2019-2020第二学期海淀期末数学试卷4786.pdf

高三年级（数学）第 1 页（共 6 页）海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 2020.6 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若全集U R，|1Ax x，|1Bx x，则（A）AB （B）BA（C）UBA（D）UAB（2）下列函数中，值域为0,)且为偶函数的是（A）2yx（B）|1|yx（C）cosyx（D）lnyx（3）若抛物线212yx的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF等于（A）4（B）6（C）8（D）10（4）已知三条不同的直线,l m n和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（A）若/m，/n，则/m n（B）若/lm，m，则/l（C）若/l，/l，则/（D）若/l，l，则（5）在ABC中，若7a，8b，1cos7B ，则A的大小为（A）6（B）4（C）3（D）2（6）将函数()sin(2)6f xx的图象向左平移3个单位长度，得到函数()g x的图象，则()g x （A）sin(2)6x（B）2sin(2)3x（C）cos2x（D）cos2x 高三年级（数学）第 2 页（共 6 页）（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥的体积为（A）23 （B）43 （C）2（D）4（8）对于非零向量,a b，“2()2abaa”是“=ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图,正方体1111ABCDABC D的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面11BB C C的边界及其内部运动.若1DOOP，则11D C P面积的最大值为（A）2 55（B）4 55（C）5（D）2 5 （10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （A）9（B）10（C）11（D）12 主视图左视图俯视图ABCD1A1B1C1DOP高三年级（数学）第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）若复数(2i)(i)a为纯虚数，则实数a_.（12）已知双曲线E的一条渐近线方程为yx，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为_.（写出一个即可）（13）数列na中，12a，12nnaa，*nN.若其前k项和为126，则k_.（14）已知点(2,0)A，(1,2)B，(2,2)C，|APABAC，O为坐标原点，则|AP _，OP与OA夹角的取值范围是_.（15）已知函数1,0,()|ln|,0.axxf xxx 给出下列三个结论：当2a 时，函数()f x的单调递减区间为(,1)；若函数()f x无最小值，则a的取值范围为(0,)；若1a且0a，则b R，使得函数()yf xb恰有 3 个零点1x 2x 3x，且1231x x x .其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共 14 分）已知na是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为nS.又 ，且540S，是否存在大于1的正整数k,使得1kSS？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.从14a，2d 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。高三年级（数学）第 4 页（共 6 页）（17）（本小题共 14 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/BCAD，90ADC，112BCCDAD，E为线段AD的中点.PE 底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.（）求证：/BE FG；（）若PC与AB所成的角为4，求直线PB与平面BEF 所成角的正弦值（18）（本小题共 14 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自 2016 年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为 2000 万，从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图 1 所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所示.（）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数；（）若以图 2 中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率；（）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%.为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.（19）（本小题共 15 分）30.337.155.761.770.075.82图 O183020406080315051606170718081以上年龄段%签约率（）年龄（单位：岁）1 图 O21314151617181911011110.0180.0210.016频率组距0.0150.0100.0040.0050.010.0150.020.0250.00250.00050.0080.005ABCDPEGF高三年级（数学）第 5 页（共 6 页）已知椭圆2222:1xyWab(0)ab过(0,1),(0,1)AB两点，离心率为32.（）求椭圆W的方程；（）过点A的直线l与椭圆W的另一个交点为C，直线l交直线2y 于点M，记直线BC，BM的斜率分别为1k，2k，求12k k的值.（20）（本小题共 14 分）已知函数()e(sincos)xf xxx.（）求()f x的单调递增区间；（）求证：曲线()yf x在区间(0,)2上有且只有一条斜率为2的切线.（21）（本小题共 14 分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点.对任意的点(,)P x y，定义|OPxy.任取点1122(,),(,)A x yB xy，记1221(,),(,)A x yB xy，若此时 2222|OAOBOAOB 成立，则称点,A B相关.（）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；(2,1),(3,2)AB；(4,3),C(2,4)D.（）给定*nN，3n，点集(,)|,nx ynxnnyn x y Z.()求集合n中与点(1,1)A相关的点的个数；()若nS ，且对于任意的,A BS，点,A B相关，求S中元素个数的最大值.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 学 2020.6 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。高三年级（数学）第 6 页（共 6 页）2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C C A B C C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。题号 11 12 13 14 15 答案 12 22144xy 6 1，0,6 注：第 12 题答案不唯一，写出一个形如22221xyaa或22221yxaa（22a）的方程即可；第 14题第一空 3 分，第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他得 3分。三、解答题共 6 小题，共 85 分。（16）（本小题共 14 分）解：选择条件，不存在正整数(1)k k,使得1kSS.解法 1 理由如下：在等差数列na中，5115455102Sadad 又14a，540S.所以由 114,51040aad 得 2.d 所以 1(1)42(1)22naandnn.又因为110nnnSSa，所以数列nS为递增数列.即1k，都有1kSS.所以不存在正整数(1)k k,使得1kSS.0高三年级（数学）第 7 页（共 6 页）解法 2 理由如下：在等差数列na中，5115455102Sadad 又14a，540S.所以由 114,51040aad 得 2.d 所以21(1)(1)42322kk kk kSkadkkk.令14kSS，即2340kk.解得1k 或4k.因为1k，所以1k 与4k 均不符合要求.所以不存在正整数(1)k k,使得1kSS.选择条件，存在正整数12k,使得1kSS.理由如下：在等差数列na中，5115455102Sadad 又2d ，540S.所以由 12,51040dad 得 112.a 所以21(1)(1)12(2)1322kk kk kSkadkkk .令112kSS，即21312kk.整理得213120kk.解得1k 或12k.因为1k，所以12k.高三年级（数学）第 8 页（共 6 页）所以当12k 时，1kSS.（17）（本小题共 14 分）（）证明：因为E为AD中点，所以112DEAD.又因为1BC，所以DEBC.在梯形ABCD中，/DEBC，所以四边形BCDE为平行四边形.所以/BECD.又因为BE平面PCD，且CD平面PCD，所以/BE平面PCD.因为BE 平面BEF，平面BEF平面PCDFG，所以/BEFG.（）解：（解法 1）因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD，所以PEAE，且PEBE.因为四边形BCDE为平行四边形，90ADC，所以AEBE.以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Exyz.则(0,0,0)E，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)D.设(0,0,)Pm（0m），所以(1,1,)CPm，(1,1,0)AB .因为PC与AB所成角为4，所以cos,CP AB=CP ABCPAB=2222m=cos422.高三年级（数学）第 9 页（共 6 页）所以2m.则(0,0,)2P，1 12(,)2 22F.所以(0,1,0)EB，1 12(,)2 22EF ，(0,1,)2PB.设平面BEF的法向量为(,)x y zn，则00.EBEF，nn 即01120.222yxyz，令2x，则1z，所以(2,0,1)n.所以cos,|PBPBPBnnn22333.所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为23.（）（解法 2）连结EC,因为/AEBC且AEBC，所以四边形ABCE为平行四边形.所以/ABCE.因为PC与AB所成角为4，所以PC与CE所成角为4.即4PCE.因为PE 平面ABCD，且CE平面ABCD，所以PECE.又因为2EDC，所以平行四边形BCDE是矩形.所以在等腰直角三角形PEC中，2PECE.ABCDPEGFxyz高三年级（数学）第 10 页（共 6 页）因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD，所以PEAE，且PEBE.又因为AEBE，以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Exyz 则(0,0,0)E，(0,1,0)B，(0,0,)2P，(1,1,0)C，1 12(,)2 22F.所以(0,1,0)EB，1 12(,)2 22EF ，(0,1,)2PB.设平面BEF的法向量为(,)x y zn，则 00.EBEF，nn 即01120.222yxyz，令2x，则1z，所以(2,0,1)n.所以cos,|PBPBPBnnn22333.所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为23.（18）（本小题共 14 分）解:（）由图 1 可知，该地区居民中年龄在 7180 岁的频率为0.004 10=4%.由图 2 可知，样本中年龄在 7180 岁居民家庭医生的签约率为 70.0%，因为该地区居民人数约为 2000 万，所以该地区年龄在 7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为20004%70.0%=56（万人）.（）由题意，从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为710.高三年级（数学）第 11 页（共 6 页）设iA表示事件“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，其中第 i 个人已签约家庭医生”（1,2i），则7()10iP A，73()11010iP A （1,2i）.设事件 C 为“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人 这两人中恰有 1 人已签约家庭医生”，则1221CA AA A.所以1212733721()()()()()1010101050P CP A P AP A P A.所以这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为2150.（）应着重提高年龄在 3150 岁居民的签约率.理由如下：依题意，该地区年满 18 周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升11%；年龄在 3150 岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大；年龄在 3150 岁居民的医生签约率较低，约为37.1%；该地区年满 18 周岁居民的人数在该地区的占比约为：0.008+0.0050.7)10=0.8851-(；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至100%，可将该地区年满 18周岁居民签约率提升37%(137.1%)0.88537%62.9%23%，大于 11%.（19）（本小题共 15 分）解：（）由题意，222132.bcaabc，解得2,1.ab 高三年级（数学）第 12 页（共 6 页）所以椭圆W的方程为2214xy.（）由题意，直线l不与坐标轴垂直.设直线l的方程为：1ykx（0k）.由221,44.ykxxy得22(41)80kxkx.设11(,)C x y，因为10 x，所以12841kxk.得21122814114141kkykxkkk .即222814(,)41 41kkCkk.又因为(0,1)B，所以22121411418441kkkkkk.由1,2.ykxy 得1,2.xky 所以点M的坐标为1(,2)k.所以22131kkk.所以1213344kkkk .（20）（本小题共 14 分）解：（）()e(sincos)+e(cossin)xxf xxxxx 2e cosxx.令()0,fx得22()22kxkkZ.所以()f x的单调递增区间为(2,2)22kk()kZ.高三年级（数学）第 13 页（共 6 页）（）证明：要证曲线()yf x在区间(0,)2上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程()2fx 在区间(0,)2上有且只有一个解.令()fx2e cos2xx，得e cos1xx.设c(1)eosxg xx，则()e cose sin2e sin()4xxxg xxxx.当(0,)2x时，令()0g x，得4x.当x变化时，(),()g xg x的变化情况如下表：x(0,)4 4(,)4 2 ()g x 0 ()g x 极大值 所以()g x在(0,)4上单调增，在(,)4 2 上单调减.因为0(0)g,所以当(0,4x时，()0g x；又1(0)2g，所以当(,)4 2x 时，()g x有且只有一个零点.所以当(0,)2x时，c(1)eosxg xx有且只有一个零点.即方程2()fx，(0,)2x有且只有一个解.所以曲线()yf x在区间(0,)2上有且只有一条斜率为2的切线.（21）（本小题共 14 分）解：（）由题知(2,2),(3,1)AB，进而有 2222|(2+1)(32)34OAOB，高三年级（数学）第 14 页（共 6 页）2222|(2+2)(31)32OAOB，所以2222|OAOBOAOB.所以,A B两点相关；由题知(4,4),(2,3)CD，进而有 2222|=4+3)(24)85OCOD（，2222|4+4)(23)89OCOD（，所以2222|OCODOCOD，所以,C D两点不相关.（）()设(1,1)A的相关点为(,)B x y，,x yZ，,nxnnyn ,由题意，(1,)Ay，(,1)B x.因为点,A B相关，则222242|12|12|xyxyyyxx .所以|10 xyxy.所以(|1)(|1)0 xy.当0 x 时,|0,1y,则(1,1)A相关点的个数共 3 个;当|1x 时,则(1,1)A相关点的个数共42n个;当|2x 时,|1y，则(1,1)A相关点的个数共4(1)n n个.所以满足条件点 B 共有24(1)42345n nnn (个).()集合S中元素个数的最大值为81n.(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),(,)Snnnn 符合题意 下证：集合S中元素个数不超过81n.高三年级（数学）第 15 页（共 6 页）设1122(,),(,)A x yB xy，若点,A B相关，则 2222111122222|2|xyxyxyxy 2222121221212|2|xyxyxyxy.则1 1221221|x yx yx yx y.所以1212(|)(|)0 xxyy.设集合S中共有m个元素，分别为(,)iiiA x y，1im，*iN，不妨设12|mxxx，而且满足当1|iixx，1|iiyy.下证：12|myyy.若1|iixx，1|iiyy.若1|iixx，则必有1|iiyy.记，11|iiiiidxyxy，11im，*iN，显然，数列 id至多连续 3 项为 0，必有1231iiiidddd，假设81mn，则1281123481()21nnddddddddn.而12818181|21nnndddxxyyn,因此，必有10 x 或10y.可得，12,d d不可能同时为 0，则121dd.所以1281123481()()2nnddddddddn.必有88|nnxyn，110 xy.