2019_2020学年高中数学第8章三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦学案2849.pdf

第 1 课时 两角和与差的正弦 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题(重点)1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养 2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.两角和与差的正弦公式(1)S：sin()sin_cos_cos_sin_.(2)S：sin()sin_cos_cos_sin_.2.辅助角公式 f(x)asin xbcos xa2b2sin(x)(a，b不同时为 0)，其中 cos aa2b2，sin ba2b2.思考：根据公式 C()的识记规律，你能总结出公式 S()的记忆规律吗？提示 对比公式 C()的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式 S()的记忆规律：“正余余正，加减相同”1.cos 17sin 13sin 17cos 13的值为()A12 B22 C32 D以上都不对 A 原式sin(1317)sin 3012.2.函数ysin xcos x的最小正周期是()A2 B C2 D4 C ysin xcos x 222sin x22cos x 2sinx4，函数的最小正周期为T2.3.已知为锐角，sin 35，是第四象限角，cos()45，则 sin()_.0 为锐角，且 sin 35，cos 45.又为第四象限角，且 cos()cos 45，cos 45，sin 35.sin()354545350.利用公式化简求值【例 1】(1)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32 B12 C12 D32 (2)求 sin 157cos 67cos 23sin 67的值(3)求 sin(75)cos(45)3cos(15)的值 思路探究(1)化简求值应注意公式的逆用(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值(1)C sin 47sin 17cos 30cos 17 sin1730sin 17cos 30cos 17 sin 17cos 30cos 17sin 30sin 17cos 30cos 17 cos 17sin 30cos 17sin 3012.(2)解 原式sin(18023)cos 67cos 23sin 67 sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901.(3)解 sin(75)cos(45)3cos(15)sin(1560)cos(1530)3cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30 3cos(15)12sin(15)32cos(15)32cos(15)12sin(15)3cos(15)0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值 2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换 1.化简下列各式：(1)sinx32sinx3 3cos23x；(2)sin2sin 2cos()解(1)原式sin xcos 3cos xsin 32sin xcos 32cos xsin 3 3cos 23cos x 3sin 23sin x12sin x32cos xsin x 3cos x32cos x32sin x 12132sin x32 332cos x0.(2)原式sin2cossin sin sincos cossin sin sinsin sin sin.给值(式)求值【例 2】设2，32，2，若 cos 12，sin 32，求sin()的值 思路探究 应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值 解 因为2，cos 12，所以 sin 32，因为32，2，sin 32，所以 cos 12.所以 sin()sin cos cos sin 3212123232.1.(变结论)若条件不变，试求 sin()cos()的值 解 sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 3212123212123232343414341.2.(变条件)若将角的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解 因为2，cos 12，所以 sin 32.因为为第三象限，所以 cos 12.所以 sin()sin cos cos sin 3212123234340.1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式 2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式 提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值 辅助角公式的应用 探究问题 1.函数f(x)sin xcos x(xZ)的最大值为 2 对吗？为什么？提示 不对因为 sin xcos x 222sin x22 cos x 2sin xcos 4cos xsin 4 2sinx4，所以函数的最大值为 2.2.函数f(x)3sin x4cos x的最大值等于多少？提示 因为f(x)3sin x4cos x 535sin x45cos x，令 cos 35，sin 45，则f(x)5(sin xcos cos xsin)5sin(x)，所以函数的最大值为 5.3.如何推导asin xbcos xa2b2sin(x)tan ba公式？提示 asin xbcos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos x，令 cos aa2b2，sin ba2b2，则 asin xbcos xa2b2(sin xcos cos xsin)a2b2sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由 tan ba确定，或由 sin ba2b2和 cos aa2b2共同确定)【例 3】设函数f(x)sin xsinx3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到 思路探究 辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并 解(1)f(x)sin xsin xcos 3cos xsin 3sin x12sin x32cos x32sin x32cos x 3sin xcos 6cos xsin 6 3sin x6，当 sin x61 时，f(x)min 3，此时x6322k(kZ)，所以x432k(kZ)所以f(x)的最小值为 3，x的集合为 x x432k，kZ.(2)将ysin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 3倍，得y 3sin x的图像；然后将y 3sin x的图像上所有的点向左平移6个单位长度，得f(x)3sinx6的图像.(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？解 由本例解析知函数可化为f(x)3sinx6，当 2k2x62k2(kZ)，即 2k23x2k3(kZ)时，函数为增函数；当 2k2x62k32，即 2k3x2k43(kZ)时，函数为减函数 所以函数f(x)的单调增区间为 2k23，2k3(kZ)，函数f(x)的单调减区间为 2k3，2k43(kZ)1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成yAsin(x)的形式求解 2.函数图像可通过ysin xysinx6y 3sinx6的顺序得到 1.两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的，均为任意角(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例 2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系 3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.1.若 cos 45，是第三象限的角，则 sin4()A7 210 B7 210 C210 D210 A cos 45，为第三象限角，sin 35，由两角和的正弦公式得 sin 4sin cos 4cos sin 4 352245227 210.2.函数f(x)sin xcosx6的值域为()A2,2 B 3，3 C1,1 D32，32 B f(x)sin xcosx6sin x32cos x 12sin x32sin x32cos x 3sinx6，所以函数f(x)的值域为 3，3 故选 B 3.sin 155cos 35cos 25cos 235_.32 原式sin 25cos 35cos 25sin 35 sin(2535)sin 6032.4已知，均为锐角，sin 55，cos 1010，求.解，均为锐角，sin 55，cos 1010，sin 3 1010，cos 2 55.sin sin，20，sin()sin cos cos sin 5510102 553 101022，4.