初中数学思想的例题浅谈13004.pdf

初中数学思想的例题浅谈 作者 宫明星 单位 淮南十一中 电话 13956402762 【摘要】教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知和未知的联系,提高学生分析问题的能力,从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的，离开了具体内容，是无法向学生渗透、传授数学思想方法的。【关键词】数学思想;分析能力；指导作用 数学课的教学，是使学生获得基础知识和技能，从而形成解决问题的能力的过程。而在此过程中，数学思想的培养,直接影响了学生后续学习的质量和水准.初中数学的教学就是要使学生获得知识技能和一些数学学习的基本思想，从而为接受更高教育的学习做好准本备。初中学生的理解和接受能力是比较有限的，所以教学中所涉及到的数学思想也是普遍和易懂的。在数学思想的培养过程中，几乎没有哪位数学教师单纯为了教授数学思想而刻意单独作文字阐述，而基本上是在一些特定的情境或者以例题、习题为载体，通过解决问题或者解答题目逐步渗透数学思想。从而通过较长一段时间的该方式的教学，使学生能够形成以一定的思想为指导解决问题的方法。教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问题的能力,从而使学习的思维品质和能力有所提高。或许直到初三毕业，好多学生也不能叙述到底有哪些数学思想，也说不出某某数学思想到底是什么含义，但是他们能够对很多例题或者习题的内容加以分析，进而利用长期锻炼出来的数学思想来解决，这就是培养数学思想最朴素的目的。下面，笔者对初中所涉及的几种基本数学思想举例说明。一 符号思想 例 1、根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（）000 110 010 111 001 101 A100,011 B011，100 C011，101 D101，110 解析：从表格中图形与相应代表的数之间关系可以发现代表 0、1 的图形，选 B.例 2、已知：3223222，8338332，154415442，245524552，若 淮南市 2009 年数学学科参评论文 2 abab21010 符合前面式子的规律，则 a+b =解析：观察已知的四个等式我们发现:等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1,等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数的积，从上述规律可以得到式子abab21010中10b，991102a,所以109ba。评注：这种题形式多样，学生感到熟悉又易于理解,具有较强的探索性，求解过程反映了课程标准所倡导的数学活动方式-观察、实验、猜测、推理等。因此既要重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究,切实提高分析问题、解决问题的能力。二 整体思想 整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法。利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑。例 3 解方程组错误!分析：如果选用代入法解答,比如由得，x=错误!，再代入，得 2003（错误!）+2002y=2004 解答起来十分麻烦.如果选用加减法,比如，2003-2002，可以消去 x，得 20032003y-20022002y=20012003 20042002 形式也很复杂，不易求解.注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，+，得 4005x+4005y=4005 化简，得 x+y=1 再将两方程相减，得 x+y=3 即 xy=3 由、组成方程组，得 错误!解这个方程组得 错误!.例 4 如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为 86cm，一条对角线长是 13cm，那么矩形的面积是多少?A B C D O 3 分析 本题要求矩形的面积，根据面积公式S=ABBC，只需求出 ABBC 即可.解 根据题意,有 AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）=86-413=34。AB+BC=17.两边平方，得 AB2+2ABBC+BC2=289,又 AB2+BC2=AC2=169，两式相减,得 2ABBC=120，ABBC=60（2）。整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的类型，还涉及到其他的各种题型，只有通过不断地挖掘、归纳、提炼,才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解。三 数形结合思想 数和形是初中数学中被研究得最多的对象,数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。例 5 已知正比例函数ykx的图象与反比例函数5kyx（k为常数，0k）的图象有一个交点的横坐标是 2 求两个函数图象的交点坐标;若点11()A xy，22()B xy，是反比例函数5kyx图象上的两点，且12xx，试比较12yy，的大小 分析与解答:(1）由由交点横坐标的含义可得方程组252kyky消去字母 y，得522kk，解得1k 所以正比例函数的表达式为yx，反比例函数的表达式为4yx要求两个函数图象的交点坐标,只须在得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数4yx的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函数yx的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2 即可求出纵坐标也是 2 即为（2，2)，由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为(22)，所以两函数图象交点的坐标为（2,2)，(22)，4(2）利用上问中所画图形得反比例函数4yx的图象的y的值随x值的增大而减小，所以当120 xx时，12yy当120 xx时，12yy当120 xx时，因为1140yx，2240yx,所以12yy 借助“形的几何直观来阐明“数之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来.四 化归思想 所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。例 6 如图，“回”字形的道路宽为 1 米，整个“回”字形的长为 8 米，宽为 7 米，一个人从入口点A 沿着道路中央走到终点 B,他共走了 。思路和解答 假设拖把的宽度是 1 米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了,而拖 1 的场地相当于那人向前走了 1 米，整块场地面积是 78=56（），所以那人从 A 走到 B 共走了 56 米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。下面是一个化几何问题为代数问题的例题 例 7 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由 6 个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为 1，则这个矩形色块图的面积为 。思路和解答 设次小正方形边长为 x，则其余正方形的边长依次为 1+x，2+x，3+x，根据题意得:（2+x+3+x）（3+x+x)【（3+x）2+（2+x)2+(1+x）2+2x2】=1,8 米 7 米 B A 5 解得 x=4。所以矩形色块图的面积为 1311=143。注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展,这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来,进而求出次小正方形的边长,进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.五 换元思想 例 8 分解因式（x23x+2）（x23x-4）72 分析:注意题目的形式特征,把某一部分（比如 x2-3x+2）看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如 x2+px+q 的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。设 x2-3x+2=t 则(x2-3x+2）（x2-3x-4）72=t（t-6）72=t2-6t-72=（t+6）(t-12）=（x2-3x+2+6）（x23x+212）=（x23x+8）(x2-3x-10)=（x2-3x+8)（x-5）(x+2)。如果把（x23x+2）与（x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式,这时再分解就困难了.例 9 解方程 3x2-6x-2422 xx+4=0 分析：如果先移项，两边平方，方程变形为一个四次方程，题目就难解了注意到422 xx，3（x22x），设422 xx为 y,原方程变形为 3y2-2y-8=0,再从中解得 y 回代得 x。六 分类思想 分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法。例 10 甲、乙两人分别从相距 30km 的 A、B 两地同时相向而行，经过 3h 后相距 3km，再经过2h,甲到 B 地所剩的路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度.解：（1）当 3h 后甲、乙两人未相遇时,设甲的速度为 xkm/h,乙的速度为 ykm/h，则)530(253033033yxyx，解得 54yx,6 甲的速度为 4Km/h，乙的速度为 5Km/h。（2)当 3h 后甲、乙两人已相遇时，设甲的速度为xkm/h，乙的速度为 ykm/h，则)530(253033033yxyx,解得 317316yx，甲的速度为 16/3Km/h，乙的速度为 17/3Km/h。答：甲的速度为 4Km/h,乙的速度为 5Km/h 或甲的速度为 16/3Km/h，乙的速度为 17/3Km/h。这是一个比较简单的分类讨论的题目，在分类中做到细心缜密，考虑周全,才能够不遗漏两外一种情况。以上是笔者简单列举初中数学所涉几个基本思想，教学中积极引导学生思考问题的方法,尽量能够让学生在多次的训练中找到相同的思想，事实上，这也是一种数学学习的思想，归纳和类比的思想.数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用只有在反复的运用中才能被真正掌握,成功的思想方法（特别是有广泛应用性的数学思想）需要有意识地贯通在平时的教学中.数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的,离开了具体内容，是无法向学生渗透、传授数学思想方法的。“思想”要融入到内容和应用中才能成为思想，否则,就思想方法讲思想方法会使学生感到空洞、玄虚,并不能真正掌握数学思想方法。