2020学年第一学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题5224.pdf
高二数学学科 试题 第1页(共 4 页)2020 学年第一学期浙南名校联盟期末联考 高二年级数学学科试题 命题：余杭高级中学 审题：余杭高级中学 考生须知：1本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 P=|13xx，Q=|24xx，则 PQ=()A|12xx B|23xx C|34xx D|14xx 2已知 aR，若有5ai (i为虚数单位)，则 a=()A1 B2 C2 D1 3若实数 x，y 满足约束条件2220200 xyxyx，则zxy的取值范围是 ()A2,2 B 2,2)C2,2 D(2,2)4函数()cosf xxx的导函数为()fx，则()f x与()fx在一个坐标系中的图象为 ()A B C D 5已知ABC中，“sinsinAB”是“coscosAB”成立的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知数列 na是公差不为零的等差数列，nb是正项等比数列，若1177,ab ab则()高二数学学科 试题 第2页(共 4 页)A44ab B55ab C88ab D99ab 7已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 ()A13 B33 C23 D 2 33 正视图 侧视图 俯视图 (第 7 题图）(第 8 题图)8在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在 y 轴上,抛物线顶点在坐标原点,已知抛物线方程是24xy,圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点 O，则圆的半径r的取值范围是 ()A2,B1,C 2,D1,9如图，正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1AB上的动点，则下列结论错误的是 ()A1 DCPC B异面直线AD与PC不可能垂直 C1D PC不可能是直角或者钝角 D1APD的取值范围是,6 2 10设函数321()3(8)5)3f xxxa xaR（，若存在唯一的正整数0 x，使得0()0f x，则实数a的取值范围是 ()A11(,15 6 B11(,15 4 C1 1(,12 3 D11(,12 5 非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。高二数学学科 试题 第3页(共 4 页)MA1ABB1D1C1DC11直线l：+310 xy 的倾斜角为_，过(2，0)点且与直线l平行的直线方程是_ 12双曲线C：2221xy的焦点坐标是_；渐近线方程是_ 13已知直线l：33ykx，圆C：22(1)4xy，若直线l是圆C的一条对称轴，则实数k _；若直线l与圆C相交于 A，B 两点，且ABC的面积是3，则实数k _ 14已知1sin63，则2cos3_；2cos 23_ 15在ABC中，角ABC、所对的边分别为abc、，若满足,34Ab的ABC有且仅有一个，则边a的取值范围是_ 16如图，四边形ABCD是矩形，且有2ABBC，沿AC将ADC翻折成AD C，当二面角DACB的大小为3时，则异面直线D C与AB所成角余弦值是_ 17 设OAB 中，OAaOBb，且满足aba，2ab，当OAB面积最大时，则ab与b夹角的大小是_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）在锐角ABC 中，角ABC、所对的边分别为abc、，已知cos(1cos)cBbC（）求证ab；（）求cossinCA的取值范围 19（本题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCDA BC D中，底面ABCD是等腰梯形，60,DAB22ABCD，M是线段AB的中点（）求证：111C MA ADD平面；（）若1CD 平面ABCD且1=3CD，求直线11D B与平面11C D M所成角的正弦值 20（本题满分 15 分）已知数列na的各项均为正数，记数列na的前n项和为nS，数列2na的前n项和为nT，高二数学学科 试题 第4页(共 4 页)A B P O x y C 且2*32nnnTSSnN，（）求1a的值及数列na的通项公式；（）若有111nnba，求证：231321nbbb 21（本题满分 15 分）已知椭圆22221(0)yxabab的离心率为32，A 是椭圆上位于第三象限内的一点，点 P 满足5OPAO过点 P 作一条斜率为k的直线l交椭圆于 B，C 两点（）若点 P 的坐标为4 1，（）求椭圆的方程；（）求OBC面积；(用含k的代数式表示)（）若满足3BPBC，求直线 OA，OB 的斜率之积 22（本题满分 15 分）已知函数11)1ln()(2xaxxxf（）若1a，试求()f x在(2,3)点处的切线方程；（）当0a时，试求函数)(xf的单调增区间；（）若在定义域上恒有()23f xx成立，求实数a的取值范围 2020 学年第一学期浙南名校联盟期末联考答案 高二年级数学学科 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。高二数学学科 试题 第5页(共 4 页)110：DCBAC DBADC 10.解析：设321()3853g xxxx，若存在唯一的正整数0 x，使得0()0f x成立，即存在唯一的正整数0 x，使得()g x的图象在直 线yax的下方，如图所示，(3)(4)(1)ggg；(5)(4)(1)ggg需满足下列关系式(4)4(1)gaga解得143a 且13a，即1 1(,12 3a 非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11 56，+320 xy 12 6,0 202xy；133 3；13 3,3,4 39 14 17,39 15 3 232aa或;16 12;17 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）在锐角ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c已知cos(1cos)cBbC（）求证ab；（）求cossinCA的取值范围 解（）法一:应用正弦定理 由cos(1cos)cBbC知coscoscBbCb-2分 有:sincossincossinCBBCB-4分 所以有sin()sin()sinsinBCAAB 所以有ab-6分 法二:应用余弦定理 由cos(1cos)cBbC知coscoscBbCb-2分 22222222222acbabcacbabacaba-6分 法三:应用射影定理 coscosacBbCb所以有ab-6分（）由ab知AB,所以有 cossincos(2)sincos2sinCAAAAA-8分=22sinsin1AA-9分=2192(sin)48A-10分 高二数学学科 试题 第6页(共 4 页)xzyMA1ABB1D1C1DCMA1ABB1D1C1DC因锐角ABC中,AB,所以42A-12分 所以2sin12A-13分 所以cossinCA的取值范围是2(,0)2-14分 19（本题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCDA BC D中，底面ABCD是等腰梯形，60,DAB22ABCD，M是线段AB的中点（1）求证：111C MA ADD平面；（2）若1CD 平面ABCD且1=3CD，求直线11D B与平面11C D M所成角的正弦值 解:（）证明：四边形ABCD为等腰梯形，且2ABCD，所以DC AM，-1 分 连接1AD，1111DCBAABCD 为四棱柱，11DC DC-2 分 11AMDC,-3 分 故四边形11AMC D是平行四边形，11/ADC M-4 分 又111ADDAMC平面，111ADDAAD平面，111/C MA ADD平面-6 分 （2）：连接,AC MC，由（）知DC AM四边形AMCD为平行四边形 可得BCADMC，由题意60ABCDAB，所以MBC为正三角形 因此22,3ABBCCA，CACB-8 分 以C为坐标原点，分别以CD为x轴，1CD为z轴,过C点且与AB垂直方向为y轴，建立空间坐标系，如图所示-9 分 111313(1,0,3),(0,0,3),(,0)(1,0,0)(,0)2222CDMDB，111111333(1,0,0),(,3),(,0)2222C DD MD BDB，-11 分 设平面MDC11的法向量为(,)nx y z 高二数学学科 试题 第7页(共 4 页)111001330022xn C Dxyzn D M 不妨取1,z 则2y(0,2,1)n-13 分 记直线11D B与平面11C D M所成角为 111111315sin|cos,|5355n D Bn D Bn D B，-15 分 所以直线11D B与平面MDC11所成角的正弦值为55 法二:以 C 为坐标原点,分别以1,CA CB CD为,x y z轴建系时,可求得113 3(,0)22D BDB 平面11C D M法向量为(1,3,1)n,各步骤对应给分)20（本题满分 15 分）已知数列na的各项均为正数，记数列na的前n项和为nS，数列2na的前n项和为nT，且2*32,nnnTSSnN（）求1a的值及数列na的通项公式;（）若有111nnba,求证:231321nbbb 解：（）由211132,TSS得知2211132,aaa110,1aa-2 分 2*32,nnnTSSnN 2*11132,nnnTSSnN -3 分，得22211132nnnnaSSa-4 分 10na，1132nnnaSS，-5 分 22132nnnaSS,-6 分，得212133nnnnaaaa,即212nnaa，-7 分 故当2n时，12nnaa -8 分 又由222232,TSS得222223(1)(1)2(1)aaa，即有2220aa 22210,2,2aaaa -9 分 所以对*nNnN*，都有12nnaa成立，所以数列 na的通项公式为1*2,nnanN -10 分（）证法一:高二数学学科 试题 第8页(共 4 页)3333111111,(3)1218 217 2(21)7 2nnnnnnnbna-13 分 2232311111111112132(1)=()13722237372112nnnbbb-15 分（）证法二:11111121112()121(21)(21)2121nnnnnnnnba-13 分 2334451111111112()()()32121212121211111213=2()37213721nnnnbbb-15 分 21（本题满分 15 分）已知椭圆22221(0)yxabab的离心率为32，A 为椭圆上位于第三象限内的一点，点 P 满足 5OPAO过点 P 作一条斜率为k的直线l交椭圆于 B，C 两点，（）若点 P 的坐标为4 1，（）求椭圆的方程；（）求OBC面积.(用含k的代数式表示).（）若满足3BPBC，求直线 OA，OB 的斜率之积；解:（）（）由 P 的坐标为4 1，5OPAO知4155A，-1 分 代入椭圆方程有:22161155ab -2 分 又32cea 知224ab -3 分 由可得224,1ab，故椭圆的方程2214xy-4 分（）直线l的方程是14ykxk,-5 分 代入椭圆方程有:222(14)8(14)4(14)40kxkk xk-6 分 A B P O x y C 高二数学学科 试题 第9页(共 4 页)22222222264(1 4)16(14)(14)18 23111414kkkkkkBCkkkk-8 分 点 O 到 BC 距离21 41kdk-9 分 所以OBC面积2222221 441 423118 2312214141kkkkkkSBC dkkkk-10 分（）设112233A xyB xyC xy，5OPAO，1155Pxy，-11 分 3BPBC，12123232553xxyyxxyy，-12 分 即123212325353xxxxyyyy，于是32132152335233xxxyyy，代入椭圆方程，得22212122552233331xxyyab，-13 分 由（）知224ab 即 2222122212122222224 5541999444xyxyx xy ybbbbbb，因为 A，B 在椭圆上，2222112222221144xyxybbbb，由知 12122204x xy ybb-14 分 即直线 OA，OB 的斜率之积为121214yyxx.-15 分 22（本题满分 15 分）已知函数11)1ln()(2xaxxxf（）若1a，试求()f x在(2,3)点处的切线方程；（）当0a时，试求函数)(xf的单调增区间；(III)若在定义域上恒有()23f xx成立，求实数a的取值范围。高二数学学科 试题 第10页(共 4 页)解:（）由21()ln(1)ln(1)1,11xf xxxxxx 切线斜率21(2)(1)|21xkfx -2 分 所以()f x在(2,3)点处的切线方程为:32(2)yx 即210 xy -4 分（）函数11)1ln()(2xaxxxf的定义域为),1(x，-5 分 则22221()12(1)(1)()1(1)(1)aax xax xaxafxxxx，-7 分 由()0fx 知21axa,又定义域为),1(x,-8 分 知 当即1a 时，)(xf的单调递增区间为),12(aa，-9 分 当112aa即01a时，)(xf的单调递增区间为),1(，-10 分 (III)由21()23ln(1)23,(1)1axf xxxxxx恒成立知2222(1)ln(1)xxxxax，-11 分 记2222(1)ln(1)()xxxxg xx 有3342(2)ln(1)(2)ln(1)2()xxxxxg xxx-12 分 x(1,2)2 2(2,1)e 21e 2(1,)e ()g x+0-0+()g x 2 211e -13 分 高二数学学科 试题 第11页(共 4 页)221422(1)ln(1)4ln(1)1lim()limlimlim222xxxxxxxxxxxg xxx-14 分 所以max()2g x 实数a的取值范围是2a.-15 分(其它解法相应给分)
