2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题12一元二次方程(含解析)2559.pdf

专题 12 一元二次方程 考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：20(0)axbxca。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是 2；3）整式方程。1（2019四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（）3x2+x=20，2x2-3xy+4=0，x2-1x=4，x2=0，x2-3x+3=0 A B C D【答案】B【详解】符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是，故选 B.2（2019广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a0，a、b、c 为 常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 A3x3.23 B3.23x3.24 C3.24x3.25 D3.25x3.26【答案】C【详解】观察表格可知 ax2+bx+c 的值与 0 比较接近的是-0.02 和 0.03，相对应的 x 的值分别为 3.24 秘 3.25，因此方程 ax2+bx+c=0（a0，a、b、c 为常数）一个解的范围是 3.24x3.25；故选 C.3（2019广东中考模拟）方程 2x23x5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A3、2、5 B2、3、5 C2、3、5 D2、3、5【答案】C【详解】2x23x5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 2、3、5.故选 C.4（2018湖南中考模拟）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A2210 xx B20axbxc C121xx D223250 xxyy【答案】C【详解】A.是分式方程，故此选项错误；B.当 a0 时，是一元二次方程，故此选项错误；C.是一元二次方程，故此选项正确；D.是二元二次方程，故此选项错误；故选：C.5（2018湖北中考模拟）下列关于 x 的方程中，属于一元二次方程的是（）Ax1=0 Bx2+3x5=0 Cx3+x=3 Dax2+bx+c=0【答案】B【详解】A.未知数的最高次数不是 2，不是一元二次方程，故此选项错误；B.是一元二次方程，故此选项正确；C.未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故此选项错误；D.a=0 时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B.考查题型一 应用一元二次方程的定义求字母参数的方法 1（2019吉林中考模拟）若关于 x 的方程 2m 110 xmx 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（）Am1.Bm1.Cm1 D m0.【答案】A【详解】由题意得：m10，解得：m1，故选：A 2（2019四川中考模拟）若2223aax是关于 x 的一元二次方程，则a的值是（）A0 B2 C-2 D2【答案】C【详解】由题意得：222,20aa，解得：a=-2.故选 C.3（2017重庆中考模拟）若方程211120mmxmx是一元二次方程，则 m 的值为（）A0 B1 C1 D1【答案】D【详解】因为方程211120mmxmx是一元二次方程,所以212m ,10m,解得1m 且1m 所以1m ,故选 D.4（2019汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 的常数项为 0，则m等于（）A1 B2 C1 或 2 D0【答案】B【详解】根据一元二次方程的相关概念可知，m-10，2320mm，解得：m=2.故选：B.考查题型二 一元二次方程的根的应用方法 1（2019四川中考模拟）若 n（0n）是关于 x 的方程220 xmxn的根，则 m+n 的值为（）A1 B2 C-1 D-2【答案】D【详解】解：n n0是关于 x 的方程2xmx2n0的根，2nmn2n0，即 n(n+m+2)=0,n0,n+m+2=0,即 m+n=-2,故选 D.2（2019中山市杨仙逸中学中考模拟）已知 y0 是关于 y 的一元二次方程（m1）y2+my+4m240 的一个根，那么 m 的值是（）A0 B1 C1 D1【答案】D【详解】把 y=0 代入（m-1）y2+my+4m2-4=0 得：4m2-4=0，即 m2-1=0 解得：m1=1，m2=-1 当 m=1 时，关于 y 的方程由于二次项系数为 0，不是一元二次方程，所以 m=-1 故选 D 3（2018河北中考模拟）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+6=0 的一个根为 x=2，则代数式 6a3b+6 的值为（）A9 B3 C0 D3【答案】D【详解】关于x的一元二次方程260axbx的一个根为x=2，22260ab ，化简，得 2ab+3=0，2ab=3，6a 3b=9，6a 3b+6=9+6=3，故选 D.知识点 2：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)xmn n的形式；【注意】：1）当0n 时，方程无解 2）若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。1（2019江苏中考真题）用配方法解方程2890 xx，变形后的结果正确的是()A249x B247x C2425x D247x【答案】D【详解】2890 xx，289xx，2228494xx ，所以247x，故选 D.2.（2018浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程 x26x1=0 时，下列变形正确的是（）A（x3）2=1 B（x3）2=10 C（x+3）2=1 D（x+3）2=10【答案】B【详解】x26x1=0 方程移项得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，故选：B 3.（2015湖北中考真题）用配方法解一元二次方程 x26x4=0，下列变形正确的是（）A（x6）2=4+36 B（x6）2=4+36 C（x3）2=4+9 D（x3）2=4+9【答案】D【详解】x26x4=0，x26x=4，x26x+9=4+9，（x3）2=4+9，故选 D.方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)xab b的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得xab或者xab，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】1)若 b0，方程有两个实数根。（若 b0，方程有两个不相等的实数根；若 b=0，方程有两个相等的实数根）2)若 b52 B52且2 C3 D3且2【答案】B【详解】解：根据题意得 20，30，=(3)24(2)140，解得m52且m2 故选 B 3（2019安徽中考模拟）若关于 x 的一元二次方程222(1)10 xkxk 有实数根，则 k 的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【答案】D【详解】关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，=b24ac=4（k1）24（k21）=8k+80，解得：k1 故选：D 4（2018广东中考模拟）关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0 有两个不相等的实数根，则实数m的取 值范围是（）A0m 且1m B0m C0m且1m D0m【答案】A【详解】关于x的一元二次方程x22x（m1）=0 有两个不相等的实数根，=（2）241（m1）=4m0，m0 故选 B 5（2019湖北中考模拟）关于x的一元二次方程230 xxm有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A94m B94m C94m D94m【答案】A【详解】关于x的一元二次方程x23x+m=0 有两个不相等的实数根，=b24ac=（3）241m0，m94，故选 A 方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为 0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；求解 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 1（2019湖州市南浔区南浔锦绣实验学校中考模拟）若x2 是关于x的一元二次方程x232axa20的一个根，则a的值为（）A1 或 4 B1 或4 C1 或4 D1 或 4【答案】C 【详解】x=-2 是关于 x 的一元二次方程22302xaxa的一个根，（-2）2+32a（-2）-a2=0，即 a2+3a-4=0，整理，得（a+4）（a-1）=0，解得 a1=-4，a2=1 即 a 的值是 1 或-4 故选 A 2（2019长沙市南雅中学中考模拟）三角形两边长分别为 4 和 6，第三边是方程x213x+360 的根，则三角形的周长为（）A14 B18 C19 D14 或 19【答案】D【详解】解：（x4）（x9）0，x40 或x90，所以x14，x29，即三角形的第三边长为 4 或 9，所以三角形的周长为 4+6+414 或 4+6+919 故选：D 3（2013宁夏中考真题）一元二次方程x x22x的根是 A1 B2 C1 和 2 D1 和 2【答案】D【详解】x x22x x x2x20 x2x10 x20 x10 或 12x2x1，,故选 D.4（2018四川中考模拟）已知一元二次方程 x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为（）A13 B11 或 13 C11 D12【答案】B【详解】x2-8x+15=0，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，可得 x-3=0 或 x-5=0，解得：x1=3，x2=5，若 3 为底边，5 为腰时，三边长分别为 3，5，5，周长为 3+5+5=13；若 3 为腰，5 为底边时，三边长分别为 3，3，5，周长为 3+3+5=11，综上，ABC 的周长为 11 或 13 故选 B.方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c0（a 0，）之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数 a，b，c 之间有如下关系：1x+2xba；1x2xca 考查题型四 一元二次方程根与系数关系的应用 1（2017湖北中考模拟）已知 mn1，且 5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则mn 的值为（）A402 B59 C95 D6703【答案】C【详解】将 9n2+2010n+5=0 方程两边同除以 n2，变形得：5（1n）2+20101n+9=0，,又 5m2+2010m+9=0，m 与1n为方程 5x2+2010 x+9=0 的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得 m1n=mn=95 故选：C 2（2019贵州中考真题）一元二次方程x23x+10 的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x22 的值是（）A10 B9 C8 D7【答案】D【详解】x1为一元二次方程 x23x+10 的根，x123x1+10，x123x11，x12+3x2+x1x223x11+3x2+x1x223（x1+x2）+x1x23，根据题意得 x1+x23，x1x21，x12+3x2+x1x2233+137 故选：D 3（2017广东中考模拟）关于的方程220 xaxa的两根的平方和是 5，则a的值是()A-1 或 5 B1 C5 D-1【答案】D【详解】设方程的两根为1x、2x，则12xxa，122xxa，Q22215xx，2121225xxx x，2450aa，15a，21a ，Q280aaV，1a.故选：D.4.（2019湖北中考真题）关于x的一元二次方程240 xxm的两实数根分别为1x、2x，且1235xx，则m的值为（）A74 B75 C76 D0【答案】A 【详解】解：x1+x2=4，x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，x2=12，把 x2=12代入 x2-4x+m=0 得：（12）2-412+m=0，解得：m=74，故选：A 5（2019广州市第六十五中学中考模拟）已知a、b为一元二次方程2290 xx的两个根，那么2aab的值为（）A-7 B0 C7 D11【答案】D【详解】解：由题意得：2290aa，则29aaa，2999211aababab，故选择 D.知识点 4：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。考查题型五 用一元二次方程解决平均增长率问题 1（2018河南中考模拟）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A560（1x）2315 B560（1x）2315 C560（12x）2315 D560（1x2）315【答案】B【详解】试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x，可列方程为 560（1-x）=315.故选：B 2（2013甘肃中考真题）某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均增长率为 x，则可列方程为（）A48（1x）2=36 B48（1+x）2=36 C36（1x）2=48 D36（1+x）2=48【答案】D【详解】某超市一月份的营业额为 36 万元，每月的平均增长率为 x，二月份的营业额为 36（1+x），三月份的营业额为 36（1+x）（1+x）=36（1+x）2.根据三月份的营业额为 48 万元，可列方程为 36（1+x）2=48.故选 D.3（2018安徽中考模拟）某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()A2 1 20%11 15%x B21 15%(1)1 20%x C2 1 15%11 20%x D21 20%(1)1 15%x 【答案】D【详解】设一月份的产量为 a，由题意可得，2a 1 20%(1x)a 1 15%，则2120%(1x)1 15%，故选 D 考查题型六 用一元二次方程解决“每每型”问题 1（2018海南中考模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价 1 元，平均每天可多销售 2 件，若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价（）A5 元 B10 元 C20 元 D10 元或 20 元【答案】C【详解】设每件衬衫应降价 x 元，则每天可销售（20+2x）件，根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=10，x2=20 扩大销售，减少库存，x=20 故选 C 2（2019忻城县民族中学中考模拟）宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用.当房价定为x元时，宾馆当天的利润为 10890 元.则有()A(18020)501089010 xx B1805050201089010 xx C180(20)501089010 xx D(180)5050201089010 xx【答案】C【详解】房价定为x元，由题意得 x180 x20501089010，故选 C.3.（2019山东中考模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.【详解】（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+23=26 件（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得 x2-30 x+200=0，解得：x1=10，x2=20 要求每件盈利不少于 25 元，x2=20 应舍去，x=10 答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 考查题型七 用一元二次方程解决几何图形问题 1（2019广西中考模拟）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（）A10646x=32 B（102x）（62x）=32 C（10 x）（6x）=32 D1064x2=32【答案】B【详解】设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10 2x）cm，宽为（6 2x）cm，根据题意得：（10 2x）（6 2x）32 故选：B 2（2019广西中考真题）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A3302020 304xx B13022020 304xx C1302 2020 304xx D33022020 304xx【答案】D【详解】设花带的宽度为xm，则可列方程为3(302)(20)20 304xx，故选：D 3（2012广东中考模拟）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A213014000 xx B2653500 xx C213014000 xx D2653500 xx【答案】B【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm，得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，整理后得：2653500 xx 故选：B.4（2019安徽中考模拟）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪若草坪的面积为 570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A32202x2570 B32203x2570 C（32x）（202x）570 D（322x）（20 x）570【答案】D【详解】解：设道路的宽为 xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选：D 考查题型八 用一元二次方程解决传播问题 1（2019黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A4 B5 C6 D7【答案】C【详解】设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：2143xx，解得：17x （舍去），26x 故选：C 2（2018安徽中考模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（）Ax(x+1)=1035 Bx(x-1)=1035 C12x(x+1)=1035 D12x(x-1)=1035【答案】B【详解】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是 x（x-1）张，即可列出方程 全班有 x 名同学，每名同学要送出（x-1）张；又是互送照片，总共送的张数应该是 x（x-1）=1035 故选 B 3（2019天津中考模拟）某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了 36场比赛.如果全队有x名队员，根据题意下列方程正确的是（）A(1)36x x B(1)36x x C(1)362x x D(1)362x x【答案】C【详解】解：设有 x 名队员，每个队员都要赛（x-1）场，但两人之间只有一场比赛，故1(1)362x x，故选：C