2022届高三第四次大联考数学5550.pdf

2022 届高三第四次大联考数学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 Ax|x4x10，B2，1，1，2，则(CRA)B A1，1 B2，1 C2，1，1 D2，1，1，2 2已知复数 z 满足(1i)z12i，则 z 在复平面内对应的点所在的象限为 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设 F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，经过点 F 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A，B 两点若OAB(O 为坐标原点)的面积为 3 2，则 p A 2 B 6 C1 D2 4我国古代数学著作张丘建算经记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何?”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与 3 钱，第二人赠与 4 钱，第三人赠与5 钱，继续依次递增 1 钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得 100 钱，问一共赠钱给多少人?”在上述问题中，获得赠与的人数为 A191 B193 C195 D197 5已知sin(x6)55，则sin(2x56)A35 B15 C25 D35 6已知函数 f(x)(xa)(xb)ex在 xa 处取极小值，且 f(x)的极大值为 4，则 b A1 B2 C3 D4 7已知正四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面边长分别为 1 和 2，P 是上底面 A1B1C1D1的边界上一点若PAPC的最小值为12，则该正四棱台的体积为 A72 B3 C52 D1 8北京冬奥会火种台(图 1)以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种 如图 2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，浮高 50cm，上口直径为1003cm，底座直径为 25cm，最小直径为 20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为 A2 B135 C74 D73 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9一组样本数据 x1，x2，xn的平均数为x(x0)，标准差为 s另一组样本数据 xn1，xn2，x2n的平均数为 3x，标准差为 s两组数据合成一组新数据 x1，x2，xn，xn1，xn2，x2n，新数据的平均数为y，标准差为 s，则 Ay2x By2x Css Dss 10已知 P 是圆 O：x2y24 上的动点，直线 l1：xcosysin4 与 l2：xsinycos1交于点 Q，则 Al1l2 B直线 l1与圆 O 相切 C直线 l2与圆 O 截得弦长为2 3 D|PQ|长最大值为 172 11已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边为 1，侧棱长为 a，M 是 CC1的中点，则 A任意 a0，A1MBD B存在 a0，直线 A1C1与直线 BM 相交 C平面 A1BM 与底面 A1B1C1D1交线长为定值52 D当 a2 时，三棱锥 B1A1BM 外接球表面积为 3 12已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象连续不间断，当 x0 时，f(1x)2f(1x)，且当 x0 时，f(1x)f(1x)0，则下列说法正确的是 Af(1)0 Bf(x)在(，1上单调递减 C若 x1x2，f(x1)f(x2)，则 x1x22 D若 x1，x2是 g(x)f(x)cosx 的两个零点，且 x1x2，则1f(x2)f(x1)2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某校举行“三人制”校园篮球比赛，共有 8 支代表队报名参加比赛，比赛规则是先抽签随机分成两组，每组 4 支队伍则甲、乙两支队伍分在不同小组的概率为 14已知 f(x)2sin(x)，试写出一个满足条件的 1；(2)f(6)2；f()0 15若 exeye，x，yR，则 2xy 的最小值为 16德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为 1 的正方形分成 9 个边长为13的小正方形后，保留靠角的 4 个，删去其余5 个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续 9 等分，并保留每个小正方形靠角的4 个，其余正方形删去；以此方法继续下去经过 n 次操作后，共删去 个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过11000，则至少需要操作 次(lg20.3010，lg30.4771)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)已知数列an是公差不为零的等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，a12b12，a3b32a7b51(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设 cnan2，求数列cnbn1的前 10 项的和 S10 注：x表示不超过 x 的最大整数 18(12 分)某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70 毫米则大小达标，着色度不低于 90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取 100 个进行检验，得到如下统计表格：直径小于 70 毫米 直径不小于 70 毫米 合计 着色度低于 90%10 15 25 着色度不低于 90%15 60 75 合计 25 75 100(1)根据以上数据，判断是否有 95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取 10 个苹果，再从中随机抽取 3 个，求抽到二级果个数 X 的概率分布列和数学期望 附：P(K2k0)0.050 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)，其中 nabcd 19(12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，a1，bcosAcosB2b(1)证明：c2b；(2)求ABC 的面积的最大值 20(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB/CD，ADCD，CD2AB4，PAD 是正三角形，PBBC，E 是棱 PD 的中点(1)证明：面 PAD平面 ABCD；(2)若二面角 EACD 的大小为 45，求PAD 的边长 21(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为2 55，A1，A2是 C 的上、下顶点，且|A1A2|2过点 P(0，2)的直线 l 交 C 于 B，D 两点(异于 A1，A2)，直线 A1B 与 A2D 交于点 Q(1)求 C 的方程；(2)证明：点 Q 的纵坐标为定值 22(12 分)已知函数 f(x)xaalnxb(a0)(1)求函数 f(x)的单调区间 (2)若 a0，b1，证明：f(x)存在两个零点 x1，x2，且 x1ax2a2