丰台区2020年高三年级第二学期综合练习(二)数学4496.pdf

丰台区高三数学二模考试试题 第1 页/共12页 丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）数学 2020.06 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 集合22AxxZ的子集个数为（A）4（B）6（C）7（D）8 2 函数21()2f xxx的定义域为（A）(0 2),（B）0 2,（C）(0)(2),（D）(02),3 下列函数中，最小正周期为的是（A）1sin2yx（B）1sin2yx（C）cos()4yx（D）12tanyx 4 已知数列 na的前n项和2nSnn，则23aa（A）3（B）6（C）7（D）8 5 设，ab为非零向量,则“ab”是“+abab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 6 已知抛物线M:)0(22ppyx的焦点与双曲线13:22 xyN的一个焦点重合，则p（A）2（B）2（C）22（D）4 7 已知函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x（A）是奇函数，且在定义域上是增函数（B）是奇函数，且在定义域上是减函数（C）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数 丰台区高三数学二模考试试题 第2 页/共12页 8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A）2 33 （B）43（C）4 33 （D）2 3 9.在ABC中，3AC，7BC，2AB，则AB边上的高等于（A）2 3（B）3 32（C）262（D）32 10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,(,a b c abc且,)Na b c；选手总分为各场得分之和四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A）每场比赛的第一名得分a为 4 （B）甲至少有一场比赛获得第二名 （C）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D）丙至少有一场比赛获得第三名 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11.已知复数2iz，则z 12.已知直线10 xy 的倾斜角为，则cos 13.双曲线)0,0(1:2222babyaxM的离心率为3，则其渐近线方程为 .14 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲子年 乙丑年 丙 寅年 丁 卯年 戊 辰年 己 巳年 庚 午年 辛 未年 壬 申年 癸 酉年 甲 戌年 乙 亥年 丙 子年 丰台区高三数学二模考试试题 第3 页/共12页 2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年是己巳年，则 2059 年是_年；使用干支纪年法可以得到_种不同的干支纪年.15已知集合22()|(cos)(sin)4 0Px yxy,.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：“水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1）；在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3；阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则33CD；白色“水滴”图形的面积是1136.其中正确的有_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共 14 分）如图，四边形ABCD为正方形，MAPB，MABC，ABPB，1MA，2ABPB.（）求证：PB 平面ABCD；（）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值.17.（本小题共 14 分）已知等差数列 na的前n项和为nS，12a，520=S.（）求数列 na的通项公式；（）若等比数列 nb满足449ab，且公比为q，从2q；12q；1q 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列nnab的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.丰台区高三数学二模考试试题 第4 页/共12页 18.（本小题共 14 分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学校，10 所学校的参与人数如下：（）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查.求选出的 2 所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人的概率；（）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加旱地冰壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望；（）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技术指导.规定：这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作达到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共 15 分）已知函数1()exxf x.（）求函数()f x的极值；（）求证：当(0,)x时，21()12f xx；（）当0 x 时，若曲线()yf x在曲线21yax的上方，求实数a的取值范围.丰台区高三数学二模考试试题 第5 页/共12页 20.（本小题共 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过(1 0)A,，(0)Bb,两点.O为坐标原点，且AOB的面积为24.过点(0 1)P,且斜率为(0)k k 的直线l与椭圆C有两个不同的交点MN，,且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T.（）求椭圆C的方程；（）求直线l的斜率k的取值范围；（）设PSPO PTPO,求的取值范围.21.（本小题共 14 分）已知无穷集合,A B,且,ABNN，记,ABab aA bB，定义：满足*()ABN时，则称集合,A B互为“完美加法补集”.（）已知集合21,Aa ammN2,Bb bn nN.判断 2019和2020是否属于集合AB，并说明理由；（）设集合2422024222+2+2+2+2,0,1;0,1,N,isisiAx xis s 132 12 1*132 12 12 12+2+2+2,0,11,NisisiBx xis s；.()求证：集合,A B互为“完美加法补集”；（）记 A n和 B n分 别 表 示 集 合,A B中 不 大 于*()n nN的 元 素 个 数，写 出 满 足 A n 1B nn的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）数学 参考答案及评分参考 202006 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C D B A B C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 丰台区高三数学二模考试试题 第6 页/共12页 115 1222 132yx 14.己卯；60 15.三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共 14 分）证明：（）因为MABC，MA/PB，所以PBBC，因为ABPB，ABBCB，所以PB 平面ABCD.5 分 （）因为PB 平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PBAB，PBAD.因为四边形ABCD为正方形，所以ABBC.如图建立空间直角坐标系Bxyz，则(0 0 2)P,，(2 0 1)M,，(0 2 0)C,，(2 2 0)D,，(0 22)PC,，(2 22)PD,，(2 01)PM,.设平面PDM的法向量为()x y z,u，则00PDPM,uu 即222020 xyzxz,.令2z，则1x，1y .于是(11 2),u.平面PDM的法向量为(11 2),u.设直线PC与平面PDM所成的角为，所以3sincos6PCPCPC,uuu.所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为36.14分 17.（本小题共 14 分）解：（）设等差数列 na的公差为d，又因为1(1)2nn nSnad，且12a，丰台区高三数学二模考试试题 第7 页/共12页 所以5101020Sd，故1d.所以1nan.6 分（）由（）可知，45a，又449ab，所以44b.若选择条件2q，可得41312bbq，1122()()()nnnTababab 1212()()nnaaabbb 11()(1)21nnn aabqq 1(3)1222nn n.14分 若选择条件12q，可得41332bbq，1122()()()nnnTababab 1212()()nnaaabbb 11()(1)21nnn aabqq 6(3)2642nn n.若选择条件1q ，可得4134bbq，1122()()()nnnTababab 1212()()nnaaabbb 11()(1)21nnn aabqq(3)+2(1(1)2nn n.18（本小题共 14 分）解：（）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件 S，丰台区高三数学二模考试试题 第8 页/共12页 参与越野滑轮人数超过 40 人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共246C 种，所以242104 322()10 9152CP SC.4 分（）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3CCP XC，11462108(1)15CCP XC，20462102(2)15CCP XC.X 的分布列为：X 0 1 2 P 13 815 215 1824()012315155E X .11 分（）答案不唯一 答案示例 1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10 028CC+.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化 答案示例 2：无法确定理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10 028CC+.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化 14 分 19.（本小题共 15 分）解：（）因为1()exxf x，定义域 R，所以()exxfx .令()0fx，解得0 x.丰台区高三数学二模考试试题 第9 页/共12页 随x的变化，()fx和()f x的情况如下：由表可知函数()f x在0 x 时取得极大值(0)1f，无极小值.5 分 （）令22111()()11(0)2e2xxg xf xxxx，1e1()=(1)()eeexxxxxg xxxx.由0 x 得e10 x，于是()0gx，故函数()g x是0),+上的增函数.所以当(0)x,+时，()(0)0g xg，即21()12f xx.9 分（）当12a 时，由（）知221()121f xxax ，满足题意.令221()()11exxh xf xaxax，1()2(2)eexxxxaxxah .当102a时，若1(0 ln()2xa，()0h x，则()h x在10 ln()2a，上是减函数.所以1(0 ln()2xa，时，()(0)0h xh，不合题意.当0a 时()0h x，则()h x在(0),+上是减函数，所以()(0)0h xh，不合题意.综上所述，实数a的取值范围1(2,.15 分 20（本小题共 14 分）丰台区高三数学二模考试试题 第10 页/共12页 解：（）因为椭圆2222:1xyCab经过点(1 0)A,，所以21a解得1a.由AOB的面积为24可知，1224ab，解得22b，所以椭圆C的方程为2221xy 3 分 （)设直线l的方程为1ykx，1122()()MxyN xy,联立22211xyykx，消y整理可得：22(21)410kxkx 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0kk，解得212k 因为0k，所以k的取值范围是2()2,7 分（）因为(1 0)(0 1)AP,1122()()MxyN xy,所以直线AM的方程是：11(1)1yyxx.令0 x，解得111yyx.所以点S的坐标为11(0)1yx,.同理可得：点T的坐标为22(0)1yx,.所以11(01)1yPSx,22(01)1yPTx,(01)PO,.由,POPTPOPS 可得：12121111yyxx ,，丰台区高三数学二模考试试题 第11 页/共12页 所以111111111ykxxx 同理22111kxx 由（)得121222412121kxxx xkk,，所以 121211211kxkxxx 121212122(1)()221kx xkxxx xxx 22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21kkkkkkkkkkkkkkkkk 所以的范围是(2 2),14 分 21（本小题共 14 分）解:（）由21am，2bn得2)1abmn（是奇数，当2 10091a，2 0=0b 时，2019ab，所以2019AB，2020AB.4 分 （）()首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组012ik（，），其中0 10 1iik kN,;,，使得1210121+2+2+2+2+20 10 1iikiikipik kN,;,，由于12112101210+2+2+2+2+22+2+2+221iikikkiik 这种形式的自然数p至多有12k个，且最大数不超过121k.由0 10 1iik kN,;,，每个i都有两种可能，丰台区高三数学二模考试试题 第12 页/共12页 所以这种形式的自然数p共有1122 222kk 个个结果.下证1210121+2+2+2+2+2iikiikp 1210121+2+2+2+2+2iikiik 其中0 10 10 1iiik kN,；,；,，则ii 假设存在ii 中，取i最大数为j，则 12112101210121(+2+2+2+2+2)+2+2+2+2+2()iikiikiikiik 10011110011111100111111=()+()2+()2()2()+()2+()2()2(+2+2)2(122)1jjjijjjjjjjjjjjjj 所以01 不可能.综上，任意正整数p可唯一表示为 1210121+2+2+2+2+2iikiikp 2130213(+2)(2+2+)显然2130213(+2)(2+2+)AB,，满足*()ABN，所以集合,A B互为“完美加法补集”.11 分（）*21kn nkN,.14 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）