(新课改地区)2021版高考数学第四章三角函数、解三角形4.3三角恒等变换练习新人教B版2759.pdf
4.3 三角恒等变换 核心考点精准研析 考点一 三角函数式的化简求值 1.(2019全国卷)已知,2sin 2=cos 2+1,则 sin=()A.B.C.D.2.计算:=_.3.化简:=_.【解析】1.选 B.由 2sin 2=cos 2+1 得 4sin cos=2cos2,即 2sin=cos,结合 sin2+cos2=1,解得 sin=.2.=2.答案:2 3.原式=1.答案:1 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解 T3,原式=1.三角形法解 T1,因为,所以 sin 0,cos 0,由 2sin 2=cos 2+1 得 4sin cos=2cos2,即 2sin=cos,tan=,画直角三角形如图,不妨设角对边为 1,邻边为 2,则斜边为,sin=.考点二 条件求值问题 命 题 精 解 读 考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学 霸 好 方 法 条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2=,sin2=.(2)升幂公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式变形:tan tan=tan()(1tan tan).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+)其中 sin=,cos=给角求值【典例】(2019沈阳四校联考)化简:-=_.【解析】-=4.答案:4 给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.给值求值【典例】1.(2018全国卷)已知 sin+cos=1,cos+sin=0,则 sin(+)=_.2.(2018全国卷)已知 tan=,则 tan=_.【解析】1.由 sin+cos=1 与 cos+sin=0 分别平方相加得 sin2+2sin cos+cos2+cos2+2cos sin+sin2=1,即 2+2sin cos+2cos sin=1,所以 sin(+)=-.答案:-2.因为 tan=tan=,所以=,解得 tan=.答案:给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.给值求角【典例】(2020长春模拟)已知 sin=,sin(-)=-,均为锐角,则角值是_.【解析】因为,均为锐角,所以-.又 sin(-)=-,所以 cos(-)=.又 sin=,所以 cos=,sin=sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=-=,所以=.答案:如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦 函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.1.化简:=_.【解析】原式=.答案:2.(2019福州模拟)已知 A,B 均为钝角,sin2+cos=,且 sin B=,则 A+B=()A.B.C.D.【解析】选 C.因为 sin2+cos=,所以+cos A-sin A=,即-sin A=,解得 sin A=.因为 A 为钝角,所以 cos A=-=-=-.由 sin B=,且 B 为钝角,得 cos B=-=-=-.所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=-=.又 A,B 都为钝角,即 A,B,所以 A+B(,2),所以 A+B=.3.(2020佛山模拟)已知 cos=,(-,0),则 cos =()A.-B.-C.D.【解析】选 A.因为 cos=,(-,0),所以 sin=-=-,所以 cos=cos cos+sin sin=+=-.1.(2019贵阳模拟)sin415-cos415=()A.B.-C.D.-【解析】选 D.sin415-cos415=(sin215-cos215)(sin215+cos215)=sin215-cos215=-cos 30=-.2.定义运算=ad-bc.若 cos=,=,0,则=_.【解析】由已知得 sin cos-cos sin=sin(-)=.又 0,所以 0-,所以 cos(-)=,而 cos=,所以 sin=,于是 sin=sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=-=,所以=.答案:考点三 三角恒等变换的综合应用 【典例】1.如图,在矩形 OABC 中,AB=1,OA=2,以 B 为圆心,BA 为半径在矩形内部作弧,点 P 是弧上一动点,PMOA,垂足为 M,PNOC,垂足为 N,求四边形 OMPN 的周长的最小值.【解析】连接 BP,设CBP=,其中 0,则 PM=1-sin,PN=2-cos,则周长 C=6-2(sin+cos)=6-2 sin,因为 0,所以+0)求周期;根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y=Asin(x+)+b 或 y=Acos(x+)+b 的单调区间.1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设SOP=,求为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.【解析】因为SOP=,所以 PS=sin,SR=2cos,故 S矩形 PQRS=SRPS=2cos sin=sin 2,故当=时,矩形的面积有最大值 1.2.(2020合肥模拟)已知函数 f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求 f(x)的最小正周期.(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知得 f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以 f(x)的最小正周期 T=.(2)由(1)知 f(x)=sin.因为-x,所以-2x-,所以当 2x-=-,即 x=-时,f(x)有最小值-;当 2x-=,即 x=时,f(x)有最大值 .所以 f(x)在 上的最大值为,最小值为-.
