2021_2022学年高中数学第3章不等式章末复习课学案新人教B版必修52382.pdf

.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第 3 章 不等式 不等关系与不等式【例 1】(1)如果a，b，c满足cba且acac Bc(ba)0 Ccb2ab2 Dac(ac)0(2)2a3，2b1，求ab，b2a的取值范围(1)C 因为ca，且ac0，所以c0.A 成立，因为cb，所以acac B 成立，因为ba，ba0.C 不一定成立，当b0 时，cb2ab2不成立 D 成立，因为c0，所以ac(ac)0.(2)解：因为2b1，所以 1b2.又因为 2a3，所以 2ab6，所以6ab2.因为2b1，所以 1b24.因为 2a3，所以131a12，所以13b2a0，b0，且ab，比拟a2bb2a与ab的大小 解 因为a2bb2a(ab)a2bbb2aaa2b2bb2a2a(a2b2)1b1a(a2b2)abab ab2abab，因为a0，b0，且ab，所以(ab)20，ab0，ab0，所以a2bb2a(ab)0，即a2bb2aab 不等式的恒成立问题【例 2】假设不等式x2ax3a0 对于满足2x2 的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 思路探究 因为(x1)的符号不确定，所以参变量 a 不能别离，只好研究二次函数 yx2ax3a 解 设 f(x)x2ax3a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2x2 的一切实数 x 恒有f(x)0，只需满足：(1)a24(3a)0，f27a0，a220，或 a243a0，f273a0，f27a0，a220.解(1)(2)得，当7a0 对于满足2x2 的一切实数x恒成立 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法 根据实际情况的需要确定适宜的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元(2)别离参数法 假设f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)恒成立，那么f(a)g(x)max.(3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化 2在 R 上定义运算：a bc dadbc假设不等式x1a1 a2x1 对任意实数 x 恒成立，那么实数a的最大值为()A12 B32 C13 D32 D 原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，x2x1x1225454，所以54a2a2，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。12a32.应选 D 利用均值不等式求最值【例 3】设函数 f(x)xax1，x)0，.(1)当a2 时，求函数 f(x)的最小值；(2)当 0a0，2x10，x12x12 2，当且仅当x12x1，即x 21 时，f(x)取最小值，此时f(x)min 2 21.(2)当 0a1 时，f(x)x1ax11，假设x1ax12a，那么当且仅当x1ax1时取等号，此时xa10，b0)解“定积求和，和最小问题，用abab22解“定和求积，积最大问题(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)xkx(k0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等特别是利用拆项、添项、配凑、别离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证 3(1)假设x，y都是正数，且满足4x16y1，求xy的最小值；(2)假设正实数x，y满足xy1x1y5，求xy的最大值 解(1)xy1(xy)4x16y(xy)204yx16xy2024yx16xy36，当且仅当x12，y24 时，等号成立，xy的最小值为 36.(2)xyxy24，x0，y0，1xy4xy2，xyxy4xy，xy4xyxyt，即t4t5，得到t25t40.解得 1t4.xy的最大值为 4.线性规划问题【例 4】某人上午 7 时，乘摩托艇以v海里/时(4v20)的速度从A港出发匀速驶到距离A港 50 海里的B港去，然后乘汽车以u千米/时(30u100)的速度从B港向距离B港300 千米的C市匀速驶去，应该在同一天下午 4 时至 9 时到达C市设乘汽车、摩托艇所花费的时间分别是x，y小时如果所需经费p1003(5x)2(8y)(元)，那么v，u分别是多少时最经济？此时需花费多少元？思路探究 由题设知v50y，u300 x，4v20,30u100.所以 450y20,30300 x.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。100，所以 3x10，52y252，又由于乘汽车、摩托艇所需时间的和xy应在 9 小时至14 小时之间，也就是 9xy14，由此说明x，y满足 3x10，52y252，9xy14，所以问题就转化为一个线性规划问题 解 分析题中条件可知约束条件为 3x10，52y252，9xy14，目标函数为p1003(5x)2(8y)，即p3x2y131.作出可行域，如图中阴影局部 设 131pk，那么k最大时，p最小作一组平行直线l：3x2yk，当直线过可行域上的点A(10,4)时，k最大，即当x10，y4 时，p最小，此时v50y12.5，u300 x30，p的最小值为pmin3102413193(元)故当v为 12.5 海里/时，u为 30 千米/时时最经济，此时需花费 93 元 1线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务消耗的人力、物力资源最少 2解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案 4假设x，y满足约束条件 x10，xy0，xy40，那么yx的最大值为_ 3 画出可行域如图阴影所示，yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时yx最大 由 x1，xy40，得 x1，y3.A(1,3)，yx的最大值为 3.一元二次方程、一元二次不 等式与二次函数的关系【例 5】设不等式x22axa20 的解集为M，如果M 1,4，求实数a的取值范围 思路探究 由题意，知方程x22axa20 的两根均在区间1,4内，由此可知，函数f(x)x22axa2 的图象与x轴的交点在区间1,4内，因此可得函数的系数应满足的条件不等式，即可求解 解 当M时，满足M 1,4，有4a24(a2)0，所以1a2.当M时，因为M 1,4，所以方程x22axa20 的两根x1，x2均在区间1,4内 因此函数f(x)x22axa2 与x轴的两交点均在区间1,4内，如下图 .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。那么有 f10，f40，0，12a24，所以 3a0，187a0，4a24a20，1a4，即 a3，a187，a1或a2，1a4，解得 2a187.综上可知，实数a的取值范围是a 1a187.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象提醒其解(或解集)的几何特征 5假设关于x的方程 4xa2xa10 有实数解，求实数a的取值范围 解 法一：令 2xt，那么t0，方程 4xa2xa10 有实数解转化为方程t2ata10 在(0，)上有实数解 令f(t)t2ata1.假设方程t2ata10 有一正一负两根，那么必须只需f(0)0，即a10，a1；假设方程t2ata10 有两个正根，那么必须且只需 0，f00，a20，即.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。a24a40，a10，a0，解得1a22 2；假设方程t2ata10 有零根，那么a1，方程变为t2t0，解得t0 或t1，符合题意 综上所述，实数a的取值范围是(，22 2 法二：令 2xt0，原方程化为t2ata10.所以at211tt212t1 t12t1t12t12 2 2222 2.当且仅当t12t1，即t 21 时，取等号，所以实数a的取值范围是(，22 2.分类讨论思想的应用【例 6】假设不等式组 x2x20，2x22k5x5k0，得x2.对于方程 2x2(2k5)x5k0 有两个实数解，x152，x2k.(1)当52k，即k52时，不等式的解集为 x kx52，显然2k，52.(2)当k52时，不等式 2x2(2k5)x5k0 的解集为.(3)当52k，即k52时，不等式的解集为 x52xk.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。不等式组的解集由 x1，52x2，52xk确定 原不等式组整数解只有2，20，0，x2，x1x2，x11(a1)解 原不等式可化为ax1x210，即(a1)xa2a1(x2)0(*)，(1)当a1 时，(*)式即为xa2a1(x2)0，而a2a12aa10，所以a2a12 或xa2a1.(2)当a1 时，(*)式即为xa2a1(x2)0，而 2a2a1aa1，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。假设 0a2，此时 2xa2a1；假设a0，那么(x2)20，此时无解；假设a0，那么a2a12，此时a2a1x2.