1 1 二次函数模型二次函数模型二次函数模型二次函数模型如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCD中中,已知已知AB=a,BC=b(ba),在在AB,AD,CD,CB上分别截取上分别截取AE,AH,CG,CF都等于都等于x,当当x为何值时为何值时,四边形四边形EFGH的面积最大的面积最大?并求出最并求出最大面积大面积.【解析解析】设四边形设四边形EFGH的面积为的面积为S,则则 SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=(a-x)(b-x),【分析分析】依据图形建立起四边形依据图形建立起四边形EFGH的面积的面积S关于关于自变量自变量x的目标函数的目标函数,然后利用解决二次函数的最值问题然后利用解决二次函数的最值问题求出求出S的最大值的最大值.由图形知函数的定义域为由图形知函数的定义域为x|0b,即即a3b时，时，S(x)在在(0,b上是增函数上是增函数.此时当此时当x=b时，时，S有最大值为有最大值为-2b-()2+=ab-b2.综上可知，当综上可知，当a3b时，时，x=时，四边形面积时，四边形面积 Smax=,当当a3b时，时，x=b时，四边形面积时，四边形面积Smax=ab-b2.【评析评析评析评析】二次函数是我们比较熟悉的基本函数二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二建立二次函数模型可以求出函数的最值次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问解决实际中的最优化问题题,值得注意的是值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围一定要注意自变量的取值范围,根据图根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解系讨论求解.有一批材料可以建成有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形最成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形最大面积为大面积为 .（围墙厚度不计）（围墙厚度不计）2 500 m2【解析解析】设矩形的长为设矩形的长为x m,宽为宽为,则则S=x =(-x2+200 x).当当x=100时，时，Smax=2 500 m2.某工厂生产一种机器的固定成本某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入即固定投入)为为0.5万元万元,但每生产但每生产100台台,需要加可变成本需要加可变成本(即另增加投入即另增加投入)0.25万元万元.市场对此产品的年需求量为市场对此产品的年需求量为500台台,销售的销售的收入函数为收入函数为R(x)=5x-(万元万元)(0 x5),其中其中x是产是产品售出的数量品售出的数量(单位单位:百台百台).(1)把利润表示为年产量的函数把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时年产量是多少时,工厂所得利润最大工厂所得利润最大?(3)年产量是多少时年产量是多少时,工厂才不亏本工厂才不亏本?考点考点考点考点2 2 分段函数型分段函数型分段函数型分段函数型 【解析解析解析解析】(1)当当x5时时,产品能售出产品能售出x百台百台;当当x5时时,只能售出只能售出5百台百台,故利润函数为故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)(5x-)-(0.5+0.25x)(55 )-(0.5+0.25x)4.75x-0.5(0 x5)12-0.25x(x5).【分析分析分析分析】先根据题意，分先根据题意，分0 x5和和x5两种不同情两种不同情况，列出函数表达式，再分别求出函数最值况，列出函数表达式，再分别求出函数最值.=(2)当当0 x5时时,L(x)=4.75x-0.5,当当x=4.75时时,L(x)max=10.78125万元万元.当当x5时时,L(x)=12-0.25x为减函数为减函数.此时此时L(x)5 4.75x-0.50 12-0.25x0,得得x4.75-=0.1（百台（百台)或或512,即即1.2x-16.x1+log1.26=1+=1+=1+=1+=1+=10.8,x11.故从故从2018年开始年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件万件.2011年高考江苏卷年高考江苏卷请你设计一个包装盒请你设计一个包装盒.如图如图2-10-3所所示，示，ABCD是边长为是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得得A，B，C，D四个点重合于图中的点四个点重合于图中的点P，正好形成一个正，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒四棱柱形状的包装盒.E，F在在AB上，是被切去的一个等腰上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点直角三角形斜边的两个端点.设设AE=FB=x（cm).（1）若广告商要求包装盒的侧）若广告商要求包装盒的侧面积面积S（cm2）最大，试问）最大，试问x应取何值？应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问）最大，试问x应应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析解析解析解析】设包装盒的高为设包装盒的高为h（cm）,底面边长为底面边长为a（cm).由已知得由已知得a=,h=,0 x30.（1)S=4ah=8x（30-x)=-8（x-15)2+1 800,所以当所以当x=15时，时，S取得最大值取得最大值.（2）V=a2h=2 （-x3+30 x2),V=6 x（20-x).由由V=0得得x=0（舍（舍)或或x=20.当当x（0,20)时，时，V0;当当x（20,30)时，时，V0.所以当所以当x=20时，时，V取得极大值，也是最大值取得极大值，也是最大值.此时此时 .即包装盒的高与底面边长的比即包装盒的高与底面边长的比值为值为 .解解答答数数学学应应用用题题的的关关键键有有两两点点:一一是是认认真真读读题题,缜缜密密审审题题,确确切切理理解解题题意意,明明确确问问题题的的实实际际背背景景,然然后后进进行行科科学学地地抽抽象象、概概括括，将将实实际际问问题题归归纳纳为为相相应应的的数数学学问问题题；二二是是要要合合理理选选取取参参变变量量设设定定变变元元后后，就就要要寻寻找找它它们们之之间间的的内内在在联联系系，选选用用恰恰当当的的代代数数式式表表示示问问题题中中的的关关系系，建建立立相相应应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解.解应用问题解应用问题解应用问题解应用问题,首先首先首先首先,应通过审题应通过审题应通过审题应通过审题,分析原型结构分析原型结构分析原型结构分析原型结构,深深深深刻认识问题的实际背景刻认识问题的实际背景刻认识问题的实际背景刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾确定主要矛盾确定主要矛盾确定主要矛盾,提出必要假设提出必要假设提出必要假设提出必要假设,将应用问题转化为数学问题求解将应用问题转化为数学问题求解将应用问题转化为数学问题求解将应用问题转化为数学问题求解;然后然后然后然后,经过检验经过检验经过检验经过检验,求出求出求出求出应用问题的解应用问题的解应用问题的解应用问题的解.从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看,顺利解答一顺利解答一顺利解答一顺利解答一个应用问题重点要过三关个应用问题重点要过三关个应用问题重点要过三关个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来具体也就是要从三个方面来具体也就是要从三个方面来具体也就是要从三个方面来具体培养学生的分析问题和解决问题的能力培养学生的分析问题和解决问题的能力培养学生的分析问题和解决问题的能力培养学生的分析问题和解决问题的能力.(1)(1)事理关事理关事理关事理关:通过阅读通过阅读通过阅读通过阅读,知道讲的是什么知道讲的是什么知道讲的是什么知道讲的是什么,培养学生独培养学生独培养学生独培养学生独立获取知识的能力立获取知识的能力立获取知识的能力立获取知识的能力.(2)(2)文理关文理关文理关文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言的符号语言的符号语言的符号语言,用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系.(3)(3)数理关数理关数理关数理关:在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中,要求学生有要求学生有要求学生有要求学生有对数学知识的检索能力对数学知识的检索能力对数学知识的检索能力对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型,完完完完成由实际问题向数学问题的转化成由实际问题向数学问题的转化成由实际问题向数学问题的转化成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后构建了数学模型后构建了数学模型后构建了数学模型后,要要要要正确解出数学问题的答案正确解出数学问题的答案正确解出数学问题的答案正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的需要扎实的基础知识和较强的需要扎实的基础知识和较强的需要扎实的基础知识和较强的数理能力数理能力数理能力数理能力.
