对数行列式函数的凹凸性33256.pdf

对数行列式函数的凹凸性 介绍 设函数 f(x)在区间 i 上定义，若对 i 中的任意两点 x1 和 x2,和任意(0,1)，都有f(x1+(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2),则称 f 为 i 上的凸函数(convex function).若不等号严格成立，即“(f(a)+f(b)/2 那么称 f(x)在 d 上的图形是（向下）凸的（或凸弧）；如果恒有 f(a+b)/2)uc(f(a)+f(b)/2 那么称 f(x)在 d 上的图形是（向下）凹的（或凹弧）。几何定义 这个定义从几何上看就是：在函数 f(x)的图象上投任一两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在相连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹陷函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在相连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。不同说法 不过补足一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义就是反华的。国内教材中的凹凸，就是所指的函数图像形状，而不是指函数的性质。在国外，图像的凹凸与直观体会一致，却与函数的凹凸性恰好相反。另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(x1+(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2)，即 v 型，为“凸向原点”，或“下圆锥”（也可以说道上凹陷），（有的缩写圆锥有的缩写凹陷）2、f(x1+(1-)x2)f(x1)+(1-)f(x2)，即 a 型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）圆锥/凹陷向原点这种观点一目了然。上下凸的观点也没歧义 在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然 n 维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。不等式 琴生（jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设 f(x)为凸函数，则 f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(下凸);设 f(x)为凹函数，f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(上凸),称为琴生不等式。平均值形式为：f(a1*x1+a2*x2+an*xn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn)(下圆锥);f(a1*x1+a2*x2+an*xn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn)(上圆锥),其中ai0(i=1,2,n),且 a1+a2+。