2021_2022学年高中数学第3章推理与证明11.1归纳推理学案北师大版选修1_22301.pdf

.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1.1 归纳推理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进展简单的推理(重点)2 了解归纳推理在数学开展中的作用(难点)1.通过归纳推理概念的学习，表达了数学抽象的核心素养 2通过归纳推理的应用的学习，表达了逻辑推理的核心素养.1归纳推理的定义 根据一类事物中局部事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理 2归纳推理的特征 归纳推理是由局部到整体，由个别到一般的推理 思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？提示 不一定正确因为归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性 1以下关于归纳推理的说法错误的选项是()归纳推理是由一般到一般的推理过程；归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 A B C D A 归纳推理是由特殊到一般的推理，故不正确，易知均正确，应选 A.2假设空间中n个不同的点两两距离都相等，那么正整数n的取值()A至多等于 3 B至多等于 4 C等于 5 D大于 5 B n2 时，可以；n3 时，为正三角形，可以；n4 时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能 3由集合a1，a1，a2，a1，a2，a3，的子集个数归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为_ 2n 集合a1有两个子集和a1，集合a1，a2的子集有，a1，a2，a1，a2共 4 个.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。子集，集合a1，a2，a3有 8 个子集，由此可归纳出集合a1，a2，a3，an的子集个数为 2n个 数式中的归纳推理 【例 1】(1)观察以下各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，那么a10b10()A28 B76 C123 D199(2)f(x)x1x，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，那么f3(x)的表达式为_，猜测fn(x)(nN)的表达式为_ 思路点拨：(1)记anbnf(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论(2)写出前几项发现规律，归纳猜测结果(1)C(2)f3(x)x14x fn(x)x12n1x(1)记anbnf(n)，那么f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)ff(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，那么f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)x1x，f2(x)f1(f1(x)x1x1x1xx12x，f3(x)f2(f2(x)x12x12x12xx14x，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)x12n1x.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。等式或不等式进展归纳推理的方法 1要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律 2要特别注意所给几个等式(或不等式)中构造形式的特征 3提炼出等式(或不等式)的综合特点 4运用归纳推理得出一般结论 1经计算发现以下不等式：2 182 10，4.5 15.52 10，3 217 22 10，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.当ab20 时，有ab2 10，a，bR 从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为 20，故可以归纳为ab20 时，ab2 10.数列中的归纳推理 【例 2】(1)在数列an中，a11，an11an1，那么a2 019等于()A2 B12 C2 D1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中 1,3,6,10 这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数 思路点拨：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如 11,312,6123；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数(1)C a11，a212，a32，a41，数列an是周期为 3 的数列，2 0196733，a2 019a32.(2)解 法一：由 11，312，6123，101234，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。可归纳出第n个三角形数为 123nnn12.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项 122 232 342 452 分析：各项的分母均为 2，分子分别为相应项数与相应项数加 1 的积 归纳：第n个三角形数的石子数应为nn12.数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前几项和公式 2数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜测通项公式an.解(1)当n1 时，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜测出an2n1(nN)几何图形中的归纳推理 探究问题 1某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥形的展品，其中第 1 堆只有一层，就一个球；第 2,3,4，堆最底层(第一层)分别按如下图方式固定摆放，从第二层开场，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值 提示 观察图形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.2上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式 提示 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1)nn12.将以上(n1)个式子相加可得 f(n)f(1)3610nn12 12(1222n2)(123n)1216nn12n1nn12 nn1n26.【例 3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成假设干个图案，那么第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31 C32 D36 思路探究：解答此题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论 B 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 个有纹正六边形围绕(图案 1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共的菱形纹正六边形)，故第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.在题干不变的条件下，第 6 个图案中周围的边有多少条？.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。解 各个图形周围的边的条数如下表：图案 1 2 3 边条数 18 26 34 由表可知，周围边的条数依次组成一个以 18 为首项，8 为公差的等差数列，解得第 6 个图形周围的边的条数为 188(61)58 条 归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进展归纳推理解答该类问题的一般策略是：3根据图中线段的排列规那么，试猜测第 8 个图形中线段的条数为_ 509 分别求出前 4 个图形中线段的数目，发现规律，得出猜测图形到中线段的条数分别为 1,5,13,29，因为 1223,5233,13243,29253，因此可猜测第 8 个图形中线段的条数应为 2813509.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段通过归纳推理得到的猜测，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题 2归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别情况发现某些一样性质；(2)从的一样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜测)1判断正误(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的()答案(1)(2)(3)2用火柴棒摆“金鱼，如下图：按照上面的规律，第n个“金鱼图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 C a18，a214，a320，猜测an6n2.31216123,122216235,12223216347,1222344216459，那么 1222n2_.(其中nN*)16n(n1)(2n1)根据题意归纳出 1222n216n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，那么 2313312311,3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得 1222n216n(n1)(2n1).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。4有以下三个不等式：(1242)(9252)(1945)2，(6282)(22122)(62812)2，(202102)(102272)(20102107)2.请你观察这三个不等式，猜测出一个一般性的结论，并证明你的结论 解 结论为：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22abcd)a2d2b2c22abcd(adbc)20.所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2.