【终稿】(试题)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)4552.pdf

数学试题（第1页共40页）准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）秘密启用前 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学（理 科）试 题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷4 至 6 页满分 150 分 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 2.已知集合2220,log2Ax xxBx yx，则AB RI A B2,2 C1,2 D2,1 3.执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 数学试题（第2页共40页）4.某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495%B0.9405%C0.9995%D0.99%5.函数 2e2xf xxx的图象大致为 A B C D 6.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 7.已知角的终边在直线3yx 上，则2sin 21cos A611 B311 C311 D611 8.数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9个单元格构成玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 Oxy11Oxy11y1O1xOxy11数学试题（第3页共40页）9.已知函数 sin06f xx图象上相邻两条对称轴的距离为2，把 f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移3个单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx 10.已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合的直线交C于,M N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为 A22143xy B22165xy C22198xy D2213632xy 11.已知函数 1lnf xxxx，给出下列四个结论：曲线 yf x在1x 处的切线方程为10 xy；f x恰有 2 个零点；f x既有最大值，又有最小值；若1 20 x x 且 120f xf x，则121x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D 12.三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分别为 12,16,20，且底面面积为 24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A43 B12 C163 D16 数学试题（第4页共40页）第卷 注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13.已知向量1,2AB uuu r，2,5CB uuu r，,1tMN uuu u r若ACMNuuu ruuu u r，则实数t 14.正方体1111ABCDABC D中，P为1BC中点，Q为1AD中点，则异面直线DP与1C Q所成角的余弦值为 15.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，若22sincos1AB，则cba的取值范围为 16.已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D为焦点的双曲线经过,B C两点若7CDAB，则的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na和 nb的前n项和分别为nS,nT，12a，11b，且112nnaaT（1）若数列 na为等差数列，求nS；（2）若112nnbbS，证明：数列nnab和nnab均为等比数列 18.（本小题满分 12 分）如图，在多面体PABCD中，平面ABCD 平面PAD，ADBC，90BAD，120PAD，1BC，2ABADPA（1）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值；（2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行 19.（本小题满分 12 分）已知抛物线2:4C yx，直线:2l xmy（0m）与C交于,A B两点，M为AB的中点，O为坐标原点（1）求直线OM斜率的最大值；ADCBP数学试题（第5页共40页）（2）若点P在直线2x 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标 20.（本小题满分 12 分）已知函数2()2lnf xxaxx（1）求函数 f x的单调区间；（2）设函数 f x有两个极值点12,x x（12xx），若 12f xmx恒成立，求实数m的取值范围 21.（本小题满分 12 分）某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分 该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分进行了等级转换赋分（1）某校生物学科获得A等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如下表：原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布(75.8 36)N，若2(,)YN，令Y，则(0,1)N，请解决下列问题：若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()Pk取得最大值时k的值 附：若(0,1)N，则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P.数学试题（第6页共40页）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为33,xktyt （t为参数），直线2l的参数方程为33,xmykm（m为参数）设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线1C（1）求1C的普通方程；（2）设Q为圆222:43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知0,0ab，2224abc（1）当1c 时，求证：339abab；（2）求2224411abc的最小值 2020 年福州市高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 1A 2D 3C 4A 5B 6D 7A 8A 9D 10C 11B 12C 数学试题（第7页共40页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1313 1423 152,3 163 24 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性 满分 12 分【解答】（1）由112nnaaT，得2112aab，又12a，11b，解得24a.1 分 因为数列 na为等差数列，所以该数列的公差为21aa2，2 分 所以21222nn nSnnn 4 分（2）当2n时，112nnaaT，因为1nnnTTb，所以12nnnaab，即12nnnaab，5 分 同理可得：12nnnbba 6 分 则113()nnnnabab，所以113nnnnabab（2n），7 分 又21121124,25aabbba，所以22114533abab，所以113nnnnabab（*nN），8 分 所以数列nnab是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.9 分 因为11()nnnnabab，所以111nnnnabab（2n），10 分 又221145121abab，所以111nnnnabab（*nN），11 分 所以数列nnab是以1为首项，1为公比的等比数列 12 分 18【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算数学试题（第8页共40页）求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分【解析】解法一：（1）因为ABAD，平面ABCD 平面PAD，平面ABCD I平面PADAD，AB 平面ABCD，所以AB 平面PAD.1 分 作AHAD交PD于H，则,AB AD AH三条直线两两垂直 以A为坐标原点O，分别以AHADAB，所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 2 分 因为120PAD，1BC，2ABADPA 所以0,0,0,0,0,2,0,1,2,0,2,0,3,1,0ABCDP，3 分 设平面PBC的法向量为,x y zn，因为0,1,0,3,1,2BCBP uuu ruuu r，所以0,0,BCBPuuu ruu u rnn所以0,320,yxyz令2x，所以2,0,3n，4 分 由z轴平面PAD知0,0,1m为平面PAD的一个法向量,5 分 所以33cos,717 n mn mnm，6 分 所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分（2）因为E是棱PB的中点，由（1）可得31,122E.假设棱CD上存在点F，使得EFPDP，8 分 设DFDCuuu ruuu r，01，所以3 53 5,10,1,2,122222EFEDDF uuu ruuu ruuu r，9 分 因为EFPDP，所以3,3,0EFtPDtuuu ruuu r，10 分 1,2,31,2,32f x3g xcos4gx x1,2,31,2,32f x3g xcos4gx xDP1CQ数学试题（第9页共40页）所以33,253,2120,tt 这个方程组无解，11 分 所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行.12 分 解法二：（1）如图，在平面PAD内，过点P作DA的垂线，垂足为M；在平面ABCD内，过M作AD的垂线，交CB的延长线于点N连接PN 因为MNPMMI，所以AD 平面PMN 1 分 因为ADBC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC，2 分 设平面PBC I平面PADl，则ADl，故l 平面PMN 3 分 所以NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角 4 分 因为120PAD，2ABADPA，所以60MAP，在RtPAM中，2sin603PM 5 分 又2MNAB，所以在RtPMN中，227PNPMMN 6 分 所以22 7sin77MNMPNPN，所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为2 77 7 分（2）假设棱CD上存在点F，使得EFPDP，显然F与点D不同，8 分 所以,P E F D四点共面，记该平面为，所以P，PE，FD，9 分 又BPE，CFD，所以B，C，所以就是点,B C D确定的平面，10 分 这与PABCD为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行.12 分 解法三：（1）同解法一 7 分 nSnT12a11b2aaT nanS12x x1,2,31,2,3x mxm2021数学试题（第10页共40页）（2）假设棱CD上存在点F，使得EFPDP 8 分 连接BD，取BD的中点M，在BPD中，因为,E M分别为,BP BD的中点，所以EMPDP.9 分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以EM与EF重合.10 分 又点F在线段CD上，所以FBDCDI，又BDCDDI，所以F是BD与CD的交点D，即EF就是ED，11 分 而ED与PD相交，所以与EFPDP相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行 12 分 19【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分【解析】解法一：（1）设1122(,),(,)A x yB xy，由22,4xmyyx，消去x得，2480ymy，1 分 216320,m 且12124,8yym y y.2 分 所以21212()444.xxm yym 因为M为AB的中点，所以M的坐标为1212(,)22xxyy，即2(22,2)mm,3 分 又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分（当且仅当1mm，即1m 等号成立.）所以OM的斜率的最大值为12 6 分（2）由（1）知，2121|ABmyy 12x x1,2,31,2,3x mxm2021k数学试题（第11页共40页）2212121()4myyy y 2211632mm 224 12mm，8 分 由PMAB得2222|1()|22(2)|2(2)1PMmmmm ，9 分 因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分 所以22222(2)12 312mmmm，所以223m，所以21m，解得1,m 又0m，所以1m，11 分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx ，所以2x 时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分 解法二：（1）设112200(,),(,),(,)A x yB xyM xy，因为M为AB的中点，且直线:2(0)l xmym，所以0122,yyy1212,xxmyy 1 分 由2112224,4,yxyx得22121244,yyxx 所以1212124,xxyyyy所以024,ym即02ym.2 分 所以200222,xmym即2(22,2)Mmm，3 分 又因为0m，所以2221111221212OMmmkmmmmmm,5 分（当且仅当1mm，即1m 等号成立.）所以OM的斜率的最大值为12 6 分 数学试题（第12页共40页）（2）由22,4xmyyx，消去x得2480ymy，所以216320,m 且12124,8yym y y.7 分 221212ABxxyy 22121222mymyyy 2212121()4myyy y 2211632mm 224 12mm，8 分 由（1）知，AB的中点M的坐标为2(22,2)mm，所以线段AB的垂直平分线方程为：2222ymm xm.令2x ，得线段AB的垂直平分线与直线2x 交点坐标为32,26,Pmm 所以 22232224242(2)1mMmmmPm 9 分 因为PAB为等边三角形，所以3|2PMAB，10 分 所以22222(2)12 312mmmm，所以223m，所以21m，解得1,m 因为0,m 所以1m，11 分 则(4,2)M，直线MP的方程为2(4)yx，即6yx ，所以2x 时，8y，所以所求的点P的坐标为(2,8)12 分 20【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分 12 分.【解析】（1）因为2()2lnf xxaxx，所以222()0 xaxfxxx 1 分 数学试题（第13页共40页）令 222p xxax，216a，当0即44a 时，()0p x，即()0fx，所以函数 f x单调递增区间为0,2 分 当0 即4a 或4a 时，22121616,44aaaaxx.若4a ，则120 xx，所以 0p x，即()0fx，所以函数 f x单调递增区间为0,3 分 若4a，则210 xx，由()0fx，即 0p x 得10,xx或2xx；由()0fx，即 0p x 得12xxx 所以函数 f x的单调递增区间为 120,xx；单调递减区间为12,x x 5 分 综上，当a4时，函数 f x单调递增区间为0,；当a 4时，函数 f x的单调递增区间为 120,xx，单调递减区间为12,x x 6 分（2）由（1）得222()0 xaxfxxx，若 f x有两个极值点12,x x，则12,x x是方程2220 xax的两个不等正实根，由（1）知4a 则12122,12axxx x，故1201xx，8 分 要使 12f xmx恒成立，只需 12f xmx恒成立 因为222311111111111221()2ln222ln22ln1f xxaxxxxxxxxxxxx，10 分 令3()22 lnh ttttt，则2()32lnh ttt，当01t时，0h t，()h t为减函数，所以()(1)3h th.11 分 由题意，要使 12f xmx恒成立，只需满足3m 所以实数m的取值范围,3 12 分 21【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性 数学试题（第14页共40页）【解答】（1）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2 3，1 分 根据条件得 0355310101(0)12012C CP XC，1255310505(1)12012C CP XC，2155310505(2)12012C CP XC，3055310101(3)12012C CP XC，3 分 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 112 512 512 112 数学期望15513()0123121212122E X 4 分（2）设该划线分为m，由(75.8,36)YN得75.8,6，令75.86YY，则675.8Y，5 分 依题意，0.85P Ym，即75.8675.80.856mPmP，因为当(0,1)N时，(1.04)0.85P，所以(1.04)0.85P?，6 分 所以75.81.046m，故69.56m，取69m 7 分 由讨论及参考数据得 71675.8710.80.80.788P YPPP，即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，8 分 故(800,0.788)B，800800()0.788(10.788)kkkPkC.9 分 由1,1,PkPkPkPk 即80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788),0.788(10.788)0.788(10.788),kkkkkkkkkkkkCCCC 10 分 解得630.188631.188k，又k N，所以631k，11 分 数学试题（第15页共40页）所以当631k 时()Pk取得最大值.12 分 22【命题意图】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性满分 10 分【解答】解法一：（1）消去参数t得1l的普通方程为33xky，1 分 消去参数m得2l的普通方程为33k xy 2 分 联立33,33xkyk xy 消去k得2339xxy，4 分 所以1C的普通方程为2219xy（3x）5 分（2）依题意，圆心2C的坐标为0,4，半径3r 6 分 由（1）可知，1C的参数方程为3cos,sinxy（为参数，且2,kkZ），7 分 设3cos,sinP（2,kkZ），则 22223cossin4PC 229 1sinsin8sin16 28sin8sin25，8 分 当1sin2 时，2PC取得最大值21188253 322 ，9 分 又2PQPCr，当且仅当2,P Q C三点共线，且2C在线段PQ上时，等号成立 所以max3 334 3PQ 10 分 解法二：（1）消去参数t得1l的普通方程为33xky，1 分 消去参数m得2l的普通方程为33k xy 2 分 由33,33xkyk xy 得22231,12,1kxkkyk 数学试题（第16页共40页）故P的轨迹1C的参数方程为22231,12,1kxkkyk（k为参数），4 分 所以1C的普通方程为2219xy（3x）5 分（2）同解法一 10 分 23【命题意图】本题主要考查不等式的证明、基本不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【解答】解法一：（1）依题意，当1c 时，223ab，且0,0ab，则 334334ababaaba bb 1 分 22222332aba ba bab 3 分 29ab ab 4 分 9，故原不等式成立 5 分（2）22222244111abcabc 222222222222414144911ccababbacacb 6 分 222222222222414144922211ccababbacacb 25，7 分 因为22215abc，所以22244151abc，8 分 当且仅当222222222222414144,11ccababbacacb，即2,0abc时等号成立，9 分 数学试题（第17页共40页）所以2224411abc的最小值为 5 10 分 解法二：（1）依题意，当1c 时，223ab，且0,0ab，则 2229ab 44222aba b 1 分 333333222aaa bbbaba baba b 233ababab ab 3 分 33abab，4 分 所以339abab 5 分（2）同解法一 10 分 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学（理 科）详 细 解 答 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 24.已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2【命题意图】本小题考查复数的概念与运算等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想；考查数学运算等核心素养，体现基础性【答案】A【解析】解法一：设i(,zb bR且0),b 则(1i)ii2i.bbba 因为aR，所以2,bab所以2a，故选 A 解法二：2i(2i)(1i)22i1i222aaaaz 因为z为纯虚数,所以20,20,aa解得2a，故选 A.25.已知集合2220,log2Ax xxBx yx，则AB RI 数学试题（第18页共40页）A B2,2 C1,2 D2,1【命题意图】本小题考查解一元二次不等式、函数的定义域，集合的交集、补集运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算核心素养，体现基础性【答案】D【解答】依题意，21,2AxxBx x，所以B R2x x，所以AB RI 2,1 26.执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4【命题意图】本小题考查程序框图等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理核心素养，体现基础性【答案】C【解答】该框图的功能为求小于12的正整数中3的倍数的个数，故输出的m值应为3，故选 C 27.某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495%B0.9405%C0.9995%D0.99%【命题意图】本小题考查条件概率等基础知识；考查推理证能力；考查统计与概率思想；考查逻辑推理、数据处理等核心素养；体现基础性、综合性、应用性【答案】A【解答】设事件 A“血检呈阳性”，B“患该种疾病”依题意知 P(B)0.005，P(A|B)0.99，由 条 件 概 率 公 式 P(A|B)PABPB，得 P(AB)P(B)P(A|B)0.0050.99=0.00495，故选 A 28.函数 2e2xfxxx的图象大致为 3113116111,2,31,2,32fx1,2,321,2,31,2,3fx1,2,32fx1,2,3数学试题（第19页共40页）A B C D【命题意图】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性【答案】B【解答】解法一：因为 e22,e2xxfxxfx，令 e20 xfx，得ln2x，当ln2x时 0fx，fx为减函数；当ln2x时，0fx，fx为增函数，而ln222ln222ln20f ，所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项 C 和 D将1x代入原函数，求得 1e120f，淘汰选项 A，故选 B 解法二：1e210f，淘汰选项 A，D；当x 时，exfx 2x x ，淘汰选项 C故选 B 29.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大【命题意图】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性【答案】D【解析】由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为22221234,ssss，则 2221450.5650.51s，22222450.3550.4650.30.6s，数学试题（第20页共40页）2222223350.3450.1550.2650.1750.32.6s，2222224250.1450.3550.2650.3850.12.4s，所以丙的方差最大故选 D 30.已知角的终边在直线3yx 上，则2sin21cos A611 B311 C311 D611【命题意图】本小题考查三角函数的定义、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】A【解析】解法一：依题意，tan3，所以原式2222sincos2tan6sin2costan211，故选 A 解法二：不妨在直线3yx 上取一点1,3P，则 221310r ，所以1cos,103sin10，所以6sin22sincos10，原式6610111110，故选 A 31.数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9 个单元格构成玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种【命题意图】本小题考查计数原理等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养，体现综合性和应用性【答案】A【解答】先填第一行，有336A 种不同填法，再填第二行第一列，有 2 种不同填法，数学试题（第21页共40页）当该单元格填好后，其它单元格唯一确定根据分步乘法计数原理，共有6 2 12 种不同的填法故选 A 32.已知函数 sin06f xx图象上相邻两条对称轴的距离为2，把 f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移3个单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx【命题意图】本小题考查三角函数图象的变换、诱导公式等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】D【解析】依题意，2T2，所以T ，所以2，解得，所以 fx sin 26x把 f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到曲线sin6yx，再把曲线sin6yx向右平移3个单位长度，得到曲线sin63yx，即cosyx，故 cosg xx，故选 D 33.已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合的直线交C于,M N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为 A22143xy B22165xy C22198xy D2213632xy【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】解法一：设00,M xy，则00,Nxy，因为,0A a且线段AM的中点为B，所以00,22axyB，由,B F N三点共线得FNFBuuu ruu u r，依题意，1,0F，故FN u u u r数学试题（第22页共40页）001,xy001,22axyFBu u u r即000011022yaxxy，又00y，解得3a，所以222318b，所以椭圆C的标准方程为22198xy，故选 C 解法二：设00,M xy，则00,Nxy，依题意，,0A a，AONB和是AMN的中线，所以1,0F为AMN的重心，故0013xxa，解得3a，所以222318b，所以椭圆C的标准方程为22198xy故选 C 34.已知函数 1lnf xxxx，给出下列四个结论：曲线 yf x在1x 处的切线方程为10 xy；f x恰有 2 个零点；f x既有最大值，又有最小值；若120 x x 且 120f xf x，则121x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D【命题意图】本小题考查函数的图象性质、导数的应用等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性【答案】B【解答】依题意，f x的定义域为,00,U 当0 x时，2221111xxfxxxx，所以 11f ，可知曲线在点1,0处的切线方程为01yx，即10 xy，所以正确；因为0 x时，2213240 xfxx，所以 f x区间0,+上单调递减同理可求 f x在区间,0上单调递减所以错误；又 10,10ff，所以正确；数学试题（第23页共40页）对于，若120 xx0,，由 120f xf x得 122221lnf xf xxxx 21lnx2221111fxxx，即 121f xfx因为 f x在0,上为减函数，所以121xx，即121x x 同理可证当120,0 xx时，命题也成立故正确 综上，故选 B 35.三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分别为 12,16,20，且底面面积为 24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A43 B12 C163 D16【命题意图】本小题考查空间点、线、面位置关系，空间几何体的侧面积、体积等基本知识；考查空间想象能力、运算求解能力、论证推理能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、创新性【答案】C【解答】解法一：不妨设12,16,20,PBCPACPABSSS 设P在底面ABC的投影为H，分别作HDBC于点D，HEAB于点E，HFAC于点F，则,PDBC,PEABPFAC依题意，H为ABC的内心，则RtRtRtPDHPFHPEH，故PDPFPE，又12PBCSBC PD，12PACSAC PF，12PABSAB PE，所以:12:16:203:4:5PBCPACPABSSSBC AC AB，所以90ACB 令3,4,5BCx ACx ABx.所以11342422ABCSBC ACxx，解得2x，所以6,8,10BCACAB.设ABC内切圆半径为r，则12ABCBCACAB rS，即16810242r，解得2r，故2HD 数学试题（第24页共40页）由112,62PBCSBC PDBC，得4PD，所以222 3PHPDHD，所以11242 316 333P ABCABCVSPH，设三棱锥PABC的内切球的半径为R，则 13P ABCPBCPACPABABCVSSSSR，即116 3121620243R，解得2 33R，所以三棱锥PABC的内切球的表面积为21643R，故选 C 解法二：不妨设12,16,20,PBCPACPABSSS 设P在底面ABC的投影为H，分别作HDBC于点D，HEAB于点E，HFAC于点F，则,PDBC,PEABPFAC依题意，H为ABC的内心，则RtRtRtPEHPFHPDH，故PDPFPE，且PEHPFHPDH ，记为 所以cosHEHFHDPEPFPD，故cosHACHBCHABPABPACPBCSSSSSS，所以1cos2BCPABPACPBCSSSSA，所以3 又12PBCSBC PD，12PACSAC PF，12PABSAB PE，所以:12:16:203:4:5PBCPACPABSSSBC AC AB，所以90ACB 令3,4,5BCx ACx ABx.所以11342422ABCSBC ACxx，解得2x，所以6,8,10BCACAB.设ABC内切圆半径为r，由直角三角形内切圆半径公式得68 1022r 由题意知三棱锥内切球的球心在PH上，设为点O 由条件知点O也在PDH的角平数学试题（第25页共40页）分线上，所以内切球半径2 3tan303Rr，所以三棱锥PABC的内切球的表面积为21643R，故选 C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 36.已知向量1,2AB uuu r，2,5CB uuu r，,1tMN uuu u r若ACMNuuu ruuu u r，则实数t 【命题意图】本小题考查平面向量坐标运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】13【解析】因为 1,22,51,3ACABCB uuu ruuu ruuu r，又因为,1tMN uuu u r，ACMNuuu ruuu u r，所以 113t ，解得13t 37.正方体1111ABCDA B C