2021_2022学年高中数学第2章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率学案北师大版必修22468.pdf

.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。11 直线的倾斜角和斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2 掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点)1.通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养 2通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养.1直线确实定及直线的倾斜角(1)直线确实定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：直线上的一个点和这条直线的方向(2)直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用表示 范围：0180.思考 1：假设一条直线的倾斜角为 0时，此直线与x轴什么关系？提示：平行或重合 2直线的斜率(1)直线的斜率：直线倾斜角的正切值叫作直线的斜率，即k tan，90，不存在，90.(2)经过两点的直线斜率的计算公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为ky2y1x2x1.(3)斜率与倾斜角的关系：图示 倾斜角(范围)0 090 90 90 180 斜率(范围)k0 k0 不存在 k0 .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。思考 2：所有直线都有斜率吗？假设直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？提示：不是假设直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为 90.思考 3：在同一直线(与x轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？提示：相等对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等 1假设直线l的倾斜角为 60，那么该直线的斜率为_ 3 ktan 60 3.2经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是_ 5 ky2y1x2x172435.3经过两点P(1，4)，Q(1，4)的直线的倾斜角是_ 0 ktan y2y1x2x144110，0.直线的倾斜角【例1】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为(090)，那么其倾斜角为()A B180 C180或 90 D90或 90 D 如图，当直线l向上方向的局部在y轴左侧时，倾斜角为 90；当直线l向上方向的局部在y轴右侧时，倾斜角为 90.求直线的倾斜角的方法及两点注意：1方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.2两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为 90；注意直线倾斜角的取值范围是 0180.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转 45后得直线l1，有以下四个选项：45；135；45；135，那么直线l1的倾斜角可能的取值是()A B C D B 当45时，直线l绕点A顺时针旋转 45后得直线l1的倾斜角为45；当045时，直线l1的倾斜角为 180(45)135，应选 B.求直线的斜率【例 2】(1)点A(4，5)，B(2，3)，那么直线AB的斜率kAB_；(2)过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为 1，那么m的值为_ 思路探究 利用直线的斜率公式求解(1)1(2)0(1)kAB3524221.(2)当m3 时，直线AB平行于y轴，斜率不存在 当m3 时，k21m33m31，解得m0.1熟记斜率公式是解答此题的关键 2求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在 2直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(mR)(1)求直线l的斜率；(2)假设直线l的倾斜角为 45，求m的值 解(1)当m2 时，x1x22，直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在 当m2 时，直线l的斜率k21m21m2.(2)45，ktan 1，1m21，即m21，m3.斜率的应用.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。探究问题 1假设三点A(2，3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值 提示：A，B，C在同一条直线上，kABkBC，3342k354，解得k6.2点A(1，3)，B(0，1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？提示：kAB13012，kAC73412，kABkAC.直线AB与AC重合，点A，B，C共线【例 3】坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，31)(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)假设D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围 思路探究(1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)可采用数形结合法来解 解(1)由斜率公式得 kAB11110，kBC31121 3，kAC3112133.tan 00，AB的倾斜角为 0；tan 60 3，BC的倾斜角为 60；tan 3033，AC的倾斜角为 30.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是33，3.1将本例(2)中条件改为“假设点D为BC边上的一动点，其它条件不变，试求直线AD斜率k的变化范围 解 依题意直线AD与BC始终有交点，所以kABkADkAC，所以 0kAD33，所以直线AD斜率的范围为0，33.2将本例(2)中条件改为“假设点D为AC边上的一动点，其它条件不变，试求直线BD.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。斜率k的变化范围 解 依题意，直线BD始终与AC有交点，所以应有kBDkBC或kBDkAB，所以kBD 3或kBD0.所以直线BD斜率的变化范围为(，0(3，)1求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围 2利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线kABkAC或kAB与kAC都不存在 3.y2y1x2x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题 1求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围 2求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解 3当直线的倾斜角0，90)时，随着的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大 1思考辨析(1)任何一条直线都有斜率 ()(2)斜率相等的两直线倾斜角相等()(3)直线的倾斜角越大，那么直线的斜率越大()答案(1)(2)(3)2假设经过P(2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为 1，那么m等于()A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 A 由题意，得kPQ4mm21，解得m1.3在平面直角坐标系中，直线AB的位置如下图，那么直线AB的倾斜角为_，斜率为_ .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。30 33 根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为 30，ktan 3033.4如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为 1，下底长为3，高为 1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率 解 如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，那么有OEEDDA1，CEBD1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC111，kOAkBC0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为 0，0，45.又OC与AB倾斜角互补，那么直线AB的倾斜角为 18045135，直线AB的斜率kABtan 1351.